BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Model 2012 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Într-o progresie aritmetică (an)n≥1(a_n)_{n\geq 1} se cunosc a1=5a_1=5 și r=2r=2. Calculați suma primilor 55 termeni ai progresiei.

Rezolvare

1
3 puncte
S5=(2a1+4r)⋅52S_5=\frac{(2a_1+4r)\cdot 5}{2}.
2
2 puncte
S5=45S_5=45.
Exercițiul 2
Determinați numărul real mm pentru care ecuația x2−(m+1)x+m=0x^2-(m+1)x+m=0 are soluții reale egale.

Rezolvare

1
1 punct
Δ=0\Delta=0.
2
2 puncte
m2+2m+1−4m=0m^2+2m+1-4m=0.
3
2 puncte
m=1m=1.
Exercițiul 3
Determinați coordonatele punctelor de intersecție a graficului funcției f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x+1−1f(x)=2^{x+1}-1 cu axele OxOx și respectiv OyOy.

Rezolvare

1
2 puncte
Gf∩OxG_f\cap Ox: f(x)=0⇒x=−1f(x)=0 \Rightarrow x=-1.
2
1 punct
A(−1,0)A(-1,0).
3
1 punct
Gf∩OyG_f\cap Oy: f(0)=1f(0)=1.
4
1 punct
B(0,1)B(0,1).
Exercițiul 4
Calculați 2C42−3A412C_4^2-3A_4^1.

Rezolvare

1
2 puncte
C42=6C_4^2=6.
2
2 puncte
A41=4A_4^1=4.
3
1 punct
2C42−3A41=02C_4^2-3A_4^1=0.
Exercițiul 5
Se consideră vectorii v⃗1=2i⃗+aj⃗\vec{v}_1=2\vec{i}+a\vec{j} și v⃗2=(a+3)i⃗+2j⃗\vec{v}_2=(a+3)\vec{i}+2\vec{j}, unde a∈Ra\in\mathbb{R}. Determinați numărul a>0a>0 pentru care vectorii v⃗1\vec{v}_1 și v⃗2\vec{v}_2 sunt coliniari.

Rezolvare

1
2 puncte
2a+3=a2\frac{2}{a+3}=\frac{a}{2}.
2
2 puncte
a2+3a−4=0⇒a=1a^2+3a-4=0 \Rightarrow a=1 sau a=−4a=-4.
3
1 punct
a>0⇒a=1a>0 \Rightarrow a=1.
Exercițiul 6
Aria triunghiului MNPMNP este egală cu 1616, iar MN=NP=8MN=NP=8. Calculați sin⁡N\sin N.

Rezolvare

1
2 puncte
Aria △MNP=MN⋅NP⋅sin⁡N2\triangle MNP=\frac{MN\cdot NP\cdot\sin N}{2}.
2
2 puncte
sin⁡N=2⋅168⋅8\sin N=\frac{2\cdot 16}{8\cdot 8}.
3
1 punct
sin⁡N=12\sin N=\frac{1}{2}.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele An(n−1,n+2)A_n(n-1,n+2), n∈N∗n\in\mathbb{N}^*. a) Determinați ecuația dreptei A1A2A_1A_2. b) Demonstrați că punctele AmA_m, AnA_n, ApA_p sunt coliniare, oricare ar fi m,n,p∈N∗m,n,p\in\mathbb{N}^*. c) Pentru fiecare p∈N∗p\in\mathbb{N}^* notăm Mp={n∈N∗∣AnAp≤2}M_p=\{n\in\mathbb{N}^* \mid A_nA_p\leq 2\}. Determinați elementele mulțimii M2011M_{2011}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) A1(0,3)A_1(0,3), A2(1,4)A_2(1,4).
2
2 puncte
A1A2A_1A_2: ∣xy1031141∣=0\begin{vmatrix} x & y & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 1 & 4 & 1 \end{vmatrix}=0.
3
1 punct
A1A2A_1A_2: y=x+3y=x+3.
b)5 puncte
4
3 puncte
b) Se justifică că ∣m−1m+21n−1n+21p−1p+21∣=0\begin{vmatrix} m-1 & m+2 & 1 \\ n-1 & n+2 & 1 \\ p-1 & p+2 & 1 \end{vmatrix}=0.
5
2 puncte
⇒Am\Rightarrow A_m, AnA_n, ApA_p coliniare.
c)5 puncte
6
1 punct
c) AnA2011≤2A_nA_{2011}\leq 2.
7
1 punct
(n−2011)2+(n−2011)2≤2\sqrt{(n-2011)^2+(n-2011)^2}\leq 2.
8
1 punct
∣n−2011∣≤2|n-2011|\leq\sqrt{2}.
9
2 puncte
M2011={2010,2011,2012}M_{2011}=\{2010,2011,2012\}.
Exercițiul 2
Se consideră polinomul f=X3+(m−3)X2−17X+(2m+7)f=X^3+(m-3)X^2-17X+(2m+7), cu m∈Rm\in\mathbb{R}. a) Pentru m=4m=4 determinați câtul și restul înpărțirii polinomului ff la X−3X-3. b) Determinați m∈Rm\in\mathbb{R} pentru care polinomul ff este divizibil cu X−1X-1. c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 27x+9x−17⋅3x+15=027^x+9^x-17\cdot 3^x+15=0.

Rezolvare

a)5 puncte
1
1 punct
a) m=4⇒f=X3+X2−17X+15m=4 \Rightarrow f=X^3+X^2-17X+15.
2
3 puncte
C=X2+4X−5C=X^2+4X-5.
3
1 punct
R=0R=0.
b)5 puncte
4
2 puncte
b) f⋮(X−1)⇔f(1)=0f\vdots(X-1) \Leftrightarrow f(1)=0.
5
1 punct
f(1)=1+m−3−17+2m+7=3m−12f(1)=1+m-3-17+2m+7=3m-12.
6
2 puncte
3m−12=0⇒m=43m-12=0 \Rightarrow m=4.
c)5 puncte
7
2 puncte
c) Cu notația 3x=y>0⇒y3+y2−17y+15=0⇒(y−1)(y−3)(y+5)=03^x=y>0 \Rightarrow y^3+y^2-17y+15=0 \Rightarrow (y-1)(y-3)(y+5)=0.
8
1 punct
y=−5<0y=-5<0 nu convine.
9
1 punct
y=1⇒x=0y=1 \Rightarrow x=0.
10
1 punct
y=3⇒x=1y=3 \Rightarrow x=1.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)={−4x2+1,x≤0x−4,x>0f(x)=\begin{cases} \frac{-4}{x^2+1}, & x\leq 0 \\ x-4, & x>0 \end{cases}. a) Demonstrați că funcția ff este continuă în punctul x0=0x_0=0. b) Calculați lim⁡x→4f(x)16−x2\displaystyle\lim_{x\to 4}\frac{f(x)}{16-x^2}. c) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul A(−1,−2)A(-1,-2).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) lim⁡x→0,x<0f(x)=−4\lim_{x\to 0, x<0}f(x)=-4, lim⁡x→0,x>0f(x)=−4\lim_{x\to 0, x>0}f(x)=-4, f(0)=−4f(0)=-4.
2
2 puncte
ff este continuă în punctul x0=0x_0=0.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) lim⁡x→4f(x)16−x2=lim⁡x→4x−4(4−x)(4+x)=lim⁡x→4−14+x\lim_{x\to 4}\frac{f(x)}{16-x^2}=\lim_{x\to 4}\frac{x-4}{(4-x)(4+x)}=\lim_{x\to 4}\frac{-1}{4+x}.
4
2 puncte
lim⁡x→4f(x)16−x2=−18\lim_{x\to 4}\frac{f(x)}{16-x^2}=-\frac{1}{8}.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Ecuația tangentei este y−f(−1)=f′(−1)(x+1)y-f(-1)=f'(-1)(x+1).
6
2 puncte
Pentru x≤0x\leq 0, f(x)=−4x2+1⇒f′(x)=8x(x2+1)2f(x)=\frac{-4}{x^2+1} \Rightarrow f'(x)=\frac{8x}{(x^2+1)^2}, oricare ar fi x<0x<0.
7
1 punct
Ecuația tangentei este y=−2x−4y=-2x-4.
Exercițiul 2
Se consideră funcțiile fm:R→Rf_m:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, fm(x)=3m2x2+6mx+9f_m(x)=3m^2x^2+6mx+9, unde m∈Rm\in\mathbb{R}. a) Determinați mulțimea primitivelor funcției f0f_0. b) Calculați aria suprafeței cuprinse între graficul funcției f1f_1, axa OxOx și dreptele de ecuații x=0x=0 și x=1x=1. c) Calculați ∫12f2(x)−9x⋅ex dx\displaystyle\int_1^2\frac{f_2(x)-9}{x}\cdot e^x\,dx.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) Mulțimea primitivelor este ∫9 dx=\int 9\,dx=
2
3 puncte
=9x+C=9x+C.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) A=∫01∣3x2+6x+9∣ dx=∫01(3x2+6x+9) dx=A=\int_0^1|3x^2+6x+9|\,dx=\int_0^1(3x^2+6x+9)\,dx=
4
2 puncte
=(x3+3x2+9x)∣01==(x^3+3x^2+9x)\Big|_0^1=
5
1 punct
=13=13.
c)5 puncte
6
3 puncte
c) ∫12(12x+12)ex dx=12xex∣12=\int_1^2(12x+12)e^x\,dx=12xe^x\Big|_1^2=
7
2 puncte
=24e2−12e=24e^2-12e.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Model 2012 — Matematică-Informatică

Următor →

Bac Vară 2011 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac