BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Model 2020 — Tehnologic

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că (10−2⋅3)(10+2⋅3)=64(10-2\cdot 3)(10+2\cdot 3)=64.

Rezolvare

1
2 puncte
10−2⋅3=410-2\cdot 3=4.
2
3 puncte
10+2⋅3=16⇒(10−2⋅3)(10+2⋅3)=4⋅16=6410+2\cdot 3=16 \Rightarrow (10-2\cdot 3)(10+2\cdot 3)=4\cdot 16=64.
Exercițiul 2
Se consideră x1x_1 și x2x_2 soluțiile ecuației x2−7x+10=0x^2-7x+10=0. Arătați că 2(x1+x2)−x1x2=42(x_1+x_2)-x_1 x_2=4.

Rezolvare

1
2 puncte
x1+x2=7x_1+x_2=7.
2
3 puncte
x1x2=10⇒2(x1+x2)−x1x2=14−10=4x_1 x_2=10 \Rightarrow 2(x_1+x_2)-x_1 x_2=14-10=4.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡2(x−2020)=2log⁡23\log_2(x-2020)=2\log_2 3.

Rezolvare

1
3 puncte
log⁡2(x−2020)=log⁡232⇒x−2020=9\log_2(x-2020)=\log_2 3^2 \Rightarrow x-2020=9.
2
2 puncte
x=2029x=2029, care convine.
Exercițiul 4
Un obiect costă 200200 de lei. Determinați prețul obiectului după o scumpire cu 10%10\%.

Rezolvare

1
3 puncte
10%10\% din 200200 reprezintă 10100⋅200=20\frac{10}{100}\cdot 200=20.
2
2 puncte
Prețul după scumpire este 200+20=220200+20=220 de lei.
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(2,4)A(2,4) și B(4,4)B(4,4). Calculați distanța de la punctul O(0,0)O(0,0) la mijlocul segmentului ABAB.

Rezolvare

1
2 puncte
Mijlocul segmentului ABAB este punctul M(3,4)M(3,4).
2
3 puncte
OM=(3−0)2+(4−0)2=5OM=\sqrt{(3-0)^2+(4-0)^2}=5.
Exercițiul 6
Arătați că sin⁡60°+cos⁡150°=0\sin 60°+\cos 150°=0.

Rezolvare

1
2 puncte
sin⁡60°=32\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}.
2
3 puncte
cos⁡150°=cos⁡(180°−30°)=−cos⁡30°=−32⇒sin⁡60°+cos⁡150°=32−32=0\cos 150°=\cos(180°-30°)=-\cos 30°=-\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \sin 60°+\cos 150°=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}=0.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele A=(−290−2)A=\begin{pmatrix}-2&9\\0&-2\end{pmatrix} și B(x)=(x−3x0x)B(x)=\begin{pmatrix}x&-3x\\0&x\end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡A=4\det A=4. b) Determinați numărul real xx pentru care B(x)⋅B(−x)+B(x)=AB(x)\cdot B(-x)+B(x)=A. c) Rezolvați în M2(R)\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) ecuația B(1)⋅X=AB(1)\cdot X=A.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) det⁡A=∣−290−2∣=(−2)⋅(−2)−0⋅9=\det A=\begin{vmatrix}-2&9\\0&-2\end{vmatrix}=(-2)\cdot(-2)-0\cdot 9=
2
2 puncte
=4−0=4=4-0=4.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) B(x)⋅B(−x)=(−x26x20−x2)B(x)\cdot B(-x)=\begin{pmatrix}-x^2&6x^2\\0&-x^2\end{pmatrix}, B(x)⋅B(−x)+B(x)=(−x2+x6x2−3x0−x2+x)B(x)\cdot B(-x)+B(x)=\begin{pmatrix}-x^2+x&6x^2-3x\\0&-x^2+x\end{pmatrix}, x∈Rx\in\mathbb{R}.
4
2 puncte
(−x2+x6x2−3x0−x2+x)=(−290−2)\begin{pmatrix}-x^2+x&6x^2-3x\\0&-x^2+x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&9\\0&-2\end{pmatrix}, de unde obținem x=−1x=-1.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) B(1)=(1−301)B(1)=\begin{pmatrix}1&-3\\0&1\end{pmatrix}, det⁡(B(1))=1\det(B(1))=1, (B(1))−1=(1301)(B(1))^{-1}=\begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix}.
6
2 puncte
X=(B(1))−1⋅A⇒X=(−230−2)X=(B(1))^{-1}\cdot A \Rightarrow X=\begin{pmatrix}-2&3\\0&-2\end{pmatrix}.
Exercițiul 2
Pe mulțimea M=(0,+∞)M=(0,+\infty) se definește legea de compoziție x∘y=x2+y2xyx\circ y=\frac{x^2+y^2}{xy}. a) Arătați că 3∘13=8293\circ\frac{1}{3}=\frac{82}{9}. b) Demonstrați că x∘y≥2x\circ y\geq 2, pentru orice x,y∈Mx,y\in M. c) Determinați a∈Ma\in M, pentru care a2∘1a2=2a^2\circ\frac{1}{a^2}=2.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) 3∘13=9+193⋅13=3\circ\frac{1}{3}=\frac{9+\frac{1}{9}}{3\cdot\frac{1}{3}}=
2
2 puncte
=9+19=829=9+\frac{1}{9}=\frac{82}{9}.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) x∘y−2=x2+y2xy−2=x2+y2−2xyxy=(x−y)2xyx\circ y-2=\frac{x^2+y^2}{xy}-2=\frac{x^2+y^2-2xy}{xy}=\frac{(x-y)^2}{xy}.
4
2 puncte
Cum x>0x>0, y>0y>0 și (x−y)2≥0(x-y)^2\geq 0, obținem x∘y≥2x\circ y\geq 2, pentru orice x,y∈Mx,y\in M.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) a4+1a4−2=0⇔(a2−1a2)2=0a^4+\frac{1}{a^4}-2=0 \Leftrightarrow \left(a^2-\frac{1}{a^2}\right)^2=0, deci a4=1a^4=1.
6
2 puncte
a=−1a=-1, care nu convine, a=1a=1, care convine.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x(x2−12)+3f(x)=x(x^2-12)+3. a) Arătați că f′(x)=3(x−2)(x+2)f'(x)=3(x-2)(x+2), x∈Rx\in\mathbb{R}. b) Arătați că lim⁡x→3f(x)+6x−3=15\displaystyle\lim_{x\to 3}\frac{f(x)+6}{x-3}=15. c) Demonstrați că −13≤f(x)≤19-13\leq f(x)\leq 19, pentru orice x∈[−2,2]x\in[-2,2].

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=(x3−12x+3)′=3x2−12=f'(x)=(x^3-12x+3)'=3x^2-12=
2
2 puncte
=3(x2−4)=3(x−2)(x+2)=3(x^2-4)=3(x-2)(x+2), x∈Rx\in\mathbb{R}.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) lim⁡x→3f(x)−(−6)x−3=lim⁡x→3f(x)−f(3)x−3=f′(3)=\displaystyle\lim_{x\to 3}\frac{f(x)-(-6)}{x-3}=\lim_{x\to 3}\frac{f(x)-f(3)}{x-3}=f'(3)=
4
2 puncte
=3(3−2)(3+2)=15=3(3-2)(3+2)=15.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) x∈[−2,2]⇒f′(x)≤0x\in[-2,2] \Rightarrow f'(x)\leq 0, deci ff este descrescătoare pe [−2,2][-2,2].
6
3 puncte
Cum f(−2)=19f(-2)=19 și f(2)=−13f(2)=-13, obținem −13≤f(x)≤19-13\leq f(x)\leq 19, pentru orice x∈[−2,2]x\in[-2,2].
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x5+x+1f(x)=x^5+x+1. a) Arătați că ∫−11(f(x)−x5−1) dx=0\displaystyle\int_{-1}^{1}(f(x)-x^5-1)\,dx=0. b) Calculați ∫01x2020(f(x)−x−1) dx\displaystyle\int_0^1 x^{2020}(f(x)-x-1)\,dx. c) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei OxOx a graficului funcției g:[1,2]→Rg:[1,2]\to\mathbb{R}, g(x)=1x(f(x)−x5)g(x)=\frac{1}{x}(f(x)-x^5) este egal cu π(2ln⁡2+32)\pi\left(2\ln 2+\frac{3}{2}\right).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) ∫−11(f(x)−x5−1) dx=∫−11(x5+x+1−x5−1) dx=∫−11x dx=\displaystyle\int_{-1}^{1}(f(x)-x^5-1)\,dx=\int_{-1}^{1}(x^5+x+1-x^5-1)\,dx=\int_{-1}^{1}x\,dx=
2
3 puncte
=x22∣−11=12−12=0=\left.\frac{x^2}{2}\right|_{-1}^{1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) ∫01x2020(f(x)−x−1) dx=∫01x2025 dx=x20262026∣01=\displaystyle\int_0^1 x^{2020}(f(x)-x-1)\,dx=\int_0^1 x^{2025}\,dx=\left.\frac{x^{2026}}{2026}\right|_0^1=
4
2 puncte
=12026=\frac{1}{2026}.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) g(x)=1+1x⇒V=π∫12g2(x) dx=π∫12(1+2x+1x2)dx=g(x)=1+\frac{1}{x} \Rightarrow V=\pi\displaystyle\int_1^2 g^2(x)\,dx=\pi\int_1^2\left(1+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}\right)dx=
6
3 puncte
=π(x+2ln⁡x−1x)∣12=π(2ln⁡2+32)=\pi\left(x+2\ln x-\frac{1}{x}\right)\bigg|_1^2=\pi\left(2\ln 2+\frac{3}{2}\right).

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Model 2020 — Științele Naturii

Următor →

Simulare 2019 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac