BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Simulare XI 2014 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Calculați z+zˉz+\bar{z}, știind că z=3+4iz=3+4i și zˉ\bar{z} este conjugatul numărului complex zz.

Rezolvare

1
2 puncte
zˉ=3−4i\bar{z}=3-4i.
2
3 puncte
z+zˉ=6z+\bar{z}=6.
Exercițiul 2
Determinați numărul real pozitiv mm pentru care dreapta x=2x=2 este axă de simetrie a graficului funcției f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x2−(m2−1)x+3f(x)=2x^2-(m^2-1)x+3.

Rezolvare

1
3 puncte
m2−14=2⇒m2−9=0\frac{m^2-1}{4}=2 \Rightarrow m^2-9=0.
2
2 puncte
m=−3m=-3 nu convine, m=3m=3 convine.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡2(2x−1)=2log⁡2x\log_2(2x-1)=2\log_2 x.

Rezolvare

1
2 puncte
2x−1=x22x-1=x^2.
2
3 puncte
x=1x=1, convine.
Exercițiul 4
Determinați câte numere naturale abc‾\overline{abc}, cu aa, bb și cc nenule, au suma cifrelor egală cu 55.

Rezolvare

1
2 puncte
a+b+c=5⇒a+b+c=5 \Rightarrow cifrele nenule aa, bb și cc pot fi 1,1,31, 1, 3 sau 1,2,21, 2, 2.
2
1 punct
Dacă cifrele sunt 1,1,31, 1, 3 se obțin numerele 113113, 131131 și 311311.
3
2 puncte
Dacă cifrele sunt 1,2,21, 2, 2 se obțin numerele 122122, 212212, 221221 ⇒\Rightarrow sunt 66 numere care verifică condițiile date.
Exercițiul 5
Se consideră triunghiul ABCABC și punctul DD astfel încât DB⃗+DC⃗=0⃗\vec{DB}+\vec{DC}=\vec{0}. Determinați numărul real pp pentru care AD⃗=p(AB⃗+AC⃗)\vec{AD}=p(\vec{AB}+\vec{AC}).

Rezolvare

1
3 puncte
DB⃗+DC⃗=0⃗⇒D\vec{DB}+\vec{DC}=\vec{0} \Rightarrow D este mijlocul laturii BCBC.
2
2 puncte
AD⃗=12(AB⃗+AC⃗)⇒p=12\vec{AD}=\frac{1}{2}(\vec{AB}+\vec{AC}) \Rightarrow p=\frac{1}{2}.
Exercițiul 6
Calculați lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABCABC, știind că AC=6AC=6 și cos⁡B=45\cos B=\frac{4}{5}.

Rezolvare

1
2 puncte
sin⁡B=1−cos⁡2B=35\sin B=\sqrt{1-\cos^2 B}=\frac{3}{5}.
2
3 puncte
ACsin⁡B=2R⇒R=5\frac{AC}{\sin B}=2R \Rightarrow R=5.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră determinantul D(x,y)=∣111xy2x2+1y2+15∣D(x,y)=\begin{vmatrix}1&1&1\\x&y&2\\x^2+1&y^2+1&5\end{vmatrix}, unde xx și yy sunt numere reale. a) Calculați D(1,−1)D(1,-1). b) Arătați că D(x,y)=(x−2)(y−2)(y−x)D(x,y)=(x-2)(y-2)(y-x), pentru orice numere reale xx și yy. c) Determinați numerele reale xx pentru care D(2x,4x)=0D(2^x,4^x)=0.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) D(1,−1)=∣1111−12225∣=D(1,-1)=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&-1&2\\2&2&5\end{vmatrix}=
2
3 puncte
=−6=-6.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) D(x,y)=∣001x−2y−22(x−2)(x+2)(y−2)(y+2)5∣=D(x,y)=\begin{vmatrix}0&0&1\\x-2&y-2&2\\(x-2)(x+2)&(y-2)(y+2)&5\end{vmatrix}=
4
3 puncte
=(x−2)(y−2)∣001112x+2y+25∣=(x−2)(y−2)(y−x)=(x-2)(y-2)\begin{vmatrix}0&0&1\\1&1&2\\x+2&y+2&5\end{vmatrix}=(x-2)(y-2)(y-x), pentru orice numere reale xx și yy.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) D(2x,4x)=(2x−2)(4x−2)(4x−2x)D(2^x,4^x)=(2^x-2)(4^x-2)(4^x-2^x).
6
1 punct
2x−2=0⇒x=12^x-2=0 \Rightarrow x=1.
7
1 punct
4x−2=0⇒x=124^x-2=0 \Rightarrow x=\frac{1}{2}.
8
1 punct
4x−2x=0⇒x=04^x-2^x=0 \Rightarrow x=0.
Exercițiul 2
Se consideră matricea A(x)=(11x1x1x11)A(x)=\begin{pmatrix}1&1&x\\1&x&1\\x&1&1\end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Calculați A(1)−A(−2)A(1)-A(-2). b) Demonstrați că A(n)A(n) este inversabilă pentru orice număr natural nn, n≠1n\neq 1. c) Determinați inversa matricei A(0)A(0).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) A(1)=(111111111)A(1)=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}, A(−2)=(11−21−21−211)A(-2)=\begin{pmatrix}1&1&-2\\1&-2&1\\-2&1&1\end{pmatrix}.
2
2 puncte
A(1)−A(−2)=(003030300)A(1)-A(-2)=\begin{pmatrix}0&0&3\\0&3&0\\3&0&0\end{pmatrix}.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) det⁡(A(n))=∣11n1n1n11∣=−(n+2)(n−1)2\det(A(n))=\begin{vmatrix}1&1&n\\1&n&1\\n&1&1\end{vmatrix}=-(n+2)(n-1)^2.
4
2 puncte
n∈Nn\in\mathbb{N}, n≠1⇒det⁡(A(n))≠0n\neq 1 \Rightarrow \det(A(n))\neq 0, deci A(n)A(n) inversabilă, pentru orice număr natural nn, n≠1n\neq 1.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) A(0)=(110101011)⇒det⁡(A(0))=−2A(0)=\begin{pmatrix}1&1&0\\1&0&1\\0&1&1\end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(0))=-2.
6
3 puncte
A−1(0)=(1212−1212−1212−121212)A^{-1}(0)=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{pmatrix}.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră șirul de numere reale (an)n≥1(a_n)_{n\geq 1}, an=n+1n2a_n=\frac{n+1}{n^2}. a) Arătați că an+1an<1\frac{a_{n+1}}{a_n}<1 pentru orice număr natural nenul nn. b) Demonstrați că șirul (an)n≥1(a_n)_{n\geq 1} este mărginit. c) Calculați lim⁡n→+∞(nan)n2+2\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(na_n)^{\sqrt{n^2+2}}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) an+1an=n+2(n+1)2⋅n2n+1=n2(n+2)(n+1)3=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n+2}{(n+1)^2}\cdot\frac{n^2}{n+1}=\frac{n^2(n+2)}{(n+1)^3}=
2
3 puncte
=n3+2n2n3+3n2+3n+1<1=\frac{n^3+2n^2}{n^3+3n^2+3n+1}<1, pentru orice număr natural nenul nn.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) n+1n2>0⇒an>0\frac{n+1}{n^2}>0 \Rightarrow a_n>0, pentru orice număr natural nenul nn.
4
3 puncte
n+1n2≤n+nn2=2n≤2⇒an≤2\frac{n+1}{n^2}\leq\frac{n+n}{n^2}=\frac{2}{n}\leq 2 \Rightarrow a_n\leq 2, pentru orice număr natural nenul nn, deci (an)n≥1(a_n)_{n\geq 1} mărginit.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) lim⁡n→+∞(nan)n2+2=lim⁡n→+∞(n+1n)n2+2=\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(na_n)^{\sqrt{n^2+2}}=\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^{\sqrt{n^2+2}}=
6
3 puncte
=lim⁡n→+∞[(1+1n)n]n2+2n=e1=e=\lim_{n\to+\infty}\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right]^{\frac{\sqrt{n^2+2}}{n}}=e^1=e.
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)={2x+a,x<20,x=2x−b2x+1,x>2f(x)=\begin{cases}2x+a, & x<2\\0, & x=2\\\frac{x-b}{2x+1}, & x>2\end{cases}, unde aa și bb sunt numere reale. a) Determinați ecuația asimptotei spre +∞+\infty la graficul funcției ff. b) Determinați numerele reale aa și bb pentru care funcția ff este continuă pe R\mathbb{R}. c) Pentru b=2b=2, rezolvați în mulțimea (2,+∞)(2,+\infty) inecuația (7⋅f(x)−1)(2x−16)≤0(7\cdot f(x)-1)(2^x-16)\leq 0.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞x−b2x+1=12\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{x-b}{2x+1}=\frac{1}{2}.
2
2 puncte
Ecuația asimptotei spre +∞+\infty la graficul funcției ff este y=12y=\frac{1}{2}.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) ff este continuă pe (−∞,2)(-\infty,2) și pe (2,+∞)(2,+\infty), pentru orice numere reale aa și bb.
4
3 puncte
ff este continuă în x=2x=2, deci lim⁡x→2x<2f(x)=lim⁡x→2x>2f(x)=f(2)⇒a=−4\displaystyle\lim_{\substack{x\to 2\\x<2}}f(x)=\lim_{\substack{x\to 2\\x>2}}f(x)=f(2) \Rightarrow a=-4, b=2b=2.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) (7⋅f(x)−1)(2x−16)=0⇒x=3(7\cdot f(x)-1)(2^x-16)=0 \Rightarrow x=3 sau x=4x=4.
6
3 puncte
ff este continuă pe (2,+∞)⇒(2,+\infty) \Rightarrow mulțimea soluțiilor inecuației este [3,4][3,4].

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Model 2014 — Matematică-Informatică

Următor →

Model 2014 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac