BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Model 2022 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că numărul N=log⁡224−log⁡212+3N = \log_2 24 - \log_2 12 + 3 este pătratul unui număr natural.

Rezolvare

1
3 puncte
N=log⁡22412+3=log⁡22+3N = \log_2 \frac{24}{12} + 3 = \log_2 2 + 3
2
2 puncte
=1+3=4=22= 1 + 3 = 4 = 2^2
Exercițiul 2
Determinați numărul real aa pentru care punctul A(a,a2)A(a, a^2) aparține graficului funcției f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2x−1f(x) = 2x - 1.

Rezolvare

1
3 puncte
f(a)=a2⇔a2−2a+1=0f(a) = a^2 \Leftrightarrow a^2 - 2a + 1 = 0
2
2 puncte
a=1a = 1
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x2−2x−2=x−2\sqrt{x^2 - 2x - 2} = x - 2.

Rezolvare

1
3 puncte
x2−2x−2=(x−2)2⇒x2−2x−2=x2−4x+4x^2 - 2x - 2 = (x - 2)^2 \Rightarrow x^2 - 2x - 2 = x^2 - 4x + 4
2
2 puncte
x=3x = 3, care convine
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A={1!,2!,3!,…,10!}A = \{1!, 2!, 3!, \ldots, 10!\}, acesta să fie divizibil cu 99.

Rezolvare

1
2 puncte
Mulțimea AA are 1010 elemente, deci sunt 1010 cazuri posibile
2
2 puncte
Numerele divizibile cu 99 din mulțimea AA sunt 6!6!, 7!7!, 8!8!, 9!9! și 10!10!, deci sunt 55 cazuri favorabile
3
1 punct
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=12p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{1}{2}
Exercițiul 5
Se consideră triunghiul ABCABC și punctul DD mijlocul segmentului BCBC. Arătați că, pentru orice puncte EE și FF astfel încât AE⃗=FD⃗\vec{AE} = \vec{FD}, are loc relația 2(EB⃗+FC⃗)=AB⃗+AC⃗2(\vec{EB} + \vec{FC}) = \vec{AB} + \vec{AC}.

Rezolvare

1
2 puncte
EB⃗+FC⃗=EA⃗+AB⃗+FD⃗+DC⃗=AB⃗+DC⃗\vec{EB} + \vec{FC} = \vec{EA} + \vec{AB} + \vec{FD} + \vec{DC} = \vec{AB} + \vec{DC}
2
3 puncte
2(EB⃗+FC⃗)=2AB⃗+2DC⃗=AB⃗+AB⃗+BC⃗=AB⃗+AC⃗2(\vec{EB} + \vec{FC}) = 2\vec{AB} + 2\vec{DC} = \vec{AB} + \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AB} + \vec{AC}
Exercițiul 6
Arătați că (sin⁡x+cos⁡x)2−(sin⁡x−cos⁡x)2=2cos⁡(π2−2x)(\sin x + \cos x)^2 - (\sin x - \cos x)^2 = 2\cos\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right), pentru orice număr real xx.

Rezolvare

1
2 puncte
(sin⁡x+cos⁡x)2−(sin⁡x−cos⁡x)2=4sin⁡xcos⁡x(\sin x + \cos x)^2 - (\sin x - \cos x)^2 = 4\sin x \cos x
2
3 puncte
=2sin⁡2x=2cos⁡(π2−2x)= 2\sin 2x = 2\cos\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right), pentru orice număr real xx

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(x)=(x21x−11)A(x) = \begin{pmatrix} x^2 & 1 \\ x - 1 & 1 \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡(A(−1))=3\det(A(-1)) = 3. b) Demonstrați că matricea A(x)A(x) este inversabilă, pentru orice număr real xx. c) Determinați matricea X∈M2(R)X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) pentru care A(1)⋅X⋅A(1)=A(2)A(1) \cdot X \cdot A(1) = A(2).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
A(−1)=(11−21)⇒det⁡(A(−1))=∣11−21∣A(-1) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(-1)) = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 1 \end{vmatrix}
2
3 puncte
=1⋅1−1⋅(−2)=3= 1 \cdot 1 - 1 \cdot (-2) = 3
b)5 puncte
3
3 puncte
det⁡(A(x))=∣x21x−11∣=x2−x+1\det(A(x)) = \begin{vmatrix} x^2 & 1 \\ x - 1 & 1 \end{vmatrix} = x^2 - x + 1, pentru orice număr real xx
4
2 puncte
Cum det⁡(A(x))≠0\det(A(x)) \neq 0 pentru orice număr real xx, obținem că matricea A(x)A(x) este inversabilă pentru orice număr real xx
c)5 puncte
5
2 puncte
A(1)=(1101)⇒(A(1))−1=(1−101)A(1) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow (A(1))^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
6
3 puncte
Cum A(2)=(4111)A(2) = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} și X=(A(1))−1⋅A(2)⋅(A(1))−1X = (A(1))^{-1} \cdot A(2) \cdot (A(1))^{-1}, obținem X=(3−310)X = \begin{pmatrix} 3 & -3 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă și cu element neutru x∘y=xy−2(x+y−1)+2x \circ y = xy - \sqrt{2}(x + y - 1) + 2. a) Arătați că 2∘0=2\sqrt{2} \circ 0 = \sqrt{2}. b) Determinați numerele reale xx pentru care (x−2)∘(x+2)=x(x - \sqrt{2}) \circ (x + \sqrt{2}) = x. c) Determinați numerele raționale al căror simetric în raport cu legea de compoziție „∘\circ” este număr rațional.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
2∘0=2⋅0−2(2+0−1)+2\sqrt{2} \circ 0 = \sqrt{2} \cdot 0 - \sqrt{2}(\sqrt{2} + 0 - 1) + 2
2
2 puncte
=−2+2+2=2= -2 + \sqrt{2} + 2 = \sqrt{2}
b)5 puncte
3
3 puncte
x2−2−2(x−2+x+2−1)+2=x⇔x2−(22+1)x+2=0x^2 - 2 - \sqrt{2}(x - \sqrt{2} + x + \sqrt{2} - 1) + 2 = x \Leftrightarrow x^2 - (2\sqrt{2} + 1)x + \sqrt{2} = 0
4
2 puncte
x=2−1x = \sqrt{2} - 1 sau x=2+2x = \sqrt{2} + 2
c)5 puncte
5
2 puncte
e=2+1e = \sqrt{2} + 1 este elementul neutru al legii de compoziție „∘\circ”, deci aa este simetrizabil în raport cu „∘\circ” dacă și numai dacă există a′a', astfel încât a∘a′=a′∘a=2+1a \circ a' = a' \circ a = \sqrt{2} + 1
6
3 puncte
aa′−2(a+a′−1)+2=2+1⇔aa′+1−2(a+a′)=0aa' - \sqrt{2}(a + a' - 1) + 2 = \sqrt{2} + 1 \Leftrightarrow aa' + 1 - \sqrt{2}(a + a') = 0, deci, dacă aa și a′a' sunt numere raționale, obținem a+a′=0a + a' = 0 și aa′=−1aa' = -1, deci a=−1a = -1 sau a=1a = 1, care convin

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(0,+∞)→(0,+∞)f : (0, +\infty) \to (0, +\infty), f(x)=x(1−1xln⁡(x2+1))f(x) = x\left(1 - \frac{1}{x}\ln(x^2 + 1)\right). a) Arătați că f′(x)=(x−1)2x2+1f'(x) = \frac{(x - 1)^2}{x^2 + 1}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty). b) Determinați numărul natural nenul nn, știind că tangenta la graficul funcției ff în punctul A(n,f(n))A(n, f(n)) este paralelă cu dreapta de ecuație y=15x+1y = \frac{1}{5}x + 1. c) Demonstrați că funcția ff este bijectivă.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
f′(x)=(x−ln⁡(x2+1))′=1−1x2+1⋅2xf'(x) = \left(x - \ln(x^2 + 1)\right)' = 1 - \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x
2
2 puncte
=x2−2x+1x2+1=(x−1)2x2+1= \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + 1} = \frac{(x - 1)^2}{x^2 + 1}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
b)5 puncte
3
3 puncte
Tangenta la graficul funcției ff în punctul AA este paralelă cu dreapta de ecuație y=15x+1y = \frac{1}{5}x + 1, deci f′(n)=15f'(n) = \frac{1}{5}
4
2 puncte
5(n−1)2=n2+1⇔2n2−5n+2=05(n - 1)^2 = n^2 + 1 \Leftrightarrow 2n^2 - 5n + 2 = 0 și, cum nn este număr natural nenul, obținem n=2n = 2
c)5 puncte
5
2 puncte
f′(x)>0f'(x) > 0, pentru orice x∈(0,1)⇒fx \in (0, 1) \Rightarrow f strict crescătoare pe (0,1)(0, 1), f′(x)>0f'(x) > 0, pentru orice x∈(1,+∞)⇒fx \in (1, +\infty) \Rightarrow f strict crescătoare pe (1,+∞)(1, +\infty) și, cum ff este continuă în x=1x = 1, obținem că ff este strict crescătoare pe (0,+∞)(0, +\infty), deci injectivă
6
3 puncte
Cum lim⁡x→0f(x)=0\lim_{x \to 0} f(x) = 0, lim⁡x→+∞f(x)=+∞\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty și ff este continuă și strict crescătoare pe (0,+∞)(0, +\infty), obținem că ff este surjectivă, deci bijectivă
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=1x3−2ln⁡xx3f(x) = \frac{1}{x^3} - \frac{2\ln x}{x^3} și funcția F:(0,+∞)→RF : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, F(x)=ln⁡xx2F(x) = \frac{\ln x}{x^2}, o primitivă a lui ff. a) Arătați că ∫1ex2(f(x)+2ln⁡xx3)dx=1\int_1^e x^2\left(f(x) + \frac{2\ln x}{x^3}\right) dx = 1. b) Arătați că ∫15x⋅f(x2+3) dx=−5ln⁡2128\int_1^{\sqrt{5}} x \cdot f(x^2 + 3) \, dx = -\frac{5\ln 2}{128}. c) Determinați numerele reale aa pentru care ∫ee2x⋅F(x) dx=a2−12\int_e^{e^2} x \cdot F(x) \, dx = \frac{a^2 - 1}{2}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
∫1ex2(f(x)+2ln⁡xx3)dx=∫1e1x dx=ln⁡x∣1e\int_1^e x^2\left(f(x) + \frac{2\ln x}{x^3}\right) dx = \int_1^e \frac{1}{x} \, dx = \ln x \Big|_1^e
2
2 puncte
=ln⁡e−ln⁡1=1= \ln e - \ln 1 = 1
b)5 puncte
3
3 puncte
∫15x⋅f(x2+3) dx=12∫15(x2+3)′⋅f(x2+3) dx=12F(x2+3)∣15\int_1^{\sqrt{5}} x \cdot f(x^2 + 3) \, dx = \frac{1}{2} \int_1^{\sqrt{5}} (x^2 + 3)' \cdot f(x^2 + 3) \, dx = \frac{1}{2} F(x^2 + 3) \Big|_1^{\sqrt{5}}
4
2 puncte
=12(ln⁡864−ln⁡416)=−5ln⁡2128= \frac{1}{2}\left(\frac{\ln 8}{64} - \frac{\ln 4}{16}\right) = -\frac{5\ln 2}{128}
c)5 puncte
5
3 puncte
∫ee2x⋅F(x) dx=∫ee2ln⁡xx dx=ln⁡2x2∣ee2\int_e^{e^2} x \cdot F(x) \, dx = \int_e^{e^2} \frac{\ln x}{x} \, dx = \frac{\ln^2 x}{2} \Big|_e^{e^2}
6
2 puncte
=ln⁡2(e2)−ln⁡2e2=32= \frac{\ln^2(e^2) - \ln^2 e}{2} = \frac{3}{2}, a2−12=32\frac{a^2 - 1}{2} = \frac{3}{2}, de unde obținem a=−2a = -2 sau a=2a = 2

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Model 2022 — Matematică-Informatică

Următor →

Model 2022 — Tehnologic

← Înapoi la arhiva completă Bac