BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Model 2013 — Tehnologic

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația (3x+2)2=4(3x+2)^2=4.

Rezolvare

1
3 puncte
9x2+12x=09x^2+12x=0.
2
2 puncte
x=0x=0 sau x=−43x=-\frac{4}{3}.
Exercițiul 2
Determinați numărul real mm pentru care vârful parabolei asociate funcției f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=−x2+3mx+1f(x)=-x^2+3mx+1 are abscisa egală cu 32\frac{3}{2}.

Rezolvare

1
2 puncte
−b2a=3m2-\frac{b}{2a}=\frac{3m}{2}.
2
2 puncte
3m2=32\frac{3m}{2}=\frac{3}{2}.
3
1 punct
m=1m=1.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 32x=93^{2x}=9.

Rezolvare

1
2 puncte
32x=323^{2x}=3^2.
2
3 puncte
2x=2⇒x=12x=2 \Rightarrow x=1.
Exercițiul 4
Calculați 5C42−A525C_4^2-A_5^2.

Rezolvare

1
2 puncte
C42=6C_4^2=6.
2
2 puncte
A52=20A_5^2=20.
3
1 punct
5C42−A52=105C_4^2-A_5^2=10.
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(−6,3)A(-6,3) și B(2,5)B(2,5). Determinați coordonatele mijlocului segmentului (AB)(AB).

Rezolvare

1
1 punct
CC mijlocul lui (AB)⇒xC=xA+xB2(AB) \Rightarrow x_C=\frac{x_A+x_B}{2} și yC=yA+yB2y_C=\frac{y_A+y_B}{2}.
2
2 puncte
xC=−2x_C=-2.
3
2 puncte
yC=4y_C=4.
Exercițiul 6
Calculați lungimea diagonalei BDBD a rombului ABCDABCD în care AB=4AB=4 și m(∡ABC)=120∘m(\measuredangle ABC)=120^\circ.

Rezolvare

1
2 puncte
m(∡BAD)=60∘m(\measuredangle BAD)=60^\circ.
2
1 punct
△ABD\triangle ABD este echilateral.
3
2 puncte
BD=4BD=4.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Pentru fiecare număr real xx se consideră matricea A(x)=(−12x2−1xxx2)A(x)=\begin{pmatrix} -1 & 2 & x \\ 2 & -1 & x \\ x & x & 2 \end{pmatrix} și se notează determinantul ei cu Δ(x)\Delta(x). a) Calculați Δ(1)\Delta(1). b) Arătați că Δ(x)=6(x2−1)\Delta(x)=6(x^2-1), pentru orice număr real xx. c) Determinați inversa matricei A(0)A(0).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) Δ(1)=∣−1212−11112∣\Delta(1)=\begin{vmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix}.
2
3 puncte
Δ(1)=0\Delta(1)=0.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Δ(x)=2+2⋅x2+2⋅x2+x2+x2−8\Delta(x)=2+2\cdot x^2+2\cdot x^2+x^2+x^2-8.
4
2 puncte
Finalizare.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Δ(0)=−6\Delta(0)=-6.
6
3 puncte
(A(0))−1=16(240420003)(A(0))^{-1}=\frac{1}{6}\begin{pmatrix} 2 & 4 & 0 \\ 4 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.
Exercițiul 2
În R[X]\mathbb{R}[X] se consideră polinomul f=X3−X2+aX+bf=X^3-X^2+aX+b. a) Calculați a+ba+b, știind că f(1)=0f(1)=0. b) Pentru a=−1a=-1 și b=1b=1, determinați rădăcinile polinomului ff. c) Determinați numerele reale aa și bb, știind că x1=1x_1=1 și x2=2x_2=2 sunt rădăcini ale polinomului ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f(1)=13−12+a⋅1+bf(1)=1^3-1^2+a\cdot 1+b.
2
2 puncte
a+b=0a+b=0.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) f=X3−X2−X+1⇒f=(X−1)2(X+1)f=X^3-X^2-X+1 \Rightarrow f=(X-1)^2(X+1).
4
2 puncte
Finalizare: x1=x2=1x_1=x_2=1, x3=−1x_3=-1.
c)5 puncte
5
1 punct
c) f(1)=0⇒a+b=0f(1)=0 \Rightarrow a+b=0.
6
2 puncte
f(2)=0⇒2a+b=−4f(2)=0 \Rightarrow 2a+b=-4.
7
2 puncte
Finalizare: a=−4a=-4, b=4b=4.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=xln⁡xf(x)=x\ln x. a) Verificați dacă f′(x)=1+ln⁡xf'(x)=1+\ln x, oricare ar fi x∈(0,+∞)x\in(0,+\infty). b) Arătați că funcția ff este crescătoare pe [1e,+∞)\left[\frac{1}{e},+\infty\right). c) Demonstrați că f(x)≥−1ef(x)\geq-\frac{1}{e}, oricare ar fi x∈(0,+∞)x\in(0,+\infty).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=1⋅ln⁡x+x⋅1xf'(x)=1\cdot\ln x+x\cdot\frac{1}{x} pentru orice x∈(0,+∞)x\in(0,+\infty).
2
2 puncte
Finalizare.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) f′(x)=0⇒x=1ef'(x)=0 \Rightarrow x=\frac{1}{e}.
4
3 puncte
f′(x)≥0f'(x)\geq 0 pentru orice x∈[1e,+∞)⇒fx\in\left[\frac{1}{e},+\infty\right) \Rightarrow f crescătoare pe intervalul [1e,+∞)\left[\frac{1}{e},+\infty\right).
c)5 puncte
5
3 puncte
c) f′(x)≤0f'(x)\leq 0 pentru orice x∈(0,1e]⇒fx\in\left(0,\frac{1}{e}\right] \Rightarrow f descrescătoare pe intervalul (0,1e]\left(0,\frac{1}{e}\right].
6
2 puncte
Din tabelul de variație al funcției obținem f(x)≥f(1e)=−1ef(x)\geq f\left(\frac{1}{e}\right)=-\frac{1}{e} pentru orice x∈(0,+∞)x\in(0,+\infty).
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=1+1x+1x2f(x)=1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}. a) Verificați dacă funcția F:(0,+∞)→RF:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, F(x)=x−1x+ln⁡xF(x)=x-\frac{1}{x}+\ln x este o primitivă a funcției ff. b) Calculați ∫1ex⋅f(x2) dx\int_1^e x\cdot f(x^2)\,dx. c) Determinați numărul real a>1a>1, pentru care ∫1a(f(x)−1x)dx=32\int_1^a\left(f(x)-\frac{1}{x}\right)dx=\frac{3}{2}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) F′(x)=(x−1x+ln⁡x)′=1+1x2+1xF'(x)=\left(x-\frac{1}{x}+\ln x\right)'=1+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}.
2
2 puncte
FF este derivabilă pe (0,+∞)(0,+\infty) și F′=fF'=f.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) ∫1ex⋅f(x2) dx=12∫1ef(x2)⋅2x dx=12∫1e2f(t) dt=\int_1^e x\cdot f(x^2)\,dx=\frac{1}{2}\int_1^e f(x^2)\cdot 2x\,dx=\frac{1}{2}\int_1^{e^2}f(t)\,dt=
4
2 puncte
=12(t−1t+ln⁡t)∣1e2=12(e2−1e2+2)=\frac{1}{2}\left(t-\frac{1}{t}+\ln t\right)\Big|_1^{e^2}=\frac{1}{2}\left(e^2-\frac{1}{e^2}+2\right).
c)5 puncte
5
2 puncte
c) ∫1a(f(x)−1x)dx=(x−1x)∣1a=a−1a\int_1^a\left(f(x)-\frac{1}{x}\right)dx=\left(x-\frac{1}{x}\right)\Big|_1^a=a-\frac{1}{a}.
6
2 puncte
a−1a=32⇒a=2a-\frac{1}{a}=\frac{3}{2} \Rightarrow a=2 sau a=−12a=-\frac{1}{2}.
7
1 punct
Finalizare: a=2a=2.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Model 2013 — Științele Naturii

Următor →

Bac Vară 2012 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac