BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Model 2013 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Calculați produsul primilor trei termeni ai progresiei aritmetice (an)n≥1(a_n)_{n\geq 1}, știind că a1=2a_1=2 și a2=1a_2=1.

Rezolvare

1
2 puncte
a2−a1=r⇒r=−1a_2-a_1=r \Rightarrow r=-1.
2
2 puncte
a3=0a_3=0.
3
1 punct
Finalizare: produsul este egal cu 00.
Exercițiul 2
Determinați valorile reale ale lui mm pentru care x2−2x−m>0x^2-2x-m>0, oricare ar fi x∈Rx\in\mathbb{R}.

Rezolvare

1
3 puncte
Δ=4+4m<0\Delta=4+4m<0.
2
2 puncte
m∈(−∞,−1)m\in(-\infty,-1).
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡2x+log⁡2(x−1)=log⁡212\log_2 x+\log_2(x-1)=\log_2 12.

Rezolvare

1
3 puncte
x(x−1)=12⇒x=−3x(x-1)=12 \Rightarrow x=-3 sau x=4x=4.
2
2 puncte
x=4x=4 convine, x=−3x=-3 nu convine.
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr natural de trei cifre, produsul cifrelor acestuia să fie egal cu 33.

Rezolvare

1
1 punct
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibilep=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}.
2
2 puncte
Numărul numerelor abc‾\overline{abc} pentru care a⋅b⋅c=3a\cdot b\cdot c=3 este egal cu 3⇒33 \Rightarrow 3 cazuri favorabile.
3
1 punct
Numărul numerelor naturale de trei cifre este de 900⇒900900 \Rightarrow 900 cazuri posibile.
4
1 punct
p=1300p=\frac{1}{300}.
Exercițiul 5
Calculați a⃗⋅b⃗\vec{a}\cdot\vec{b}, știind că ∣a⃗∣=2|\vec{a}|=2, ∣b⃗∣=3|\vec{b}|=3 și unghiul vectorilor a⃗\vec{a} și b⃗\vec{b} are măsura π3\frac{\pi}{3}.

Rezolvare

1
3 puncte
a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣⋅∣b⃗∣⋅cos⁡∡(a⃗,b⃗)=2⋅3⋅12\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos\measuredangle(\vec{a},\vec{b})=2\cdot 3\cdot\frac{1}{2}.
2
2 puncte
a⃗⋅b⃗=3\vec{a}\cdot\vec{b}=3.
Exercițiul 6
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(1,3)A(1,3), B(0,1)B(0,1) și C(3,1)C(3,1). Determinați coordonatele ortocentrului triunghiului ABCABC.

Rezolvare

1
2 puncte
B(0,1)B(0,1) și C(3,1)⇒BC∥OxC(3,1) \Rightarrow BC\parallel Ox, deci xH=xA=1x_H=x_A=1, unde HH este ortocentrul triunghiului ABCABC.
2
2 puncte
BH⊥AC⇒mBH⋅mAC=−1⇒yH−11⋅−22=−1BH\perp AC \Rightarrow m_{BH}\cdot m_{AC}=-1 \Rightarrow \frac{y_H-1}{1}\cdot\frac{-2}{2}=-1.
3
1 punct
yH=2y_H=2.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Pentru nn număr natural se consideră matricea A=(0012n+1n12n2+1n21)A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 2n+1 & n & 1 \\ 2n^2+1 & n^2 & 1 \end{pmatrix}. a) Calculați suma elementelor matricei AA. b) Determinați numerele naturale nn pentru care matricea AA are determinantul diferit de zero. c) În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele O(0,0)O(0,0) și An(2n+1,n)A_n(2n+1,n), n∈Nn\in\mathbb{N}, n≥2n\geq 2. Determinați valorile numărului natural nn, n≥2n\geq 2 pentru care aria triunghiului OAnAn2OA_nA_{n^2} este egală cu n2−3n^2-3.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Suma elementelor matricei AA este egală cu 1+(2n+1)+n+1+(2n2+1)+n2+1=1+(2n+1)+n+1+(2n^2+1)+n^2+1=
2
2 puncte
=3n2+3n+5=3n^2+3n+5.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) det⁡A=n2−n\det A=n^2-n.
4
3 puncte
Finalizare: n∈N∖{0,1}n\in\mathbb{N}\setminus\{0,1\}.
c)5 puncte
5
1 punct
c) A=12∣Δ∣\mathcal{A}=\frac{1}{2}|\Delta|.
6
3 puncte
n2+n−6=0⇒n=2n^2+n-6=0 \Rightarrow n=2 sau n=−3n=-3.
7
1 punct
Finalizare: n=2n=2.
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se consideră legea de compoziție x∘y=x+ay+1x\circ y=x+ay+1, unde a∈Ra\in\mathbb{R}. a) Pentru a=1a=1 calculați 2011∘20122011\circ 2012. b) Determinați numărul real aa pentru care legea de compoziție „∘\circ” este asociativă. c) Pentru a=−1a=-1 rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 4x∘2x=14^x\circ 2^x=1.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) 2011∘2012=2011+2012+1=2011\circ 2012=2011+2012+1=
2
2 puncte
=4024=4024.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) (x∘y)∘z=x+ay+az+2(x\circ y)\circ z=x+ay+az+2 pentru orice x,y,z∈Rx,y,z\in\mathbb{R}.
4
2 puncte
x∘(y∘z)=x+ay+a2z+a+1x\circ(y\circ z)=x+ay+a^2z+a+1 pentru orice x,y,z∈Rx,y,z\in\mathbb{R}.
5
1 punct
(x∘y)∘z=x∘(y∘z)(x\circ y)\circ z=x\circ(y\circ z) pentru orice x,y,z∈R⇒a=1x,y,z\in\mathbb{R} \Rightarrow a=1.
c)5 puncte
6
2 puncte
c) 2x=t⇒t2−t=02^x=t \Rightarrow t^2-t=0.
7
3 puncte
Finalizare: x=0x=0.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+ln⁡xf(x)=x+\ln x. a) Arătați că lim⁡x→2f(x)−f(2)x−2=32\lim_{x\to 2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\frac{3}{2}. b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x=1x=1. c) Demonstrați că funcția ff este concavă pe (0,+∞)(0,+\infty).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) lim⁡x→2f(x)−f(2)x−2=f′(2)\lim_{x\to 2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=f'(2).
2
2 puncte
f′(x)=(x+ln⁡x)′=1+1xf'(x)=(x+\ln x)'=1+\frac{1}{x}, pentru orice x∈(0,+∞)x\in(0,+\infty).
3
1 punct
Finalizare.
b)5 puncte
4
2 puncte
b) y−f(1)=f′(1)(x−1)y-f(1)=f'(1)(x-1).
5
2 puncte
f(1)=1f(1)=1, f′(1)=2f'(1)=2.
6
1 punct
Ecuația tangentei este y=2x−1y=2x-1.
c)5 puncte
7
2 puncte
c) f′′(x)=−1x2f''(x)=-\frac{1}{x^2}, pentru orice x∈(0,+∞)x\in(0,+\infty).
8
2 puncte
f′′(x)<0f''(x)<0, pentru orice x∈(0,+∞)x\in(0,+\infty).
9
1 punct
Finalizare.
Exercițiul 2
Pentru fiecare număr natural nenul nn se consideră funcția fn:R→Rf_n:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, fn(x)=(x+n)exf_n(x)=(x+n)e^x. a) Calculați ∫01f1(x) dx\int_0^1 f_1(x)\,dx. b) Arătați că funcția f2011f_{2011} este o primitivă a funcției f2012f_{2012}. c) Demonstrați că ∫01fn(x) dx≥9n+56\int_0^1 f_n(x)\,dx\geq\frac{9n+5}{6}, pentru orice număr natural nenul nn, folosind eventual inegalitatea ex≥x+1e^x\geq x+1, adevărată pentru orice x∈Rx\in\mathbb{R}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) ∫01f1(x) dx=(x+1)ex∣01−∫01ex dx=\int_0^1 f_1(x)\,dx=(x+1)e^x\Big|_0^1-\int_0^1 e^x\,dx=
2
3 puncte
=((x+1)ex−ex)∣01=e=((x+1)e^x-e^x)\Big|_0^1=e.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) f2011f_{2011} derivabilă și f2011′(x)=((x+2011)ex)′=ex+(x+2011)ex=(x+2012)exf_{2011}'(x)=((x+2011)e^x)'=e^x+(x+2011)e^x=(x+2012)e^x, ∀x∈R\forall x\in\mathbb{R}.
4
2 puncte
f2011′=f2012f_{2011}'=f_{2012}.
c)5 puncte
5
1 punct
c) (x+n)ex≥(x+n)(x+1)(x+n)e^x\geq(x+n)(x+1), pentru orice x∈[0,1]x\in[0,1] și n∈N∗n\in\mathbb{N}^*.
6
1 punct
∫01(x+n)ex dx≥∫01(x+n)(x+1) dx\int_0^1(x+n)e^x\,dx\geq\int_0^1(x+n)(x+1)\,dx.
7
2 puncte
∫01(x+n)(x+1) dx=(x33+(n+1)x22+nx)∣01=9n+56\int_0^1(x+n)(x+1)\,dx=\left(\frac{x^3}{3}+(n+1)\frac{x^2}{2}+nx\right)\Big|_0^1=\frac{9n+5}{6}.
8
1 punct
Finalizare.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Model 2013 — Matematică-Informatică

Următor →

Model 2013 — Tehnologic

← Înapoi la arhiva completă Bac