BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Simulare XI 2014 — Tehnologic

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Determinați numărul real mm din egalitatea m+23=16−2m + 2^3 = \sqrt{16} - 2.

Rezolvare

1
2 puncte
m+8=4−2m + 8 = 4 - 2.
2
3 puncte
m=−6m = -6.
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−3x+2f(x) = x^2 - 3x + 2. Determinați numerele reale xx pentru care f(x)=2f(x) = 2.

Rezolvare

1
3 puncte
x2−3x+2=2⇒x2−3x=0x^2 - 3x + 2 = 2 \Rightarrow x^2 - 3x = 0.
2
2 puncte
x1=0x_1 = 0, x2=3x_2 = 3.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 8x=2x−28^x = 2^{x-2}.

Rezolvare

1
2 puncte
23x=2x−22^{3x} = 2^{x-2}.
2
3 puncte
x=−1x = -1.
Exercițiul 4
O firmă folosește pentru publicitate 30003000 de lei, ceea ce reprezintă 5%5\% din profitul anual. Determinați profitul anual al firmei.

Rezolvare

1
2 puncte
5100⋅x=3000\frac{5}{100} \cdot x = 3000, unde xx este profitul anual al firmei.
2
3 puncte
x=60 000x = 60\,000 de lei.
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră dreapta dd de ecuație x−2y+1=0x - 2y + 1 = 0. Determinați numărul real aa, știind că punctul A(a,2)A(a, 2) aparține dreptei dd.

Rezolvare

1
2 puncte
A(a,2)∈d⇒a−2⋅2+1=0A(a, 2) \in d \Rightarrow a - 2 \cdot 2 + 1 = 0.
2
3 puncte
a=3a = 3.
Exercițiul 6
În triunghiul ABCABC dreptunghic în AA, AB=3AB = 3 și AC=4AC = 4. Determinați sin⁡B\sin B.

Rezolvare

1
3 puncte
BC=5BC = 5.
2
2 puncte
sin⁡B=ACBC=45\sin B = \frac{AC}{BC} = \frac{4}{5}.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră determinanții d=∣111241381∣d = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \\ 3 & 8 & 1 \end{vmatrix} și D(a)=∣4−aa−1a+14−a∣D(a) = \begin{vmatrix} 4 - a & a - 1 \\ a + 1 & 4 - a \end{vmatrix}, unde aa este număr real. a) Arătați că d=1d = 1. b) Determinați numărul real aa pentru care D(a)=1D(a) = 1. c) În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(1,1)A(1, 1), B(2,4)B(2, 4) și C(3,m)C(3, m). Determinați numerele reale mm știind că A△ABC=12\mathcal{A}_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) d=4+16+3−12−8−2d = 4 + 16 + 3 - 12 - 8 - 2.
2
2 puncte
=23−22=1= 23 - 22 = 1.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) D(a)=(4−a)2−(a−1)(a+1)=16−8a+a2−a2+1=17−8aD(a) = (4 - a)^2 - (a - 1)(a + 1) = 16 - 8a + a^2 - a^2 + 1 = 17 - 8a.
4
2 puncte
1=17−8a⇔a=21 = 17 - 8a \Leftrightarrow a = 2.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) ∣1112413m1∣=m−7\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \\ 3 & m & 1 \end{vmatrix} = m - 7.
6
3 puncte
∣m−7∣=1⇒m=6|m - 7| = 1 \Rightarrow m = 6 sau m=8m = 8.
Exercițiul 2
Se consideră matricea A(x)=(1x21)A(x) = \begin{pmatrix} 1 & x \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Calculați A(2)+A(−2)A(2) + A(-2). b) Determinați numerele reale pp și qq pentru care A(2)⋅(pq)=(45)A(2) \cdot \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}. c) Arătați că matricea A(x)A(x) este inversabilă pentru orice număr întreg xx.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) A(2)=(1221)A(2) = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} și A(−2)=(1−221)A(-2) = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}.
2
3 puncte
A(2)+A(−2)=(2042)A(2) + A(-2) = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) (1221)⋅(pq)=(45)⇒{p+2q=42p+q=5\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{cases} p + 2q = 4 \\ 2p + q = 5 \end{cases}.
4
2 puncte
p=2p = 2 și q=1q = 1.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) det⁡(A(x))=1−2x\det(A(x)) = 1 - 2x.
6
3 puncte
x∈Z⇒1−2xx \in \mathbb{Z} \Rightarrow 1 - 2x este număr impar ⇒1−2x≠0⇒det⁡(A(x))≠0⇒\Rightarrow 1 - 2x \neq 0 \Rightarrow \det(A(x)) \neq 0 \Rightarrow matricea A(x)A(x) este inversabilă pentru orice număr întreg xx.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=xx2+1f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}. a) Calculați lim⁡x→1f(x)\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x). b) Calculați lim⁡x→+∞xf(x)\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x f(x). c) Determinați ecuația asimptotei spre +∞+\infty la graficul funcției ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) lim⁡x→1f(x)=lim⁡x→1xx2+1=112+1\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{x}{x^2 + 1} = \frac{1}{1^2 + 1}.
2
2 puncte
=12= \frac{1}{2}.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) lim⁡x→+∞xf(x)=lim⁡x→+∞x2x2+1=lim⁡x→+∞11+1x2\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{x^2 + 1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{x^2}}.
4
2 puncte
=1= 1.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞xx2+1=0\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x^2 + 1} = 0.
6
2 puncte
Ecuația asimptotei spre +∞+\infty la graficul funcției ff este y=0y = 0.
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)={x−2,x<2x2−4x+4,x≥2f(x) = \begin{cases} x - 2, & x < 2 \\ x^2 - 4x + 4, & x \geq 2 \end{cases}. a) Calculați f(1)⋅f(3)f(1) \cdot f(3). b) Arătați că funcția ff este continuă în punctul x=2x = 2. c) Demonstrați că f(a)⋅f(b)<0f(a) \cdot f(b) < 0, pentru orice a<2a < 2 și b>2b > 2.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) f(1)=−1f(1) = -1.
2
3 puncte
f(3)=1⇒f(1)⋅f(3)=−1f(3) = 1 \Rightarrow f(1) \cdot f(3) = -1.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) lim⁡x→2x<2f(x)=lim⁡x→2x<2(x−2)=0\displaystyle\lim_{\substack{x \to 2 \\ x < 2}} f(x) = \lim_{\substack{x \to 2 \\ x < 2}} (x - 2) = 0.
4
2 puncte
lim⁡x→2x>2f(x)=lim⁡x→2x>2(x2−4x+4)=0\displaystyle\lim_{\substack{x \to 2 \\ x > 2}} f(x) = \lim_{\substack{x \to 2 \\ x > 2}} (x^2 - 4x + 4) = 0.
5
1 punct
f(2)=0⇒ff(2) = 0 \Rightarrow f este continuă în punctul x=2x = 2.
c)5 puncte
6
1 punct
c) f(x)=0⇒x=2f(x) = 0 \Rightarrow x = 2.
7
2 puncte
ff continuă pe R⇒f\mathbb{R} \Rightarrow f are semn constant pe (−∞,2)(-\infty, 2) și pe (2,+∞)(2, +\infty).
8
2 puncte
f(1)⋅f(3)<0⇒f(a)⋅f(b)<0f(1) \cdot f(3) < 0 \Rightarrow f(a) \cdot f(b) < 0 pentru orice a<2a < 2 și b>2b > 2.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Model 2014 — Tehnologic

Următor →

Bac Vară 2013 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac