BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Model 2017 — Tehnologic

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că (12+13):56=1\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right):\frac{5}{6}=1.

Rezolvare

1
3 puncte
12+13=56\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}.
2
2 puncte
56:56=1\frac{5}{6}:\frac{5}{6}=1.
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x+3f(x)=2x+3. Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficului funcției ff cu axa OyOy.

Rezolvare

1
3 puncte
f(0)=3f(0)=3.
2
2 puncte
Coordonatele punctului de intersecție cu axa OyOy sunt x=0x=0 și y=3y=3.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația lg⁡(x2+5)=lg⁡9\lg(x^2+5)=\lg 9.

Rezolvare

1
2 puncte
x2+5=9⇒x2−4=0x^2+5=9 \Rightarrow x^2-4=0.
2
3 puncte
x=−2x=-2 sau x=2x=2, care verifică ecuația.
Exercițiul 4
După o ieftinire cu 10%10\%, prețul unui obiect este 270270 de lei. Calculați prețul obiectului înainte de ieftinire.

Rezolvare

1
3 puncte
p−10%⋅p=270p-10\%\cdot p=270, unde pp este prețul obiectului înainte de ieftinire.
2
2 puncte
p=300p=300 de lei.
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(3,1)A(3,1) și B(3,5)B(3,5). Calculați distanța de la punctul O(0,0)O(0,0) la mijlocul segmentului ABAB.

Rezolvare

1
2 puncte
M(3,3)M(3,3), unde punctul MM este mijlocul segmentului ABAB.
2
3 puncte
OM=(3−0)2+(3−0)2=32OM=\sqrt{(3-0)^2+(3-0)^2}=3\sqrt{2}.
Exercițiul 6
Dacă x∈(0,π2)x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right) și cos⁡x=22\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}, arătați că tg⁡x=1\operatorname{tg} x=1.

Rezolvare

1
3 puncte
sin⁡2x=1−(22)2=12\sin^2 x=1-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=\frac{1}{2} și, cum x∈(0,π2)x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right), obținem sin⁡x=22\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}.
2
2 puncte
tg⁡x=sin⁡xcos⁡x=22⋅22=1\operatorname{tg} x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{2}}=1.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele A=(1248)A=\begin{pmatrix}1&2\\4&8\end{pmatrix}, B=(8421)B=\begin{pmatrix}8&4\\2&1\end{pmatrix} și I2=(1001)I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}. a) Calculați det⁡A\det A. b) Arătați că 9(A+B)−(A⋅B+B⋅A)=45I29(A+B)-(A\cdot B+B\cdot A)=45I_2. c) Determinați numerele reale xx, pentru care det⁡(A+xI2)=0\det(A+xI_2)=0.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) det⁡A=∣1248∣=1⋅8−2⋅4=\det A=\begin{vmatrix}1&2\\4&8\end{vmatrix}=1\cdot 8-2\cdot 4=
2
2 puncte
=8−8=0=8-8=0.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) A⋅B+B⋅A=(1264824)+(2448612)=(36545436)A\cdot B+B\cdot A=\begin{pmatrix}12&6\\48&24\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}24&48\\6&12\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}36&54\\54&36\end{pmatrix}.
4
2 puncte
9(A+B)−(A⋅B+B⋅A)=9(9669)−(36545436)=(450045)=45I29(A+B)-(A\cdot B+B\cdot A)=9\begin{pmatrix}9&6\\6&9\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}36&54\\54&36\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}45&0\\0&45\end{pmatrix}=45I_2.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) A+xI2=(1+x248+x)⇒det⁡(A+xI2)=∣1+x248+x∣=x2+9xA+xI_2=\begin{pmatrix}1+x&2\\4&8+x\end{pmatrix} \Rightarrow \det(A+xI_2)=\begin{vmatrix}1+x&2\\4&8+x\end{vmatrix}=x^2+9x.
6
2 puncte
x2+9x=0⇔x=−9x^2+9x=0 \Leftrightarrow x=-9 sau x=0x=0.
Exercițiul 2
Se consideră polinomul f=X3−3X2−6X+8f=X^3-3X^2-6X+8. a) Arătați că f(2)=−8f(2)=-8. b) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului ff la polinomul X−1X-1. c) Demonstrați că (x1+1)2+(x2+1)2+(x3+1)2=30(x_1+1)^2+(x_2+1)^2+(x_3+1)^2=30, unde x1x_1, x2x_2 și x3x_3 sunt rădăcinile polinomului ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f(2)=23−3⋅22−6⋅2+8=f(2)=2^3-3\cdot 2^2-6\cdot 2+8=
2
2 puncte
=8−12−12+8=−8=8-12-12+8=-8.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Câtul este X2−2X−8X^2-2X-8.
4
2 puncte
Restul este 00.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) x1+x2+x3=3x_1+x_2+x_3=3, x1x2+x1x3+x2x3=−6⇒x12+x22+x32=32−2⋅(−6)=21x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=-6 \Rightarrow x_1^2+x_2^2+x_3^2=3^2-2\cdot(-6)=21.
6
2 puncte
(x1+1)2+(x2+1)2+(x3+1)2=(x12+x22+x32)+2(x1+x2+x3)+3=21+2⋅3+3=30(x_1+1)^2+(x_2+1)^2+(x_3+1)^2=(x_1^2+x_2^2+x_3^2)+2(x_1+x_2+x_3)+3=21+2\cdot 3+3=30.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x3−9x2+12x+1f(x)=2x^3-9x^2+12x+1. a) Arătați că f′(x)=6(x−1)(x−2)f'(x)=6(x-1)(x-2), x∈Rx\in\mathbb{R}. b) Calculați lim⁡x→+∞2x3−f(x)f′(x)\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^3-f(x)}{f'(x)}. c) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x=1x=1, situat pe graficul funcției ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=6x2−18x+12=f'(x)=6x^2-18x+12=
2
2 puncte
=6(x2−3x+2)=6(x−1)(x−2)=6(x^2-3x+2)=6(x-1)(x-2), x∈Rx\in\mathbb{R}.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) lim⁡x→+∞2x3−f(x)f′(x)=lim⁡x→+∞9x2−12x−16x2−18x+12=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^3-f(x)}{f'(x)}=\lim_{x\to+\infty}\frac{9x^2-12x-1}{6x^2-18x+12}=
4
3 puncte
=lim⁡x→+∞9−12x−1x26−18x+12x2=32=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{9-\frac{12}{x}-\frac{1}{x^2}}{6-\frac{18}{x}+\frac{12}{x^2}}=\frac{3}{2}.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) f(1)=6f(1)=6, f′(1)=0f'(1)=0.
6
3 puncte
Ecuația tangentei este y−f(1)=f′(1)(x−1)y-f(1)=f'(1)(x-1), adică y=6y=6.
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−2xf(x)=x^2-2x. a) Arătați că ∫−11(f(x)+2x) dx=23\displaystyle\int_{-1}^{1}(f(x)+2x)\,dx=\frac{2}{3}. b) Calculați ∫01ex(x2−f(x)) dx\displaystyle\int_0^1 e^x(x^2-f(x))\,dx. c) Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției ff, axa OxOx și dreptele de ecuații x=0x=0 și x=1x=1 are aria egală cu 23\frac{2}{3}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) ∫−11(f(x)+2x) dx=∫−11(x2−2x+2x) dx=∫−11x2 dx=\displaystyle\int_{-1}^{1}(f(x)+2x)\,dx=\int_{-1}^{1}(x^2-2x+2x)\,dx=\int_{-1}^{1}x^2\,dx=
2
3 puncte
=x33∣−11=13−(−13)=23=\left.\frac{x^3}{3}\right|_{-1}^{1}=\frac{1}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3}.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) ∫01ex(x2−f(x)) dx=∫012xex dx=2xex∣01−2∫01ex dx=\displaystyle\int_0^1 e^x(x^2-f(x))\,dx=\int_0^1 2xe^x\,dx=\left.2xe^x\right|_0^1-2\int_0^1 e^x\,dx=
4
2 puncte
=2e−2ex∣01=2e−2e+2=2=2e-2e^x\Big|_0^1=2e-2e+2=2.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) A=∫01∣f(x)∣ dx=∫01(2x−x2) dx=x2−x33∣01=\mathcal{A}=\displaystyle\int_0^1|f(x)|\,dx=\int_0^1(2x-x^2)\,dx=\left.x^2-\frac{x^3}{3}\right|_0^1=
6
2 puncte
=1−13=23=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Model 2017 — Științele Naturii

Următor →

Simulare 2016 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac