BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Model 2022 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că numerele 6−336 - 3\sqrt{3}, 3\sqrt{3} și 2+32 + \sqrt{3} sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.

Rezolvare

1
3 puncte
(6−33)(2+3)=3(2−3)(2+3)=3(6 - 3\sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 3(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 3
2
2 puncte
=(3)2= (\sqrt{3})^2, deci numerele 6−336 - 3\sqrt{3}, 3\sqrt{3} și 2+32 + \sqrt{3} sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+mx+1f(x) = x^2 + mx + 1, unde mm este număr real. Determinați numerele reale mm pentru care axa OxOx este tangentă graficului funcției ff.

Rezolvare

1
3 puncte
Axa OxOx este tangentă graficului funcției f⇔Δ=0⇔m2−4=0f \Leftrightarrow \Delta = 0 \Leftrightarrow m^2 - 4 = 0
2
2 puncte
m=−2m = -2 sau m=2m = 2
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 5x+2=5x+245^{x+2} = 5^x + 24.

Rezolvare

1
3 puncte
25⋅5x−5x=2425 \cdot 5^x - 5^x = 24, deci 5x=15^x = 1
2
2 puncte
x=0x = 0
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre distincte, acesta să aibă cifra zecilor multiplu de 33.

Rezolvare

1
2 puncte
Mulțimea numerelor naturale de două cifre distincte are 8181 de elemente, deci sunt 8181 de cazuri posibile
2
2 puncte
În mulțimea numerelor naturale de două cifre distincte sunt 3⋅9=273 \cdot 9 = 27 de numere care au cifra zecilor multiplu de 33, deci sunt 2727 de cazuri favorabile
3
1 punct
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=13p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{1}{3}
Exercițiul 5
Se consideră triunghiul ABCABC, punctul DD mijlocul laturii ACAC și punctul MM astfel încât MA⃗+2MB⃗+3MC⃗=0⃗\vec{MA} + 2\vec{MB} + 3\vec{MC} = \vec{0}. Arătați că dreptele MDMD și ABAB sunt paralele.

Rezolvare

1
3 puncte
MA⃗+2MA⃗+2AB⃗+3MC⃗=0⃗\vec{MA} + 2\vec{MA} + 2\vec{AB} + 3\vec{MC} = \vec{0}, deci 3(MA⃗+MC⃗)+2AB⃗=0⃗3(\vec{MA} + \vec{MC}) + 2\vec{AB} = \vec{0} și, cum MA⃗+MC⃗=2MD⃗\vec{MA} + \vec{MC} = 2\vec{MD}, obținem MD⃗=−13AB⃗\vec{MD} = -\frac{1}{3}\vec{AB}
2
2 puncte
Vectorii MD⃗\vec{MD} și AB⃗\vec{AB} sunt coliniari, deci dreptele MDMD și ABAB sunt paralele
Exercițiul 6
Calculați lungimea laturii ABAB a triunghiului ABCABC, în care AC=3AC = 3 și măsurile unghiurilor AA și BB sunt de 30°30°, respectiv 60°60°.

Rezolvare

1
2 puncte
Unghiul CC are măsura egală cu 90°90°, deci triunghiul ABCABC este dreptunghic în CC
2
3 puncte
sin⁡B=32\sin B = \frac{\sqrt{3}}{2} și, cum AC=3AC = 3, obținem AB=23AB = 2\sqrt{3}

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele I3=(100010001)I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, B=(1010i0−20−1)B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & i & 0 \\ -2 & 0 & -1 \end{pmatrix} și A(z)=aI3+bBA(z) = aI_3 + bB, unde z=a+ibz = a + ib, cu aa și bb numere reale și i2=−1i^2 = -1. a) Arătați că det⁡B=i\det B = i. b) Demonstrați că A(z1)⋅A(z2)=A(z1z2)A(z_1) \cdot A(z_2) = A(z_1 z_2), pentru orice numere complexe z1z_1 și z2z_2. c) Determinați numărul natural nn pentru care A(1+i)⋅A(2+i)⋅A(3+i)⋅A(1−i)⋅A(2−i)⋅A(3−i)=nI3A(1+i) \cdot A(2+i) \cdot A(3+i) \cdot A(1-i) \cdot A(2-i) \cdot A(3-i) = nI_3.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
det⁡B=∣1010i0−20−1∣=1⋅i⋅(−1)+0+0−(−2)⋅i⋅1−0−0\det B = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & i & 0 \\ -2 & 0 & -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot i \cdot (-1) + 0 + 0 - (-2) \cdot i \cdot 1 - 0 - 0
2
2 puncte
=−i+2i=i= -i + 2i = i
b)5 puncte
3
3 puncte
Cum B⋅B=−I3B \cdot B = -I_3, A(z1)⋅A(z2)=(aI3+bB)(cI3+dB)=acI3+adB+bcB+bdB⋅BA(z_1) \cdot A(z_2) = (aI_3 + bB)(cI_3 + dB) = acI_3 + adB + bcB + bdB \cdot B
4
2 puncte
=(ac−bd)I3+(ad+bc)B=A(z1z2)= (ac - bd)I_3 + (ad + bc)B = A(z_1 z_2), pentru orice z1=a+ibz_1 = a + ib și z2=c+idz_2 = c + id, cu aa, bb, cc și dd numere reale
c)5 puncte
5
2 puncte
A(1+i)⋅A(2+i)⋅A(3+i)⋅A(1−i)⋅A(2−i)⋅A(3−i)=A((1+i)(2+i)(3+i)(1−i)(2−i)(3−i))A(1+i) \cdot A(2+i) \cdot A(3+i) \cdot A(1-i) \cdot A(2-i) \cdot A(3-i) = A((1+i)(2+i)(3+i)(1-i)(2-i)(3-i))
6
3 puncte
=A((1+i)(1−i)(2+i)(2−i)(3+i)(3−i))=A(2⋅5⋅10)=100I3= A((1+i)(1-i)(2+i)(2-i)(3+i)(3-i)) = A(2 \cdot 5 \cdot 10) = 100I_3, deci n=100n = 100
Exercițiul 2
Pe M=[1,+∞)M = [1, +\infty) se definește legea de compoziție asociativă x∗y=log⁡2(2x+y−2x+1−2y+1+6)x * y = \log_2(2^{x+y} - 2^{x+1} - 2^{y+1} + 6). a) Arătați că x∗y=log⁡2((2x−2)(2y−2)+2)x * y = \log_2((2^x - 2)(2^y - 2) + 2), pentru orice x,y∈Mx, y \in M. b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție „∗*”. c) Arătați că x∗x∗x<3xx * x * x < 3x, pentru orice x∈Mx \in M.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
x∗y=log⁡2(2x(2y−2)−2(2y−2)+4+2)x * y = \log_2(2^x(2^y - 2) - 2(2^y - 2) + 4 + 2)
2
2 puncte
=log⁡2(2x(2y−2)−2(2y−2)+2)=log⁡2((2x−2)(2y−2)+2)= \log_2(2^x(2^y - 2) - 2(2^y - 2) + 2) = \log_2((2^x - 2)(2^y - 2) + 2), pentru orice x,y∈Mx, y \in M
b)5 puncte
3
3 puncte
x∗e=xx * e = x pentru orice x∈Mx \in M, unde ee este elementul neutru al legii de compoziție, deci (2x−2)(2e−3)=0(2^x - 2)(2^e - 3) = 0 pentru orice x∈Mx \in M, de unde obținem e=log⁡23e = \log_2 3
4
2 puncte
Cum (log⁡23)∗x=x(\log_2 3) * x = x pentru orice x∈Mx \in M, obținem că e=log⁡23e = \log_2 3 este elementul neutru al legii de compoziție „∗*”
c)5 puncte
5
3 puncte
x∗x∗x=log⁡2((2x−2)3+2)x * x * x = \log_2((2^x - 2)^3 + 2), pentru orice x∈Mx \in M
6
2 puncte
(x∗x∗x)−3x=log⁡2((2x−2)3+223x)=log⁡2(1−6(2x−1)223x)<0(x * x * x) - 3x = \log_2\left(\frac{(2^x - 2)^3 + 2}{2^{3x}}\right) = \log_2\left(1 - \frac{6(2^x - 1)^2}{2^{3x}}\right) < 0, pentru orice x∈Mx \in M, de unde obținem că x∗x∗x<3xx * x * x < 3x, pentru orice x∈Mx \in M

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=(x3+3x+1)e−xf(x) = (x^3 + 3x + 1)e^{-x}. a) Arătați că f′(x)=(2−x)(x2−x+1)e−xf'(x) = (2 - x)(x^2 - x + 1)e^{-x}, x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Arătați că lim⁡x→+∞(f(x)−e−xf(x)+e−x)f(x)⋅ex=e−2\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{f(x) - e^{-x}}{f(x) + e^{-x}}\right)^{f(x) \cdot e^x} = e^{-2}. c) Demonstrați că funcția g:R→Rg : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x)=∣f(x)e−x∣−1g(x) = \left|\frac{f(x)}{e^{-x}}\right| - 1 are un singur punct de extrem.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
f′(x)=(x3+3x+1)′⋅e−x+(x3+3x+1)(e−x)′=(3x2+3)e−x−(x3+3x+1)e−xf'(x) = (x^3 + 3x + 1)' \cdot e^{-x} + (x^3 + 3x + 1)(e^{-x})' = (3x^2 + 3)e^{-x} - (x^3 + 3x + 1)e^{-x}
2
2 puncte
=(−x3+3x2−3x+2)e−x=(2−x)(x2−x+1)e−x= (-x^3 + 3x^2 - 3x + 2)e^{-x} = (2 - x)(x^2 - x + 1)e^{-x}, x∈Rx \in \mathbb{R}
b)5 puncte
3
3 puncte
lim⁡x→+∞(f(x)−e−xf(x)+e−x)f(x)⋅ex=lim⁡x→+∞(x3+3xx3+3x+2)x3+3x+1=lim⁡x→+∞(1+−2x3+3x+2)x3+3x+2−2⋅−2(x3+3x+1)x3+3x+2\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{f(x) - e^{-x}}{f(x) + e^{-x}}\right)^{f(x) \cdot e^x} = \lim_{x \to +\infty} \left(\frac{x^3 + 3x}{x^3 + 3x + 2}\right)^{x^3 + 3x + 1} = \lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{-2}{x^3 + 3x + 2}\right)^{\frac{x^3 + 3x + 2}{-2} \cdot \frac{-2(x^3 + 3x + 1)}{x^3 + 3x + 2}}
4
2 puncte
=elim⁡x→+∞−2(x3+3x+1)x3+3x+2=e−2= e^{\lim_{x \to +\infty} \frac{-2(x^3 + 3x + 1)}{x^3 + 3x + 2}} = e^{-2}
c)5 puncte
5
2 puncte
g(x)=∣x3+3x∣={−x3−3x,x∈(−∞,0)x3+3x,x∈[0,+∞)g(x) = |x^3 + 3x| = \begin{cases} -x^3 - 3x, & x \in (-\infty, 0) \\ x^3 + 3x, & x \in [0, +\infty) \end{cases}
6
3 puncte
gg este continuă și, cum pentru orice x∈(−∞,0)x \in (-\infty, 0), g′(x)=−3x2−3<0⇒gg'(x) = -3x^2 - 3 < 0 \Rightarrow g este strict descrescătoare pe (−∞,0)(-\infty, 0) și pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty), g′(x)=3x2+3>0⇒gg'(x) = 3x^2 + 3 > 0 \Rightarrow g este strict crescătoare pe (0,+∞)(0, +\infty), obținem că funcția gg are un singur punct de extrem
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(1,+∞)→Rf : (1, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=xln⁡(x−1)f(x) = x \ln(x - 1). a) Arătați că ∫46f(x)ln⁡(x−1) dx=10\int_4^6 \frac{f(x)}{\ln(x - 1)} \, dx = 10. b) Demonstrați că F(7)<F(3)F(\sqrt{7}) < F(3), pentru orice primitivă FF a funcției ff. c) Determinați numărul real mm, știind că ∫35f(x) dx=m(4ln⁡2−1)\int_3^5 f(x) \, dx = m(4\ln 2 - 1).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
∫46f(x)ln⁡(x−1) dx=∫46x dx=x22∣46\int_4^6 \frac{f(x)}{\ln(x - 1)} \, dx = \int_4^6 x \, dx = \frac{x^2}{2} \Big|_4^6
2
2 puncte
=18−8=10= 18 - 8 = 10
b)5 puncte
3
3 puncte
FF este o primitivă a lui ff, deci F′(x)=f(x)=xln⁡(x−1)F'(x) = f(x) = x \ln(x - 1), de unde obținem că F′(x)>0F'(x) > 0, pentru orice x∈(2,+∞)x \in (2, +\infty), deci FF este strict crescătoare pe (2,+∞)(2, +\infty)
4
2 puncte
Cum 2<7<32 < \sqrt{7} < 3, obținem că F(7)<F(3)F(\sqrt{7}) < F(3)
c)5 puncte
5
3 puncte
∫35f(x) dx=∫35(x2−12)′ln⁡(x−1) dx=x2−12ln⁡(x−1)∣35−12∫35(x−1)(x+1)x−1 dx\int_3^5 f(x) \, dx = \int_3^5 \left(\frac{x^2 - 1}{2}\right)' \ln(x - 1) \, dx = \frac{x^2 - 1}{2} \ln(x - 1) \Big|_3^5 - \frac{1}{2} \int_3^5 \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} \, dx
6
2 puncte
=12ln⁡4−4ln⁡2−12(x22+x)∣35=20ln⁡2−5=5(4ln⁡2−1)= 12\ln 4 - 4\ln 2 - \frac{1}{2}\left(\frac{x^2}{2} + x\right) \Big|_3^5 = 20\ln 2 - 5 = 5(4\ln 2 - 1), de unde obținem m=5m = 5

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Toamnă 2022 — Tehnologic

Următor →

Model 2022 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac