BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Model 2013 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că numărul n=(5−1)2+25n=(\sqrt{5}-1)^2+2\sqrt{5} este natural.

Rezolvare

1
3 puncte
(5−1)2+25=(5−25+1)+25=(\sqrt{5}-1)^2+2\sqrt{5}=(5-2\sqrt{5}+1)+2\sqrt{5}=
2
2 puncte
=6∈N=6\in\mathbb{N}.
Exercițiul 2
Determinați valorile reale ale lui mm pentru care graficul funcției f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+mx+4f(x)=x^2+mx+4 intersectează axa OxOx în două puncte distincte.

Rezolvare

1
2 puncte
f(x)=0f(x)=0 are două soluții reale distincte.
2
1 punct
Δ=m2−16>0\Delta=m^2-16>0.
3
2 puncte
m∈(−∞,−4)∪(4,+∞)m\in(-\infty,-4)\cup(4,+\infty).
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡2(2−x2)=log⁡2x\log_2(2-x^2)=\log_2 x.

Rezolvare

1
1 punct
2−x2=x2-x^2=x.
2
2 puncte
x1=1x_1=1, x2=−2x_2=-2.
3
2 puncte
x1x_1 convine și x2x_2 nu convine.
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând la întâmplare una dintre submulțimile mulțimii A={1,2,3,4,5,6,7}A=\{1,2,3,4,5,6,7\}, aceasta să aibă cel mult un element.

Rezolvare

1
1 punct
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibilep=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}.
2
2 puncte
Numărul submulțimilor cu cel mult un element este C70+C71=8⇒8C_7^0+C_7^1=8 \Rightarrow 8 cazuri favorabile.
3
1 punct
Numărul submulțimilor mulțimii AA este 27=128⇒1282^7=128 \Rightarrow 128 cazuri posibile.
4
1 punct
p=116p=\frac{1}{16}.
Exercițiul 5
Se consideră punctele AA, BB și CC astfel încât AB⃗=i⃗+6j⃗\vec{AB}=\vec{i}+6\vec{j} și BC⃗=4i⃗+6j⃗\vec{BC}=4\vec{i}+6\vec{j}. Determinați lungimea segmentului [AC][AC].

Rezolvare

1
3 puncte
AC⃗=AB⃗+BC⃗=5i⃗+12j⃗\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{BC}=5\vec{i}+12\vec{j}.
2
2 puncte
AC=52+122=13AC=\sqrt{5^2+12^2}=13.
Exercițiul 6
Se consideră numerele reale aa și bb astfel încât a+b=π3a+b=\frac{\pi}{3}. Arătați că 2cos⁡b=cos⁡a+3sin⁡a2\cos b=\cos a+\sqrt{3}\sin a.

Rezolvare

1
2 puncte
b=π3−a⇒cos⁡b=cos⁡(π3−a)=b=\frac{\pi}{3}-a \Rightarrow \cos b=\cos\left(\frac{\pi}{3}-a\right)=
2
3 puncte
=12cos⁡a+32sin⁡a=\frac{1}{2}\cos a+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin a, de unde concluzia.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se notează cu D(x,y)D(x,y) determinantul matricei A(x,y)=(x122x11yx)∈M3(R)A(x,y)=\begin{pmatrix} x & 1 & 2 \\ 2 & x & 1 \\ 1 & y & x \end{pmatrix}\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R}). a) Calculați D(−1,2)D(-1,2). b) Determinați numărul real qq pentru care matricea A(2,q)A(2,q) are rangul egal cu 22. c) Arătați că există cel puțin o pereche (x,y)(x,y) de numere reale, cu x≠yx\neq y, pentru care D(x,y)=D(y,x)D(x,y)=D(y,x).

Rezolvare

1
1 punct
a) D(−1,2)=∣−1122−1112−1∣D(-1,2)=\begin{vmatrix} -1 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix}.
2
3 puncte
D(−1,2)=−1+1+8+2+2+2=14D(-1,2)=-1+1+8+2+2+2=14.
3
1 punct
Finalizare.
4
1 punct
b) Există minorul d=∣2122∣=2≠0⇒rang A(2,q)≥2d=\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix}=2\neq 0 \Rightarrow \text{rang}\,A(2,q)\geq 2.
5
1 punct
rang A(2,q)=2⇒D(2,q)=0\text{rang}\,A(2,q)=2 \Rightarrow D(2,q)=0.
6
2 puncte
q=−12q=-\frac{1}{2}.
7
1 punct
c) D(x,y)=x3+4y−4x−xy+1D(x,y)=x^3+4y-4x-xy+1.
8
1 punct
D(y,x)=y3+4x−4y−yx+1D(y,x)=y^3+4x-4y-yx+1.
9
2 puncte
D(x,y)=D(y,x)⇒(x−y)(x2+xy+y2−8)=0⇒x2+xy+y2−8=0D(x,y)=D(y,x) \Rightarrow (x-y)(x^2+xy+y^2-8)=0 \Rightarrow x^2+xy+y^2-8=0.
10
1 punct
Finalizare: de exemplu (x,y)=(0,22)(x,y)=(0,2\sqrt{2}).
Exercițiul 2
Se notează cu x1,x2,x3x_1,x_2,x_3 rădăcinile din C\mathbb{C} ale polinomului f=X3+X−mf=X^3+X-m, unde mm este un număr real. a) Determinați mm astfel încât restul înpărțirii polinomului f(X)f(X) la X−1X-1 să fie egal cu 88. b) Arătați că numărul x12+x22+x32x_1^2+x_2^2+x_3^2 este întreg, pentru orice m∈Rm\in\mathbb{R}. c) În cazul m=2m=2 determinați patru numere întregi a,b,c,da,b,c,d, cu a>0a>0, astfel încât polinomul g=aX3+bX2+cX+dg=aX^3+bX^2+cX+d să aibă rădăcinile 1x1,1x2,1x3\frac{1}{x_1},\frac{1}{x_2},\frac{1}{x_3}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) f(1)=2−mf(1)=2-m.
2
2 puncte
f(1)=8f(1)=8.
3
1 punct
Finalizare: m=−6m=-6.
b)5 puncte
4
2 puncte
b) x1+x2+x3=0x_1+x_2+x_3=0 și x1x2+x2x3+x3x1=1x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=1.
5
3 puncte
x12+x22+x32=(x1+x2+x3)2−2(x1x2+x2x3+x3x1)=−2∈Zx_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)=-2\in\mathbb{Z}.
c)5 puncte
6
2 puncte
c) x1,x2,x3x_1,x_2,x_3 rădăcinile polinomului f=X3+X−2⇒f=X^3+X-2 \Rightarrow polinomul −2X3+X2+1-2X^3+X^2+1 are rădăcinile 1x1,1x2,1x3\frac{1}{x_1},\frac{1}{x_2},\frac{1}{x_3}.
7
2 puncte
a,b,c,d∈Za,b,c,d\in\mathbb{Z} cu a>0⇒g=2X3−X2+0⋅X−1a>0 \Rightarrow g=2X^3-X^2+0\cdot X-1.
8
1 punct
Un exemplu este a=2a=2, b=−1b=-1, c=0c=0, d=−1d=-1.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex−xf(x)=e^x-x. a) Calculați f′(0)f'(0). b) Arătați că, pentru fiecare număr natural n≥2n\geq 2, ecuația f(x)=nf(x)=n are exact o soluție în intervalul (0,+∞)(0,+\infty). c) Fie xnx_n unica soluție din intervalul (0,+∞)(0,+\infty) a ecuației f(x)=nf(x)=n, unde nn este număr natural, n≥2n\geq 2. Arătați că lim⁡n→+∞xn=+∞\lim_{n\to+\infty}x_n=+\infty.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=ex−1f'(x)=e^x-1, pentru orice x∈Rx\in\mathbb{R}.
2
2 puncte
f′(0)=0f'(0)=0.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) f(0)=1f(0)=1, lim⁡x→+∞f(x)=+∞\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty și ff este continuă pe [0,+∞)[0,+\infty), deci ecuația dată are cel puțin o soluție.
4
2 puncte
f′(x)>0f'(x)>0 pentru orice x>0⇒fx>0 \Rightarrow f este strict crescătoare pe [0,+∞)⇒f[0,+\infty) \Rightarrow f este injectivă pe [0,+∞)[0,+\infty), deci soluția este unică.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) f(xn)=n⇒exn=n+xn⇒exn>nf(x_n)=n \Rightarrow e^{x_n}=n+x_n \Rightarrow e^{x_n}>n pentru că xn>0x_n>0, oricare ar fi n≥2n\geq 2.
6
3 puncte
xn>ln⁡n⇒lim⁡n→+∞xn=+∞x_n>\ln n \Rightarrow \lim_{n\to+\infty}x_n=+\infty.
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x și se notează cu SS suprafața plană delimitată de graficul funcției ff, axa OxOx și dreptele de ecuații x=0x=0 și x=π2x=\frac{\pi}{2}. a) Calculați aria suprafeței SS. b) Calculați volumul corpului obținut prin rotația suprafeței SS în jurul axei OxOx. c) Demonstrați că ∫02πfn(kx) dx=∫02πfn(x) dx\int_0^{2\pi}f^n(kx)\,dx=\int_0^{2\pi}f^n(x)\,dx, pentru orice numere naturale n,k≥1n,k\geq 1.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) A=∫0π/2∣f(x)∣ dx=∫0π/2cos⁡x dx=\mathcal{A}=\int_0^{\pi/2}|f(x)|\,dx=\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx=
2
3 puncte
=sin⁡x∣0π/2=1=\sin x\Big|_0^{\pi/2}=1.
b)5 puncte
3
1 punct
b) V=π∫0π/2f2(x) dx=π∫0π/2cos⁡2x dx=V=\pi\int_0^{\pi/2}f^2(x)\,dx=\pi\int_0^{\pi/2}\cos^2 x\,dx=
4
4 puncte
=π2∫0π/2(1+cos⁡2x) dx=π2(x+12sin⁡2x)∣0π/2=π24=\frac{\pi}{2}\int_0^{\pi/2}(1+\cos 2x)\,dx=\frac{\pi}{2}\left(x+\frac{1}{2}\sin 2x\right)\Big|_0^{\pi/2}=\frac{\pi^2}{4}.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) t=kx⇒∫02πfn(kx) dx=1k∫02kπcos⁡nt dtt=kx \Rightarrow \int_0^{2\pi}f^n(kx)\,dx=\frac{1}{k}\int_0^{2k\pi}\cos^n t\,dt.
6
2 puncte
∫02kπcos⁡nt dt=∫02πcos⁡nt dt+∫2π4πcos⁡nt dt+…\int_0^{2k\pi}\cos^n t\,dt=\int_0^{2\pi}\cos^n t\,dt+\int_{2\pi}^{4\pi}\cos^n t\,dt+\ldots
7
1 punct
=k∫02πcos⁡nt dt=k\int_0^{2\pi}\cos^n t\,dt, deoarece gn:R→Rg_n:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, gn(x)=cos⁡nxg_n(x)=\cos^n x este periodică de perioadă 2π2\pi, de unde concluzia.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Toamnă Rezervă 2013 — Tehnologic

Următor →

Model 2013 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac