BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Model 2022 — Tehnologic

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că (8+1)⋅(22−1)−36=1(\sqrt{8} + 1) \cdot (2\sqrt{2} - 1) - \sqrt{36} = 1.

Rezolvare

1
3 puncte
Se calculează (8+1)⋅(22−1)−36=(22)2−1−6(\sqrt{8} + 1) \cdot (2\sqrt{2} - 1) - \sqrt{36} = (2\sqrt{2})^2 - 1 - 6.
2
2 puncte
Se obține 8−7=18 - 7 = 1.
Exercițiul 2
Se consideră funcțiile f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=5x−1f(x) = 5x - 1 și g:R→Rg : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x)=5+2xg(x) = 5 + 2x. Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor ff și gg.

Rezolvare

1
2 puncte
Din f(x)=g(x)f(x) = g(x) obținem 5x−1=5+2x5x - 1 = 5 + 2x.
2
3 puncte
Se obține x=2x = 2 și y=9y = 9, deci coordonatele punctului de intersecție sunt (2,9)(2, 9).
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x2+6x=x\sqrt{x^2 + 6x} = x.

Rezolvare

1
3 puncte
Se ridică la pătrat și se obține x2+6x=x2x^2 + 6x = x^2.
2
2 puncte
Se obține x=0x = 0, care convine.
Exercițiul 4
Determinați probabilitatea ca, alegând un număr nn din mulțimea A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}, numărul 4⋅n4 \cdot n să fie element al mulțimii AA.

Rezolvare

1
2 puncte
Mulțimea AA are 1010 elemente, deci sunt 1010 cazuri posibile.
2
3 puncte
Numerele nn din mulțimea AA pentru care 4⋅n4 \cdot n este element al mulțimii AA sunt 00, 11 și 22, deci sunt 33 cazuri favorabile, de unde obținem p=310p = \frac{3}{10}.
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(2,1)A(2, 1), B(3,4)B(3, 4) și CC, astfel încât punctul AA este mijlocul segmentului BCBC. Arătați că triunghiul AOCAOC este dreptunghic isoscel.

Rezolvare

1
2 puncte
Din 2=3+xC22 = \frac{3 + x_C}{2} și 1=4+yC21 = \frac{4 + y_C}{2} se obține xC=1x_C = 1 și yC=−2y_C = -2.
2
3 puncte
Se calculează OA=5OA = \sqrt{5}, OC=5OC = \sqrt{5} și AC=10AC = \sqrt{10}, deci OA2+OC2=AC2OA^2 + OC^2 = AC^2, de unde triunghiul AOCAOC este dreptunghic isoscel.
Exercițiul 6
Se consideră triunghiul ascuțitunghic ABCABC în care sin⁡30°⋅sin⁡A=cos⁡60°⋅cos⁡A\sin 30° \cdot \sin A = \cos 60° \cdot \cos A. Calculați tg A\text{tg}\, A.

Rezolvare

1
2 puncte
Se folosesc valorile sin⁡30°=12\sin 30° = \frac{1}{2} și cos⁡60°=12\cos 60° = \frac{1}{2}.
2
3 puncte
Din 12⋅sin⁡A=12⋅cos⁡A\frac{1}{2} \cdot \sin A = \frac{1}{2} \cdot \cos A rezultă sin⁡A=cos⁡A\sin A = \cos A, de unde obținem tg A=1\text{tg}\, A = 1.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele A=(3−62−3)A = \begin{pmatrix} 3 & -6 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}, I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} și B(a)=(0a−213a)B(a) = \begin{pmatrix} 0 & a - 2 \\ 1 & 3a \end{pmatrix}, unde aa este număr real. a) Arătați că det⁡A=3\det A = 3. b) Determinați numărul real xx pentru care A⋅A+A=2B(x)A \cdot A + A = 2B(x). c) Determinați numărul real aa pentru care det⁡(B(a)⋅A+B(3a))=4\det(B(a) \cdot A + B(3a)) = 4.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
Se calculează det⁡A=∣3−62−3∣=3⋅(−3)−(−6)⋅2\det A = \begin{vmatrix} 3 & -6 \\ 2 & -3 \end{vmatrix} = 3 \cdot (-3) - (-6) \cdot 2.
2
2 puncte
Se obține −9+12=3-9 + 12 = 3.
b)5 puncte
3
2 puncte
Se calculează A⋅A=(−300−3)A \cdot A = \begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 0 & -3 \end{pmatrix}, deci A⋅A+A=(0−62−6)A \cdot A + A = \begin{pmatrix} 0 & -6 \\ 2 & -6 \end{pmatrix}.
4
3 puncte
Din A⋅A+A=2B(x)A \cdot A + A = 2B(x) rezultă B(x)=(0−31−3)=2B(−1)B(x) = \begin{pmatrix} 0 & -3 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} = 2B(-1), de unde obținem x=−1x = -1.
c)5 puncte
5
3 puncte
Se calculează B(a)⋅A=(2a−4−3a+63+6a−6−9a)B(a) \cdot A = \begin{pmatrix} 2a - 4 & -3a + 6 \\ 3 + 6a & -6 - 9a \end{pmatrix} și B(3a)=(03a−219a)B(3a) = \begin{pmatrix} 0 & 3a - 2 \\ 1 & 9a \end{pmatrix}, deci B(a)⋅A+B(3a)=(2a−444+6a−6)B(a) \cdot A + B(3a) = \begin{pmatrix} 2a - 4 & 4 \\ 4 + 6a & -6 \end{pmatrix}, pentru orice număr real aa.
6
2 puncte
Se obține det⁡(B(a)⋅A+B(3a))=−36a+8\det(B(a) \cdot A + B(3a)) = -36a + 8, pentru orice număr real aa, deci −36a+8=4-36a + 8 = 4, de unde a=19a = \frac{1}{9}.
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=(xy+1)(x+y)x * y = (xy + 1)(x + y). a) Arătați că 1∗2=91 * 2 = 9. b) Arătați că e=0e = 0 este elementul neutru al legii de compoziție „∗*”. c) Determinați numerele naturale nenule nn pentru care numărul N=n∗1nN = n * \frac{1}{n} este întreg.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
Se calculează 1∗2=(1⋅2+1)(1+2)1 * 2 = (1 \cdot 2 + 1)(1 + 2).
2
2 puncte
Se obține 3⋅3=93 \cdot 3 = 9.
b)5 puncte
3
2 puncte
Se calculează x∗0=(x⋅0+1)(x+0)=1⋅x=xx * 0 = (x \cdot 0 + 1)(x + 0) = 1 \cdot x = x, pentru orice număr real xx.
4
3 puncte
Se calculează 0∗x=(0⋅x+1)(0+x)=1⋅x=x0 * x = (0 \cdot x + 1)(0 + x) = 1 \cdot x = x, pentru orice număr real xx, deci e=0e = 0 este elementul neutru al legii de compoziție „∗*”.
c)5 puncte
5
2 puncte
Se calculează N=2(n+1n)=2n+2nN = 2\left(n + \frac{1}{n}\right) = 2n + \frac{2}{n}, pentru orice număr natural nenul nn.
6
3 puncte
NN este număr întreg, deci 2n\frac{2}{n} este număr întreg și, cum nn este număr natural nenul, obținem n=1n = 1 sau n=2n = 2.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=(x−1)ex−x22f(x) = (x - 1)e^x - \frac{x^2}{2}. a) Arătați că f′(x)=x(ex−1)f'(x) = x(e^x - 1), x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Arătați că lim⁡x→0f(x)−f(0)x2=0\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x^2} = 0. c) Arătați că f(x)≤f(x2)f(x) \leq f(x^2), pentru orice x∈(−∞,0]x \in (-\infty, 0].

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
Se derivează și se obține f′(x)=ex+(x−1)ex−2x2f'(x) = e^x + (x - 1)e^x - \frac{2x}{2}.
2
2 puncte
Se simplifică f′(x)=xex−x=x(ex−1)f'(x) = xe^x - x = x(e^x - 1), x∈Rx \in \mathbb{R}.
b)5 puncte
3
2 puncte
Se aplică regula lui L'Hôpital: lim⁡x→0f(x)−f(0)x2=lim⁡x→0f′(x)(x2)′\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{(x^2)'}.
4
3 puncte
Se obține lim⁡x→0x(ex−1)2x=lim⁡x→0ex−12=0\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{x(e^x - 1)}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2} = 0.
c)5 puncte
5
2 puncte
Se observă că f′(x)≥0f'(x) \geq 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}, deci ff este crescătoare pe R\mathbb{R}.
6
3 puncte
Cum x≤0≤x2x \leq 0 \leq x^2 pentru orice x∈(−∞,0]x \in (-\infty, 0], obținem f(x)≤f(x2)f(x) \leq f(x^2) pentru orice x∈(−∞,0]x \in (-\infty, 0].
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(−4,+∞)→Rf : (-4, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=4xx+4f(x) = \frac{4x}{x + 4}. a) Arătați că ∫12(x+4)f(x) dx=6\displaystyle\int_1^2 (x + 4) f(x)\, dx = 6. b) Arătați că ∫141x⋅f(x2) dx=4ln⁡2\displaystyle\int_1^4 \frac{1}{x} \cdot f(x^2)\, dx = 4\ln 2. c) Demonstrați că orice primitivă a funcției ff este convexă.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
Se calculează ∫12(x+4)f(x) dx=∫124x dx=2x2∣12\displaystyle\int_1^2 (x + 4) f(x)\, dx = \int_1^2 4x\, dx = 2x^2 \Big|_1^2.
2
2 puncte
Se obține 8−2=68 - 2 = 6.
b)5 puncte
3
3 puncte
Se calculează ∫141x⋅f(x2) dx=2∫142xx2+4 dx=2∫14(x2+4)′⋅1x2+4 dx=2ln⁡(x2+4)∣14\displaystyle\int_1^4 \frac{1}{x} \cdot f(x^2)\, dx = 2\int_1^4 \frac{2x}{x^2 + 4}\, dx = 2\int_1^4 (x^2 + 4)' \cdot \frac{1}{x^2 + 4}\, dx = 2\ln(x^2 + 4) \Big|_1^4.
4
2 puncte
Se obține 2ln⁡20−2ln⁡5=4ln⁡22\ln 20 - 2\ln 5 = 4\ln 2.
c)5 puncte
5
2 puncte
Dacă F:(−4,+∞)→RF : (-4, +\infty) \to \mathbb{R} este o primitivă a funcției ff, atunci F′(x)=f(x)F'(x) = f(x), pentru orice x∈(−4,+∞)x \in (-4, +\infty).
6
3 puncte
Se calculează F′′(x)=f′(x)=16(x+4)2>0F''(x) = f'(x) = \frac{16}{(x + 4)^2} > 0, pentru orice x∈(−4,+∞)x \in (-4, +\infty), deci orice primitivă a funcției ff este convexă.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Model 2022 — Științele Naturii

Următor →

Simulare 2021 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac