BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Model 2014 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Determinați rația progresiei geometrice (bn)n≥1(b_n)_{n\geq 1} cu termeni reali, știind că b2=1b_2=1 și b5=8b_5=8.

Rezolvare

1
3 puncte
b5=b2q3⇒q3=8b_5=b_2 q^3 \Rightarrow q^3=8.
2
2 puncte
q=2q=2.
Exercițiul 2
Calculați (f∘f)(0)(f\circ f)(0) pentru funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+2x+7f(x)=x^2+2x+7.

Rezolvare

1
2 puncte
f(0)=7f(0)=7.
2
3 puncte
(f∘f)(0)=f(7)=70(f\circ f)(0)=f(7)=70.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2log⁡5(x−3)=log⁡5(x−1)2\log_5(x-3)=\log_5(x-1).

Rezolvare

1
2 puncte
(x−3)2=x−1⇒x2−7x+10=0(x-3)^2=x-1 \Rightarrow x^2-7x+10=0.
2
3 puncte
x1=2x_1=2 nu verifică ecuația și x2=5x_2=5 verifică ecuația.
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr din mulțimea A={1,2,3,…,50}A=\{1,2,3,\ldots,50\}, acesta să fie număr divizibil cu 1111.

Rezolvare

1
2 puncte
Numerele divizibile cu 1111 din mulțimea AA sunt 11,22,3311, 22, 33 și 44⇒444 \Rightarrow 4 cazuri favorabile.
2
1 punct
Numărul elementelor mulțimii AA este 50⇒5050 \Rightarrow 50 cazuri posibile.
3
2 puncte
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=225p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{2}{25}.
Exercițiul 5
Determinați numărul real aa pentru care vectorii v⃗=2i⃗+(a+1)j⃗\vec{v}=2\vec{i}+(a+1)\vec{j} și u⃗=i⃗+2j⃗\vec{u}=\vec{i}+2\vec{j} sunt coliniari.

Rezolvare

1
3 puncte
21=a+12\frac{2}{1}=\frac{a+1}{2}.
2
2 puncte
a=3a=3.
Exercițiul 6
Rezolvați în mulțimea (0,π2)\left(0,\frac{\pi}{2}\right) ecuația 2sin⁡x−1=02\sin x-1=0.

Rezolvare

1
2 puncte
sin⁡x=12\sin x=\frac{1}{2}.
2
3 puncte
x=π6x=\frac{\pi}{6}.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele A=(1004)A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} și B=(1005)B=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}. a) Arătați că A⋅B=B⋅AA\cdot B=B\cdot A. b) Verificați dacă det⁡(A+B)>det⁡A+det⁡B\det(A+B)>\det A+\det B. c) Determinați numărul matricelor X=(a00b)X=\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix} pentru care X2=AX^2=A, unde aa și bb sunt numere reale.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) A⋅B=(10020)A\cdot B=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 20 \end{pmatrix}.
2
3 puncte
B⋅A=(10020)⇒A⋅B=B⋅AB\cdot A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 20 \end{pmatrix} \Rightarrow A\cdot B=B\cdot A.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) A+B=(2009)⇒det⁡(A+B)=18A+B=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 9 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A+B)=18.
4
3 puncte
det⁡A+det⁡B=4+5=9⇒det⁡(A+B)>det⁡A+det⁡B\det A+\det B=4+5=9 \Rightarrow \det(A+B)>\det A+\det B.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) X2=(a200b2)X^2=\begin{pmatrix} a^2 & 0 \\ 0 & b^2 \end{pmatrix}.
6
3 puncte
(a200b2)=(1004)⇒a=±1\begin{pmatrix} a^2 & 0 \\ 0 & b^2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} \Rightarrow a=\pm 1, b=±2⇒b=\pm 2 \Rightarrow sunt 44 matrice XX care verifică cerințele.
Exercițiul 2
Se consideră x1,x2,x3x_1,x_2,x_3 rădăcinile complexe ale polinomului f=X3+X+af=X^3+X+a, unde aa este număr real. a) Pentru a=−2a=-2, arătați că f(1)=0f(1)=0. b) Determinați numărul real aa, știind că (2−x1)(2−x2)(2−x3)=2(2-x_1)(2-x_2)(2-x_3)=2. c) Pentru a≠0a\neq 0, determinați un polinom de grad trei, având coeficienții reali, care are rădăcinile 1x1\frac{1}{x_1}, 1x2\frac{1}{x_2} și 1x3\frac{1}{x_3}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f=X3+X−2⇒f(1)=13+1−2=f=X^3+X-2 \Rightarrow f(1)=1^3+1-2=
2
2 puncte
=2−2=0=2-2=0.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) (2−x1)(2−x2)(2−x3)=f(2)(2-x_1)(2-x_2)(2-x_3)=f(2).
4
2 puncte
f(2)=10+a⇒a=−8f(2)=10+a \Rightarrow a=-8.
c)5 puncte
5
1 punct
c) x1+x2+x3=0x_1+x_2+x_3=0, x1x2+x2x3+x3x1=1x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=1, x1x2x3=−ax_1x_2x_3=-a.
6
3 puncte
1x1+1x2+1x3=−1a\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}=-\frac{1}{a}, 1x1⋅1x2+…=0\frac{1}{x_1}\cdot\frac{1}{x_2}+\ldots=0, 1x1⋅1x2⋅1x3=−1a\frac{1}{x_1}\cdot\frac{1}{x_2}\cdot\frac{1}{x_3}=-\frac{1}{a}.
7
1 punct
Un polinom este g=aX3+X2+1g=aX^3+X^2+1.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=ln⁡(x+1)−ln⁡xf(x)=\ln(x+1)-\ln x. a) Calculați f′(x)f'(x), x∈(0,+∞)x\in(0,+\infty). b) Arătați că funcția ff este descrescătoare. c) Calculați lim⁡x→+∞xf(x)\lim_{x\to+\infty}x f(x).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) f′(x)=(ln⁡(x+1))′−(ln⁡x)′=f'(x)=(\ln(x+1))'-({\ln x})'=
2
3 puncte
=1x+1−1x=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x}, pentru orice x∈(0,+∞)x\in(0,+\infty).
b)5 puncte
3
2 puncte
b) f′(x)=−1x(x+1)f'(x)=-\frac{1}{x(x+1)}, pentru orice x∈(0,+∞)x\in(0,+\infty).
4
3 puncte
f′(x)<0f'(x)<0, pentru orice x∈(0,+∞)⇒fx\in(0,+\infty) \Rightarrow f este descrescătoare.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) lim⁡x→+∞xf(x)=lim⁡x→+∞ln⁡(x+1)−ln⁡x1x=\lim_{x\to+\infty}xf(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x+1)-\ln x}{\frac{1}{x}}=
6
3 puncte
=lim⁡x→+∞1x+1−1x−1x2=1=\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}=1.
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(−2,+∞)→Rf:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=xx+2f(x)=\frac{x}{x+2}. a) Calculați ∫01(x+2)f(x) dx\int_0^1(x+2)f(x)\,dx. b) Arătați că ∫20132014(f(x)+(x+2)f′(x)) dx=1\int_{2013}^{2014}(f(x)+(x+2)f'(x))\,dx=1. c) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei OxOx a graficului funcției g:[1,2]→Rg:[1,2]\to\mathbb{R}, g(x)=xf(x)g(x)=\frac{x}{f(x)}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) ∫01(x+2)f(x) dx=∫01x dx=\int_0^1(x+2)f(x)\,dx=\int_0^1 x\,dx=
2
3 puncte
=x22∣01=12=\frac{x^2}{2}\Big|_0^1=\frac{1}{2}.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) f′(x)=2(x+2)2⇒f(x)+(x+2)f′(x)=1f'(x)=\frac{2}{(x+2)^2} \Rightarrow f(x)+(x+2)f'(x)=1 pentru orice x∈(−2,+∞)x\in(-2,+\infty).
4
2 puncte
∫201320141⋅dx=x∣20132014=1\int_{2013}^{2014}1\cdot dx=x\Big|_{2013}^{2014}=1.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) V=π∫12g2(x) dx=π∫12(x+2)2 dx=V=\pi\int_1^2 g^2(x)\,dx=\pi\int_1^2(x+2)^2\,dx=
6
2 puncte
=π(x+2)33∣12=37π3=\pi\frac{(x+2)^3}{3}\Big|_1^2=\frac{37\pi}{3}.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Simulare XI 2014 — Matematică-Informatică

Următor →

Simulare XI 2014 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac