BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Model 2017 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră numerele complexe z1=2+3iz_1=2+3i și z2=4−6iz_2=4-6i. Arătați că numărul z1z2+2z1+z2z_1z_2+2z_1+z_2 este real.

Rezolvare

1
2 puncte
z1z2+2z1+z2=(2+3i)(4−6i)+2(2+3i)+4−6i=z_1z_2+2z_1+z_2=(2+3i)(4-6i)+2(2+3i)+4-6i=
2
3 puncte
=8−12i+12i−18i2+4+6i+4−6i=34=8-12i+12i-18i^2+4+6i+4-6i=34, care este număr real.
Exercițiul 2
Calculați (f∘g)(0)(f\circ g)(0), unde f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x−1f(x)=2x-1 și g:R→Rg:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=x2+x+1g(x)=x^2+x+1.

Rezolvare

1
2 puncte
g(0)=1g(0)=1.
2
3 puncte
(f∘g)(0)=f(g(0))=f(1)=1(f\circ g)(0)=f(g(0))=f(1)=1.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡5(x2−4)=log⁡5(5x−8)\log_5(x^2-4)=\log_5(5x-8).

Rezolvare

1
3 puncte
x2−4=5x−8⇒x2−5x+4=0x^2-4=5x-8 \Rightarrow x^2-5x+4=0.
2
2 puncte
x=1x=1, care nu verifică ecuația; x=4x=4, care verifică ecuația.
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie multiplu de 77.

Rezolvare

1
3 puncte
Sunt 9090 de numere naturale de două cifre, deci sunt 9090 de cazuri posibile. Sunt 1313 numere naturale de două cifre, multipli de 77, deci sunt 1313 cazuri favorabile.
2
2 puncte
p=1390p=\frac{13}{90}.
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră dreapta dd de ecuație y=3x−2017y=3x-2017 și punctul A(1,0)A(1,0). Determinați ecuația paralelei duse prin punctul AA la dreapta dd.

Rezolvare

1
2 puncte
Dreapta paralelă cu dreapta dd are panta egală cu 33.
2
3 puncte
Ecuația paralelei duse prin punctul AA la dreapta dd este y=3x−3y=3x-3.
Exercițiul 6
Arătați că sin⁡(π2+x)sin⁡x+cos⁡(π2+x)cos⁡x=0\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)\sin x+\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)\cos x=0, pentru orice număr real xx.

