BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Model 2015 — Tehnologic

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Calculați media aritmetică a numerelor a=2(5−5)a=2(5-\sqrt{5}) și b=25b=2\sqrt{5}.

Rezolvare

1
3 puncte
Se calculează ma=10−25+252=m_a=\frac{10-2\sqrt{5}+2\sqrt{5}}{2}=
2
2 puncte
=102=5=\frac{10}{2}=5.
Exercițiul 2
Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficului funcției f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−4x+3f(x)=x^2-4x+3 cu axa OxOx.

Rezolvare

1
3 puncte
f(x)=0⇔x2−4x+3=0f(x)=0 \Leftrightarrow x^2-4x+3=0.
2
2 puncte
x1=1x_1=1 și x2=3x_2=3.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡5(2x−1)−log⁡53=0\log_5(2x-1)-\log_5 3=0.

Rezolvare

1
3 puncte
log⁡52x−13=0⇔2x−13=1\log_5\frac{2x-1}{3}=0 \Leftrightarrow \frac{2x-1}{3}=1.
2
2 puncte
x=2x=2, care verifică ecuația.
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să fie multiplu de 33.

Rezolvare

1
3 puncte
Sunt 44 numere de o cifră multipli ai lui 33 (deci 44 cazuri favorabile) și 1010 numere de o cifră (deci 1010 cazuri posibile).
2
2 puncte
p=410=25p=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}.
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(2,4)A(2,4) și B(6,4)B(6,4). Determinați coordonatele mijlocului segmentului ABAB.

Rezolvare

1
3 puncte
MM mijlocul segmentului AB⇒xM=2+62=4AB \Rightarrow x_M=\frac{2+6}{2}=4.
2
2 puncte
yM=4y_M=4.
Exercițiul 6
Arătați că sin⁡(a+b)=6365\sin(a+b)=\frac{63}{65}, știind că a,b∈(0,π2)a,b\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right), sin⁡a=35\sin a=\frac{3}{5} și sin⁡b=1213\sin b=\frac{12}{13}.

Rezolvare

1
2 puncte
cos⁡a=45\cos a=\frac{4}{5}, cos⁡b=513\cos b=\frac{5}{13}.
2
3 puncte
sin⁡(a+b)=35⋅513+1213⋅45=6365\sin(a+b)=\frac{3}{5}\cdot\frac{5}{13}+\frac{12}{13}\cdot\frac{4}{5}=\frac{63}{65}.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A=(2−21−1)A=\begin{pmatrix}2&-2\\1&-1\end{pmatrix}. a) Calculați det⁡A\det A. b) Determinați numerele reale pp pentru care A⋅A=pAA\cdot A=pA. c) Determinați matricele B=(0bb0)B=\begin{pmatrix}0&b\\b&0\end{pmatrix}, știind că det⁡(A+B)=0\det(A+B)=0, unde bb este un număr real.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) det⁡A=∣2−21−1∣=−2+2=\det A=\begin{vmatrix}2&-2\\1&-1\end{vmatrix}=-2+2=
2
2 puncte
=0=0.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) A⋅A=(2−21−1)A\cdot A=\begin{pmatrix}2&-2\\1&-1\end{pmatrix}.
4
2 puncte
p=1p=1.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) A+B=(2b−2b+1−1)⇒det⁡(A+B)=−b2+bA+B=\begin{pmatrix}2&b-2\\b+1&-1\end{pmatrix} \Rightarrow \det(A+B)=-b^2+b.
6
3 puncte
det⁡(A+B)=0⇔b=0\det(A+B)=0 \Leftrightarrow b=0 sau b=1b=1, deci B=(0000)B=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix} sau B=(0110)B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}.
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție dată de x∘y=−xy+x+yx\circ y=-xy+x+y. a) Calculați 1∘20151\circ 2015. b) Arătați că x∘y=−(x−1)(y−1)+1x\circ y=-(x-1)(y-1)+1, pentru orice numere reale xx și yy. c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3x∘5x=13^x\circ 5^x=1.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) 1∘2015=−1⋅2015+1+2015=1\circ 2015=-1\cdot 2015+1+2015=
2
2 puncte
=1=1.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) x∘y=−x(y−1)+(y−1)+1=x\circ y=-x(y-1)+(y-1)+1=
4
2 puncte
=−(x−1)(y−1)+1=-(x-1)(y-1)+1, pentru orice numere reale xx și yy.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) (3x−1)(5x−1)=0(3^x-1)(5^x-1)=0.
6
3 puncte
x=0x=0.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3xx2+1f(x)=\frac{3x}{x^2+1}. a) Calculați lim⁡x→1f(x)\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x). b) Arătați că f′(x)=−3(x−1)(x+1)(x2+1)2f'(x)=-\frac{3(x-1)(x+1)}{(x^2+1)^2}, x∈Rx\in\mathbb{R}. c) Determinați intervalele de monotonie ale funcției ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) lim⁡x→1f(x)=lim⁡x→13xx2+1=\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)=\lim_{x\to 1}\frac{3x}{x^2+1}=
2
3 puncte
=3⋅112+1=32=\frac{3\cdot 1}{1^2+1}=\frac{3}{2}.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) f′(x)=3(x2+1)−3x⋅2x(x2+1)2=f'(x)=\frac{3(x^2+1)-3x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}=
4
3 puncte
=3−3x2(x2+1)2=−3(x−1)(x+1)(x2+1)2=\frac{3-3x^2}{(x^2+1)^2}=-\frac{3(x-1)(x+1)}{(x^2+1)^2}, x∈Rx\in\mathbb{R}.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) f′(x)=0⇔x1=−1f'(x)=0 \Leftrightarrow x_1=-1 și x2=1x_2=1.
6
3 puncte
ff este descrescătoare pe (−∞,−1](-\infty,-1], crescătoare pe [−1,1][-1,1] și descrescătoare pe [1,+∞)[1,+\infty).
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x5+xf(x)=x^5+x. a) Calculați ∫−11x5 dx\displaystyle\int_{-1}^{1}x^5\,dx. b) Arătați că ∫01(f(x)−x5)ex dx=1\displaystyle\int_0^1(f(x)-x^5)e^x\,dx=1. c) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei OxOx a graficului funcției g:[1,2]→Rg:[1,2]\to\mathbb{R}, definită prin g(x)=f(x)−xx3g(x)=\frac{f(x)-x}{x^3}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫−11x5 dx=x66∣−11=\displaystyle\int_{-1}^{1}x^5\,dx=\left.\frac{x^6}{6}\right|_{-1}^{1}=
2
2 puncte
=16−16=0=\frac{1}{6}-\frac{1}{6}=0.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) ∫01xex dx=xex∣01−∫01ex dx=\displaystyle\int_0^1 xe^x\,dx=\left.xe^x\right|_0^1-\int_0^1 e^x\,dx=
4
2 puncte
=e−0−e+1=1=e-0-e+1=1.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) g(x)=(x5+x)−xx3=x2⇒V=π∫12x4 dx=πx55∣12=g(x)=\frac{(x^5+x)-x}{x^3}=x^2 \Rightarrow V=\pi\int_1^2 x^4\,dx=\pi\left.\frac{x^5}{5}\right|_1^2=
6
2 puncte
=315π=\frac{31}{5}\pi.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Model 2015 — Științele Naturii

Următor →

Simulare 2014 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac