BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Model 2015 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră numărul complex z=1+iz=1+i. Calculați (z−1)2(z-1)^2.

Rezolvare

1
2 puncte
(z−1)2=i2=(z-1)^2=i^2=
2
3 puncte
=−1=-1.
Exercițiul 2
Arătați că 3(x1+x2)−4x1x2=33(x_1+x_2)-4x_1x_2=3, știind că x1x_1 și x2x_2 sunt soluțiile ecuației x2−5x+3=0x^2-5x+3=0.

Rezolvare

1
2 puncte
x1+x2=5x_1+x_2=5.
2
3 puncte
x1⋅x2=3⇒3(x1+x2)−4x1x2=3⋅5−4⋅3=3x_1\cdot x_2=3 \Rightarrow 3(x_1+x_2)-4x_1x_2=3\cdot 5-4\cdot 3=3.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 4x−3⋅2x+2=04^x-3\cdot 2^x+2=0.

Rezolvare

1
3 puncte
(2x−1)(2x−2)=0⇔2x=1(2^x-1)(2^x-2)=0 \Leftrightarrow 2^x=1 sau 2x=22^x=2.
2
2 puncte
x=0x=0 sau x=1x=1.
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu 1313.

Rezolvare

1
2 puncte
Sunt 77 numere de două cifre care sunt divizibile cu 1313, deci sunt 77 cazuri favorabile.
2
1 punct
Sunt 9090 de numere de două cifre, deci sunt 9090 de cazuri posibile.
3
2 puncte
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=790p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{7}{90}.
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră dreapta dd de ecuație y=3x+4y=3x+4 și punctul A(1,0)A(1,0). Determinați ecuația paralelei duse prin punctul AA la dreapta dd.

Rezolvare

1
3 puncte
Panta paralelei duse prin punctul AA la dreapta dd este m=3m=3.
2
2 puncte
Ecuația paralelei duse prin punctul AA la dreapta dd este y=3x−3y=3x-3.
Exercițiul 6
Calculați raza cercului circumscris triunghiului ABCABC, știind că AB=12AB=12 și C=π6C=\frac{\pi}{6}.

Rezolvare

1
2 puncte
sin⁡C=12\sin C=\frac{1}{2}.
2
3 puncte
ABsin⁡C=2R⇒R=12\frac{AB}{\sin C}=2R \Rightarrow R=12.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(a)=(1110aa+12a+2a+3)A(a)=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & a & a+1 \\ 2 & a+2 & a+3 \end{pmatrix}, unde aa este număr real. a) Calculați det⁡(A(a))\det(A(a)). b) Determinați numărul natural nn, știind că 2A(n2)−A(n)=A(6)2A(n^2)-A(n)=A(6). c) Arătați că există o infinitate de matrice X∈M3,1(R)X\in\mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R}) care verifică relația A(2015)⋅X=(000)A(2015)\cdot X=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) det⁡(A(a))=∣1110aa+12a+2a+3∣=\det(A(a))=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & a & a+1 \\ 2 & a+2 & a+3 \end{vmatrix}=
2
3 puncte
=∣1110aa+1222∣=0=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & a & a+1 \\ 2 & 2 & 2 \end{vmatrix}=0.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) 2A(n2)−A(n)=(11102n2−n2n2−n+122n2−n+22n2−n+3)2A(n^2)-A(n)=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2n^2-n & 2n^2-n+1 \\ 2 & 2n^2-n+2 & 2n^2-n+3 \end{pmatrix}, A(6)=(111067289)A(6)=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 6 & 7 \\ 2 & 8 & 9 \end{pmatrix}.
4
2 puncte
2n2−n−6=0⇒n=−32∉N2n^2-n-6=0 \Rightarrow n=-\frac{3}{2}\notin\mathbb{N}, n=2∈Nn=2\in\mathbb{N}.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Pentru X=(xyz)X=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, avem A(2015)⋅X=(000)⇔{x+y+z=02015y+2016z=02x+2017y+2018z=0A(2015)\cdot X=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \Leftrightarrow \begin{cases} x+y+z=0 \\ 2015y+2016z=0 \\ 2x+2017y+2018z=0 \end{cases}.
6
3 puncte
Determinantul sistemului omogen este egal cu 0⇒0 \Rightarrow sistemul are o infinitate de soluții, deci există o infinitate de matrice XX.
Exercițiul 2
Se consideră polinomul f=X3+mX−3f=X^3+mX-3, unde mm este număr real. a) Pentru m=2m=2, arătați că f(1)=0f(1)=0. b) Determinați numărul real mm, știind că polinomul ff este divizibil cu X+1X+1. c) Arătați că, pentru orice număr real strict pozitiv mm, polinomul ff are două rădăcini de module egale.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) f=X3+2X−3f=X^3+2X-3.
2
3 puncte
f(1)=1+2−3=0f(1)=1+2-3=0.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) ff este divizibil cu X+1⇔f(−1)=0X+1 \Leftrightarrow f(-1)=0.
4
3 puncte
m=−4m=-4.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) x12+x22+x32=−2m<0⇒fx_1^2+x_2^2+x_3^2=-2m<0 \Rightarrow f are cel puțin o rădăcină din C∖R\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}.
6
3 puncte
f∈R[X]⇒ff\in\mathbb{R}[X] \Rightarrow f are două rădăcini conjugate din C∖R\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}, care au modulele egale.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+1ex−xf(x)=\frac{x+1}{e^x-x}. a) Calculați f′(x)f'(x), x∈Rx\in\mathbb{R}. b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x0=0x_0=0, situat pe graficul funcției ff. c) Calculați lim⁡x→+∞f(−x)\lim_{x\to+\infty}f(-x).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) f′(x)=ex−x−(x+1)(ex−1)(ex−x)2=f'(x)=\frac{e^x-x-(x+1)(e^x-1)}{(e^x-x)^2}=
2
3 puncte
=1−xex(ex−x)2=\frac{1-xe^x}{(e^x-x)^2}, x∈Rx\in\mathbb{R}.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) y−f(0)=f′(0)(x−0)y-f(0)=f'(0)(x-0).
4
3 puncte
f(0)=1f(0)=1, f′(0)=1f'(0)=1, deci ecuația tangentei este y=x+1y=x+1.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) lim⁡x→+∞f(−x)=lim⁡x→+∞−x+1e−x+x=\lim_{x\to+\infty}f(-x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{-x+1}{e^{-x}+x}=
6
3 puncte
=lim⁡x→+∞−11−e−x=−1=\lim_{x\to+\infty}\frac{-1}{1-e^{-x}}=-1.
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=1x2+4f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+4}}. a) Calculați ∫02f2(x) dx\int_0^2 f^2(x)\,dx. b) Arătați că orice primitivă a funcției ff este funcție crescătoare pe R\mathbb{R}. c) Pentru fiecare număr natural nenul nn se consideră numărul In=∫01xnf(x) dxI_n=\int_0^1 x^n f(x)\,dx. Arătați că nIn=5−4(n−1)In−2nI_n=\sqrt{5}-4(n-1)I_{n-2} pentru orice număr natural nn, n≥3n\geq 3.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫02f2(x) dx=∫021x2+4 dx=12arctan⁡x2∣02=\int_0^2 f^2(x)\,dx=\int_0^2\frac{1}{x^2+4}\,dx=\frac{1}{2}\arctan\frac{x}{2}\Big|_0^2=
2
2 puncte
=12(arctan⁡1−arctan⁡0)=π8=\frac{1}{2}(\arctan 1-\arctan 0)=\frac{\pi}{8}.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) FF este o primitivă a funcției f⇒F′(x)=f(x)f \Rightarrow F'(x)=f(x).
4
3 puncte
F′(x)=1x2+4>0F'(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+4}}>0 pentru orice număr real xx, deci FF este crescătoare pe R\mathbb{R}.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) In=∫01xnx2+4 dx=xn−1x2+4∣01−(n−1)∫01xn−2x2+4 dx=5−(n−1)∫01xn−2(x2+4)x2+4 dx=I_n=\int_0^1\frac{x^n}{\sqrt{x^2+4}}\,dx=x^{n-1}\sqrt{x^2+4}\Big|_0^1-(n-1)\int_0^1 x^{n-2}\sqrt{x^2+4}\,dx=\sqrt{5}-(n-1)\int_0^1\frac{x^{n-2}(x^2+4)}{\sqrt{x^2+4}}\,dx=
6
2 puncte
=5−(n−1)In−4(n−1)In−2⇒nIn=5−4(n−1)In−2=\sqrt{5}-(n-1)I_n-4(n-1)I_{n-2} \Rightarrow nI_n=\sqrt{5}-4(n-1)I_{n-2} pentru orice număr natural nn, n≥3n\geq 3.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Toamnă Rezervă 2015 — Tehnologic

Următor →

Model 2015 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac