BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Model 2014 — Tehnologic

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că numărul 3(4+3)−273(4+\sqrt{3})-\sqrt{27} este natural.

Rezolvare

1
2 puncte
3(4+3)=12+333(4+\sqrt{3})=12+3\sqrt{3}.
2
3 puncte
12+33−33=12∈N12+3\sqrt{3}-3\sqrt{3}=12\in\mathbb{N}.
Exercițiul 2
Calculați f(1)+f(2)+…+f(10)f(1)+f(2)+\ldots+f(10) pentru funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x+3f(x)=2x+3.

Rezolvare

1
2 puncte
f(1)+f(2)+…+f(10)=2(1+2+…+10)+30=f(1)+f(2)+\ldots+f(10)=2(1+2+\ldots+10)+30=
2
3 puncte
=140=140.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡7(x2+8)=log⁡7(6x)\log_7(x^2+8)=\log_7(6x).

Rezolvare

1
2 puncte
x2+8=6x⇒x2−6x+8=0x^2+8=6x \Rightarrow x^2-6x+8=0.
2
3 puncte
Rezultă x1=2x_1=2 și x2=4x_2=4, care verifică ecuația.
Exercițiul 4
După o scumpire cu 30%30\%, prețul unui obiect este 325325 de lei. Determinați prețul obiectului înainte de scumpire.

Rezolvare

1
2 puncte
Se notează cu xx prețul înainte de scumpire ⇒x+30%⋅x=325\Rightarrow x+30\%\cdot x=325.
2
3 puncte
x=250x=250.
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele P(1,3)P(1,3) și R(3,3)R(3,3). Determinați coordonatele punctului QQ, știind că RR este mijlocul segmentului PQPQ.

Rezolvare

1
1 punct
RR mijlocul lui (PQ)⇒xR=xP+xQ2(PQ) \Rightarrow x_R=\frac{x_P+x_Q}{2} și yR=yP+yQ2y_R=\frac{y_P+y_Q}{2}.
2
2 puncte
xQ=5x_Q=5.
3
2 puncte
yQ=3y_Q=3.
Exercițiul 6
Arătați că sin⁡10∘+sin⁡30∘−sin⁡170∘=12\sin 10^\circ+\sin 30^\circ-\sin 170^\circ=\frac{1}{2}.

Rezolvare

1
2 puncte
sin⁡170∘=sin⁡10∘\sin 170^\circ=\sin 10^\circ.
2
3 puncte
sin⁡10∘+sin⁡30∘−sin⁡170∘=sin⁡30∘=12\sin 10^\circ+\sin 30^\circ-\sin 170^\circ=\sin 30^\circ=\frac{1}{2}.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele A=(−312−2)A=\begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} și B=(0110)B=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}. a) Calculați det⁡A\det A. b) Arătați că B⋅A−A⋅B=(11−1−1)B\cdot A-A\cdot B=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}. c) Determinați numerele reale xx pentru care det⁡(A+xB)=0\det(A+xB)=0.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) det⁡A=∣−312−2∣=6−2=\det A=\begin{vmatrix} -3 & 1 \\ 2 & -2 \end{vmatrix}=6-2=
2
2 puncte
=4=4.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) B⋅A=(2−2−31)B\cdot A=\begin{pmatrix} 2 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}.
4
3 puncte
A⋅B=(1−3−22)⇒B⋅A−A⋅B=(11−1−1)A\cdot B=\begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} \Rightarrow B\cdot A-A\cdot B=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) det⁡(A+xB)=∣−31+x2+x−2∣=−x2−3x+4\det(A+xB)=\begin{vmatrix} -3 & 1+x \\ 2+x & -2 \end{vmatrix}=-x^2-3x+4.
6
2 puncte
x2+3x−4=0⇔x1=−4x^2+3x-4=0 \Leftrightarrow x_1=-4 și x2=1x_2=1.
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=xy−3(x+y)+12x\circ y=xy-3(x+y)+12. a) Arătați că x∘3=3∘x=3x\circ 3=3\circ x=3, pentru orice număr real xx. b) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x∘x=xx\circ x=x. c) Calculați 1∘2∘…∘20141\circ 2\circ\ldots\circ 2014.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) x∘3=3x−3(x+3)+12=3x\circ 3=3x-3(x+3)+12=3, pentru orice număr real xx.
2
3 puncte
3∘x=3x−3(3+x)+12=3=x∘3⇒x∘3=3∘x=33\circ x=3x-3(3+x)+12=3=x\circ 3 \Rightarrow x\circ 3=3\circ x=3, pentru orice număr real xx.
b)5 puncte
3
1 punct
b) x∘x=x2−6x+12x\circ x=x^2-6x+12.
4
2 puncte
x2−6x+12=x⇒x2−7x+12=0x^2-6x+12=x \Rightarrow x^2-7x+12=0.
5
2 puncte
x1=3x_1=3 și x2=4x_2=4.
c)5 puncte
6
2 puncte
c) 1∘2∘…∘2014=(1∘2)∘3∘(4∘5∘…∘2014)=1\circ 2\circ\ldots\circ 2014=(1\circ 2)\circ 3\circ(4\circ 5\circ\ldots\circ 2014)=
7
3 puncte
=3∘(4∘5∘…∘2014)=3=3\circ(4\circ 5\circ\ldots\circ 2014)=3.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex−xf(x)=e^x-x. a) Calculați f′(x)f'(x), x∈Rx\in\mathbb{R}. b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x0=0x_0=0, situat pe graficul funcției ff. c) Demonstrați că ex≥x+1e^x\geq x+1, pentru orice x∈Rx\in\mathbb{R}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=(ex)′−(x)′=f'(x)=(e^x)'-(x)'=
2
2 puncte
=ex−1=e^x-1, pentru orice x∈Rx\in\mathbb{R}.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) y−f(0)=f′(0)(x−0)y-f(0)=f'(0)(x-0).
4
3 puncte
f(0)=1f(0)=1, f′(0)=0⇒f'(0)=0 \Rightarrow ecuația tangentei este y=1y=1.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) f′(0)=0f'(0)=0; f′(x)<0f'(x)<0, pentru x∈(−∞,0)x\in(-\infty,0) și f′(x)>0f'(x)>0, pentru x∈(0,+∞)x\in(0,+\infty).
6
2 puncte
f(x)≥f(0)⇒ex≥x+1f(x)\geq f(0) \Rightarrow e^x\geq x+1, pentru orice x∈Rx\in\mathbb{R}.
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=3−1xf(x)=3-\frac{1}{x}. a) Calculați ∫12(3−f(x)) dx\int_1^2(3-f(x))\,dx. b) Determinați primitiva F:(0,+∞)→RF:(0,+\infty)\to\mathbb{R} a funcției ff pentru care F(1)=3F(1)=3. c) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei OxOx a graficului funcției g:[1,2]→Rg:[1,2]\to\mathbb{R}, g(x)=xf(x)g(x)=xf(x).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) ∫12(3−f(x)) dx=∫121x dx=\int_1^2(3-f(x))\,dx=\int_1^2\frac{1}{x}\,dx=
2
3 puncte
=ln⁡x∣12=ln⁡2=\ln x\Big|_1^2=\ln 2.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) f(x)=3−1x⇒f(x)=3-\frac{1}{x} \Rightarrow o primitivă FF a funcției ff este de forma F(x)=3x−ln⁡x+cF(x)=3x-\ln x+c, unde c∈Rc\in\mathbb{R}.
4
2 puncte
F(1)=3⇔c=0⇒F(x)=3x−ln⁡xF(1)=3 \Leftrightarrow c=0 \Rightarrow F(x)=3x-\ln x.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) V=π∫12g2(x) dx=π∫12(3x−1)2 dx=π∫12(9x2−6x+1) dx=V=\pi\int_1^2 g^2(x)\,dx=\pi\int_1^2(3x-1)^2\,dx=\pi\int_1^2(9x^2-6x+1)\,dx=
6
3 puncte
=π(3x3−3x2+x)∣12=13π=\pi(3x^3-3x^2+x)\Big|_1^2=13\pi.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Simulare XI 2014 — Științele Naturii

Următor →

Simulare XI 2014 — Tehnologic

← Înapoi la arhiva completă Bac