Rezolvare

1
3 puncte
sin⁡(π2+x)sin⁡x+cos⁡(π2+x)cos⁡x=cos⁡(π2+x−x)=\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)\sin x+\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)\cos x=\cos\left(\frac{\pi}{2}+x-x\right)=
2
2 puncte
=cos⁡π2=0=\cos\frac{\pi}{2}=0, pentru orice număr real xx.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele A(x)=(x000x0001)A(x)=\begin{pmatrix}x&0&0\\0&x&0\\0&0&1\end{pmatrix} și B(x)=(00x0x0200)B(x)=\begin{pmatrix}0&0&x\\0&x&0\\2&0&0\end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Calculați det⁡(A(2))\det(A(2)). b) Demonstrați că det⁡(A(x)+B(x))=det⁡(B(x))\det(A(x)+B(x))=\det(B(x)), pentru orice număr real xx. c) Determinați numerele naturale nn și pp, știind că A(n)B(p)=B(3)A(n)B(p)=B(3).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) A(2)=(200020001)⇒det⁡(A(2))=∣200020001∣=A(2)=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&1\end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(2))=\begin{vmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&1\end{vmatrix}=
2
3 puncte
=4=4.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) A(x)+B(x)=(x0x02x0201)⇒det⁡(A(x)+B(x))=∣x0x02x0201∣=2x2−4x2=A(x)+B(x)=\begin{pmatrix}x&0&x\\0&2x&0\\2&0&1\end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(x)+B(x))=\begin{vmatrix}x&0&x\\0&2x&0\\2&0&1\end{vmatrix}=2x^2-4x^2=
4
2 puncte
=−2x2=det⁡(B(x))=-2x^2=\det(B(x)), pentru orice număr real xx.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) A(n)B(p)=(n000n0001)(00p0p0200)=(00np0np0200)A(n)B(p)=\begin{pmatrix}n&0&0\\0&n&0\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0&p\\0&p&0\\2&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&np\\0&np&0\\2&0&0\end{pmatrix}, B(3)=(003030200)B(3)=\begin{pmatrix}0&0&3\\0&3&0\\2&0&0\end{pmatrix}.
6
3 puncte
A(n)B(p)=B(3)⇔np=3A(n)B(p)=B(3) \Leftrightarrow np=3 și, cum nn și pp sunt numere naturale, obținem n=1n=1, p=3p=3 sau n=3n=3, p=1p=1.
Exercițiul 2
Se consideră polinomul f=X3+aX2+8X+3f=X^3+aX^2+8X+3, unde aa este număr real. a) Determinați numărul real aa, știind că f(1)=0f(1)=0. b) Pentru a=6a=6, determinați câtul și restul împărțirii polinomului ff la polinomul X2+5X+3X^2+5X+3. c) Demonstrați că, dacă a∈(−4,4)a\in(-4,4), atunci polinomul ff nu are toate rădăcinile reale.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) f(1)=0⇔13+a⋅12+8⋅1+3=0f(1)=0 \Leftrightarrow 1^3+a\cdot 1^2+8\cdot 1+3=0.
2
3 puncte
a=−12a=-12.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) a=6⇒f=X3+6X2+8X+3a=6 \Rightarrow f=X^3+6X^2+8X+3 și câtul este X+1X+1.
4
2 puncte
Restul este 00.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) x1+x2+x3=−ax_1+x_2+x_3=-a, x1x2+x1x3+x2x3=8⇒x12+x22+x32=a2−16x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=8 \Rightarrow x_1^2+x_2^2+x_3^2=a^2-16.
6
2 puncte
Pentru a∈(−4,4)a\in(-4,4), obținem a2−16<0a^2-16<0, deci x12+x22+x32<0x_1^2+x_2^2+x_3^2<0, adică polinomul ff nu are toate rădăcinile reale.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2018+2018x+2f(x)=x^{2018}+2018x+2. a) Arătați că f′(x)=2018(x2017+1)f'(x)=2018(x^{2017}+1), x∈Rx\in\mathbb{R}. b) Determinați numărul real aa, știind că punctul A(a,2020)A(a,2020) aparține tangentei la graficul funcției ff care trece prin punctul de abscisă x=0x=0 situat pe graficul funcției ff. c) Demonstrați că ecuația f(x)=0f(x)=0 are exact două soluții reale distincte.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) f′(x)=(x2018)′+(2018x)′+2′=f'(x)=(x^{2018})'+(2018x)'+2'=
2
3 puncte
=2018x2017+2018=2018(x2017+1)=2018x^{2017}+2018=2018(x^{2017}+1), x∈Rx\in\mathbb{R}.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Ecuația tangentei este y−f(0)=f′(0)(x−0)y-f(0)=f'(0)(x-0), adică y=2018x+2y=2018x+2.
4
2 puncte
2020=2018a+2⇔a=12020=2018a+2 \Leftrightarrow a=1.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) f′(x)=0⇔x=−1f'(x)=0 \Leftrightarrow x=-1.
6
3 puncte
Cum lim⁡x→−∞f(x)=+∞\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty, f(−1)=−2015f(-1)=-2015, lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty, ecuația f(x)=0f(x)=0 are exact două soluții reale distincte.
Exercițiul 2
Pentru fiecare număr natural nenul nn, se consideră numărul In=∫01xnx2+2x+2 dxI_n=\displaystyle\int_0^1\frac{x^n}{x^2+2x+2}\,dx. a) Calculați ∫01(x2+2x+2) dx\displaystyle\int_0^1(x^2+2x+2)\,dx. b) Demonstrați că In+1+2In+2In−1=1nI_{n+1}+2I_n+2I_{n-1}=\frac{1}{n}, pentru orice număr natural nn, n≥2n\geq 2. c) Demonstrați că lim⁡n→+∞nIn=15\displaystyle\lim_{n\to+\infty}nI_n=\frac{1}{5}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫01(x2+2x+2) dx=(x33+2⋅x22+2x)∣01=\displaystyle\int_0^1(x^2+2x+2)\,dx=\left.\left(\frac{x^3}{3}+2\cdot\frac{x^2}{2}+2x\right)\right|_0^1=
2
2 puncte
=13+1+2=103=\frac{1}{3}+1+2=\frac{10}{3}.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) In+1+2In+2In−1=∫01xn+1+2xn+2xn−1x2+2x+2 dx=I_{n+1}+2I_n+2I_{n-1}=\displaystyle\int_0^1\frac{x^{n+1}+2x^n+2x^{n-1}}{x^2+2x+2}\,dx=
4
3 puncte
=∫01xn−1(x2+2x+2)x2+2x+2 dx=∫01xn−1 dx=xnn∣01=1n=\displaystyle\int_0^1\frac{x^{n-1}(x^2+2x+2)}{x^2+2x+2}\,dx=\int_0^1 x^{n-1}\,dx=\left.\frac{x^n}{n}\right|_0^1=\frac{1}{n}, pentru orice număr natural nn, n≥2n\geq 2.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) In+1−In=∫01xn(x−1)x2+2x+2 dx≤0I_{n+1}-I_n=\displaystyle\int_0^1\frac{x^n(x-1)}{x^2+2x+2}\,dx\leq 0, deci In+1≤InI_{n+1}\leq I_n, pentru orice număr natural nenul nn. 5In+1≤In+1+2In+2In−1=1n≤5In−15I_{n+1}\leq I_{n+1}+2I_n+2I_{n-1}=\frac{1}{n}\leq 5I_{n-1}, pentru orice număr natural nn, n≥2n\geq 2.
6
2 puncte
Pentru orice număr natural nn, n≥2n\geq 2, n5(n+1)≤nIn≤n5(n−1)\frac{n}{5(n+1)}\leq nI_n\leq\frac{n}{5(n-1)}, deci lim⁡n→+∞nIn=15\displaystyle\lim_{n\to+\infty}nI_n=\frac{1}{5}.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Toamnă Rezervă 2017 — Matematică-Informatică

Următor →

Model 2017 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac