BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Model 2014 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Determinați numerele reale aa și bb, știind că a+iba+ib este conjugatul numărului complex z=1+i1−iz=\frac{1+i}{1-i}.

Rezolvare

1
2 puncte
z=iz=i.
2
1 punct
zˉ=−i\bar{z}=-i.
3
2 puncte
a=0a=0, b=−1b=-1.
Exercițiul 2
Determinați coordonatele vârfului parabolei asociate funcției f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+4x−12f(x)=x^2+4x-12.

Rezolvare

1
2 puncte
xV=−2x_V=-2.
2
3 puncte
yV=−16y_V=-16.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡3(x2−4)=log⁡3(6x−12)\log_3(x^2-4)=\log_3(6x-12).

Rezolvare

1
2 puncte
x2−4=6x−12⇒x2−6x+8=0x^2-4=6x-12 \Rightarrow x^2-6x+8=0.
2
3 puncte
x1=2x_1=2 nu convine și x2=4x_2=4 verifică ecuația.
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr din mulțimea numerelor naturale de trei cifre, acesta să fie divizibil cu 100100.

Rezolvare

1
2 puncte
Numerele divizibile cu 100100 din mulțimea numerelor naturale de trei cifre sunt 100,200,…,900⇒9100, 200, \ldots, 900 \Rightarrow 9 cazuri favorabile.
2
1 punct
Numărul numerelor naturale de trei cifre este 900⇒900900 \Rightarrow 900 cazuri posibile.
3
2 puncte
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=1100p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{1}{100}.
Exercițiul 5
Se consideră punctele AA, BB și CC astfel încât AB⃗=4i⃗−3j⃗\vec{AB}=4\vec{i}-3\vec{j} și BC⃗=2i⃗−5j⃗\vec{BC}=2\vec{i}-5\vec{j}. Determinați lungimea vectorului AB⃗+AC⃗+BC⃗\vec{AB}+\vec{AC}+\vec{BC}.

Rezolvare

1
2 puncte
AC⃗=6i⃗−8j⃗⇒AC=10\vec{AC}=6\vec{i}-8\vec{j} \Rightarrow AC=10.
2
3 puncte
Lungimea vectorului AB⃗+AC⃗+BC⃗=2AC⃗\vec{AB}+\vec{AC}+\vec{BC}=2\vec{AC} este egală cu 2020.
Exercițiul 6
Calculați lungimea laturii ACAC a triunghiului ABCABC, știind că BC=8BC=8, A=π4A=\frac{\pi}{4} și C=7π12C=\frac{7\pi}{12}.

Rezolvare

1
2 puncte
B=π6B=\frac{\pi}{6}.
2
3 puncte
BCsin⁡A=ACsin⁡B⇒AC=42\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B} \Rightarrow AC=4\sqrt{2}.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Pentru fiecare număr real xx se consideră matricea A(x)=(x1221110−x)A(x)=\begin{pmatrix} x & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -x \end{pmatrix}. a) Arătați că A(x)+A(−x)=2A(0)A(x)+A(-x)=2A(0), pentru orice număr real xx. b) Determinați numărul real xx pentru care det⁡(A(x))=0\det(A(x))=0. c) Arătați că există o infinitate de matrice X∈M3,1(R)X\in\mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R}) care verifică relația A(1)⋅X=(000)A(1)\cdot X=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) A(x)+A(−x)=(x1221110−x)+(−x1221110x)=A(x)+A(-x)=\begin{pmatrix} x & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -x \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -x & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & x \end{pmatrix}=
2
3 puncte
=(024422200)=2A(0)=\begin{pmatrix} 0 & 2 & 4 \\ 4 & 2 & 2 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix}=2A(0), pentru orice număr real xx.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) det⁡(A(x))=∣x1221110−x∣=−x2+2x−1\det(A(x))=\begin{vmatrix} x & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -x \end{vmatrix}=-x^2+2x-1.
4
2 puncte
det⁡(A(x))=0⇔x=1\det(A(x))=0 \Leftrightarrow x=1.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) A(1)=(11221110−1)A(1)=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}; pentru X=(xyz)X=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} avem A(1)⋅X=(000)⇔{x+y+2z=02x+y+z=0x−z=0A(1)\cdot X=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \Leftrightarrow \begin{cases} x+y+2z=0 \\ 2x+y+z=0 \\ x-z=0 \end{cases} care este sistem omogen.
6
2 puncte
Determinantul sistemului este egal cu 0⇒0 \Rightarrow sistemul are o infinitate de soluții ⇒\Rightarrow există o infinitate de matrice XX.
Exercițiul 2
Se consideră polinomul f=X3+mX2+mX+1f=X^3+mX^2+mX+1, unde mm este un număr real. a) Calculați f(−1)f(-1). b) Determinați numărul real mm știind că x12+x22+x32=−1x_1^2+x_2^2+x_3^2=-1, unde x1,x2,x3x_1,x_2,x_3 sunt rădăcinile complexe ale polinomului ff. c) Determinați valorile reale ale lui mm pentru care toate rădăcinile polinomului ff sunt reale.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) f(−1)=(−1)3+m⋅(−1)2+m⋅(−1)+1=f(-1)=(-1)^3+m\cdot(-1)^2+m\cdot(-1)+1=
2
3 puncte
=−1+m−m+1=0=-1+m-m+1=0.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) x1+x2+x3=−mx_1+x_2+x_3=-m și x1x2+x1x3+x2x3=mx_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=m.
4
1 punct
x12+x22+x32=m2−2mx_1^2+x_2^2+x_3^2=m^2-2m.
5
2 puncte
m2−2m=−1⇔m=1m^2-2m=-1 \Leftrightarrow m=1.
c)5 puncte
6
2 puncte
c) f=(X+1)(X2+(m−1)X+1)f=(X+1)(X^2+(m-1)X+1).
7
3 puncte
ff are toate rădăcinile reale ⇔(m−1)2−4≥0⇔m∈(−∞,−1]∪[3,+∞)\Leftrightarrow (m-1)^2-4\geq 0 \Leftrightarrow m\in(-\infty,-1]\cup[3,+\infty).

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+x+1f(x)=\sqrt{x^2+x+1}. a) Calculați f′(x)f'(x), x∈Rx\in\mathbb{R}. b) Determinați ecuația asimptotei spre +∞+\infty la graficul funcției ff. c) Determinați intervalele de monotonie ale funcției ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) f′(x)=12x2+x+1⋅(x2+x+1)′=f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x^2+x+1}}\cdot(x^2+x+1)'=
2
3 puncte
=2x+12x2+x+1=\frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+1}}, pentru orice x∈Rx\in\mathbb{R}.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) lim⁡x→+∞f(x)x=1\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=1.
4
2 puncte
lim⁡x→+∞(f(x)−x)=lim⁡x→+∞x+1x2+x+1+x=12\lim_{x\to+\infty}(f(x)-x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{x+1}{\sqrt{x^2+x+1}+x}=\frac{1}{2}.
5
1 punct
Dreapta de ecuație y=x+12y=x+\frac{1}{2} este asimptotă oblică spre +∞+\infty la graficul funcției ff.
c)5 puncte
6
1 punct
c) f′(x)=0⇔x=−12f'(x)=0 \Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}.
7
2 puncte
f′(x)≥0f'(x)\geq 0 pentru orice x∈[−12,+∞)⇒fx\in\left[-\frac{1}{2},+\infty\right) \Rightarrow f este crescătoare pe [−12,+∞)\left[-\frac{1}{2},+\infty\right).
8
2 puncte
f′(x)≤0f'(x)\leq 0 pentru orice x∈(−∞,−12]⇒fx\in\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right] \Rightarrow f este descrescătoare pe (−∞,−12]\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right].
Exercițiul 2
Pentru fiecare număr natural nenul nn se consideră numărul In=∫01(1−x)nex dxI_n=\int_0^1(1-x)^n e^x\,dx. a) Calculați I1I_1. b) Arătați că In+1=(n+1)In−1I_{n+1}=(n+1)I_n-1, pentru orice număr natural nenul nn. c) Demonstrați că In=n!(e−1−11!−…−1n!)I_n=n!\left(e-1-\frac{1}{1!}-\ldots-\frac{1}{n!}\right), pentru orice număr natural nenul nn.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) I1=∫01(1−x)ex dx=(1−x)ex∣01+∫01ex dx=I_1=\int_0^1(1-x)e^x\,dx=(1-x)e^x\Big|_0^1+\int_0^1 e^x\,dx=
2
2 puncte
=e−2=e-2.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) In+1=∫01(1−x)n+1(ex)′ dx=(1−x)n+1ex∣01−∫01((1−x)n+1)′ex dx=I_{n+1}=\int_0^1(1-x)^{n+1}(e^x)'\,dx=(1-x)^{n+1}e^x\Big|_0^1-\int_0^1((1-x)^{n+1})'e^x\,dx=
4
3 puncte
=−1+(n+1)∫01(1−x)nex dx=−1+(n+1)In=-1+(n+1)\int_0^1(1-x)^n e^x\,dx=-1+(n+1)I_n, pentru orice număr natural nenul nn.
c)5 puncte
5
1 punct
c) Demonstrație prin inducție matematică: I1=1!(e−1−11!)=e−2I_1=1!\left(e-1-\frac{1}{1!}\right)=e-2, deci proprietatea este adevărată pentru n=1n=1.
6
4 puncte
Presupunem proprietatea adevărată pentru numărul natural nenul kk. Avem Ik+1=(k+1)Ik−1=(k+1)k!(e−1−11!−…−1k!)−1=(k+1)!(e−1−11!−…−1(k+1)!)I_{k+1}=(k+1)I_k-1=(k+1)k!\left(e-1-\frac{1}{1!}-\ldots-\frac{1}{k!}\right)-1=(k+1)!\left(e-1-\frac{1}{1!}-\ldots-\frac{1}{(k+1)!}\right), deci proprietatea este adevărată pentru orice număr natural nenul nn.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Toamnă Rezervă 2014 — Tehnologic

Următor →

Simulare XI 2014 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac