BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Model 2024 — Tehnologic

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că 18+3⋅(1−38)=2\frac{1}{8} + 3 \cdot \left(1 - \frac{3}{8}\right) = 2.

Rezolvare

1
3 puncte
Se calculează 18+3⋅(1−38)=18+3⋅58=18+158\frac{1}{8} + 3 \cdot \left(1 - \frac{3}{8}\right) = \frac{1}{8} + 3 \cdot \frac{5}{8} = \frac{1}{8} + \frac{15}{8}.
2
2 puncte
Se obține 18+158=168=2\frac{1}{8} + \frac{15}{8} = \frac{16}{8} = 2.
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2x−2f(x) = 2x - 2. Determinați numărul real aa pentru care f(a)=0f(a) = 0.

Rezolvare

1
3 puncte
Se calculează f(a)=2a−2f(a) = 2a - 2, pentru orice număr real aa.
2
2 puncte
Din condiția f(a)=0f(a) = 0 rezultă 2a−2=02a - 2 = 0, de unde obținem a=1a = 1.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 52x=52+x5^{2x} = 5^{2+x}.

Rezolvare

1
3 puncte
Din 52x=52+x5^{2x} = 5^{2+x} rezultă 2x=2+x2x = 2 + x.
2
2 puncte
Se obține x=2x = 2.
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr nn din mulțimea A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}, acesta să verifice inegalitatea n+9≤15n + 9 \leq 15.

Rezolvare

1
2 puncte
Mulțimea AA are 99 elemente, deci sunt 99 cazuri posibile.
2
3 puncte
În mulțimea AA sunt 66 numere nn pentru care n+9≤15n + 9 \leq 15 (și anume n∈{1,2,3,4,5,6}n \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}), deci sunt 66 cazuri favorabile, de unde obținem p=69=23p = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}.
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(0,5)A(0, 5), B(4,−5)B(4, -5) și C(a,b)C(a, b), unde aa și bb sunt numere reale. Determinați numerele reale aa și bb, știind că punctul CC este mijlocul segmentului ABAB.

Rezolvare

1
3 puncte
Se calculează a=0+42=2a = \frac{0 + 4}{2} = 2.
2
2 puncte
Se calculează b=5+(−5)2=0b = \frac{5 + (-5)}{2} = 0.
Exercițiul 6
Arătați că 2⋅(sin⁡45∘+cos⁡45∘)⋅sin⁡30∘=1\sqrt{2} \cdot (\sin 45^\circ + \cos 45^\circ) \cdot \sin 30^\circ = 1.

Rezolvare

1
3 puncte
Se știe că sin⁡45∘=22\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, cos⁡45∘=22\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, sin⁡30∘=12\sin 30^\circ = \frac{1}{2}.
2
2 puncte
Se calculează 2⋅(22+22)⋅12=2⋅2⋅12=2⋅12=1\sqrt{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele A=(32−10)A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, B=(34−2−3)B = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ -2 & -3 \end{pmatrix} și I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. a) Arătați că det⁡A=2\det A = 2. b) Arătați că B+3I2=2AB + 3I_2 = 2A. c) Determinați numărul real xx pentru care A⋅(xA+B)=2xI2A \cdot (xA + B) = 2xI_2.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează det⁡A=∣32−10∣=3⋅0−2⋅(−1)\det A = \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 3 \cdot 0 - 2 \cdot (-1).
2
2 puncte
Se obține det⁡A=0+2=2\det A = 0 + 2 = 2.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează B+3I2=(34−2−3)+(3003)=(64−20)B + 3I_2 = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ -2 & -3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 4 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}.
4
2 puncte
Se calculează 2A=2(32−10)=(64−20)2A = 2 \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 4 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}, deci B+3I2=2AB + 3I_2 = 2A.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Se calculează xA+B=(3x+32x+4−x−2−3)xA + B = \begin{pmatrix} 3x + 3 & 2x + 4 \\ -x - 2 & -3 \end{pmatrix}, deci A⋅(xA+B)=(32−10)⋅(3x+32x+4−x−2−3)=(7x+56x+6−3x−3−2x−4)A \cdot (xA + B) = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3x+3 & 2x+4 \\ -x-2 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7x+5 & 6x+6 \\ -3x-3 & -2x-4 \end{pmatrix}, pentru orice număr real xx.
6
2 puncte
Din (7x+56x+6−3x−3−2x−4)=(2x002x)\begin{pmatrix} 7x+5 & 6x+6 \\ -3x-3 & -2x-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x & 0 \\ 0 & 2x \end{pmatrix} rezultă 7x+5=2x7x + 5 = 2x, de unde obținem x=−1x = -1.
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=2xy−3(x+y)+1x \circ y = 2xy - 3(x + y) + 1. a) Arătați că 1∘0=−21 \circ 0 = -2. b) Arătați că legea de compoziție \u201e∘\circ\u201d este comutativă. c) Determinați mulțimea numerelor reale xx pentru care x∘(−2x)≥0x \circ (-2x) \geq 0.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează 1∘0=2⋅1⋅0−3(1+0)+11 \circ 0 = 2 \cdot 1 \cdot 0 - 3(1 + 0) + 1.
2
2 puncte
Se obține 1∘0=0−3+1=−21 \circ 0 = 0 - 3 + 1 = -2.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) Se calculează y∘x=2yx−3(y+x)+1y \circ x = 2yx - 3(y + x) + 1.
4
3 puncte
Se observă că y∘x=2xy−3(x+y)+1=x∘yy \circ x = 2xy - 3(x + y) + 1 = x \circ y, pentru orice numere reale xx și yy, deci legea de compoziție \u201e∘\circ\u201d este comutativă.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Se calculează x∘(−2x)=2⋅x⋅(−2x)−3(x+(−2x))+1=−4x2+3x+1x \circ (-2x) = 2 \cdot x \cdot (-2x) - 3(x + (-2x)) + 1 = -4x^2 + 3x + 1, pentru orice număr real xx.
6
3 puncte
Din −4x2+3x+1≥0-4x^2 + 3x + 1 \geq 0 rezultă 4x2−3x−1≤04x^2 - 3x - 1 \leq 0, de unde obținem x∈[−14,1]x \in \left[-\frac{1}{4}, 1\right].

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(4,+∞)→Rf : (4, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=3x−4x−4f(x) = \frac{3x - 4}{x - 4}. a) Arătați că f′(x)=−8(x−4)2f'(x) = -\frac{8}{(x - 4)^2}, x∈(4,+∞)x \in (4, +\infty). b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞+\infty la graficul funcției ff. c) Demonstrați că funcția g:(4,+∞)→Rg : (4, +\infty) \to \mathbb{R}, g(x)=f′(x)g(x) = f'(x) este crescătoare.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se derivează folosind regula câtului: f′(x)=3(x−4)−(3x−4)(x−4)2=3x−12−3x+4(x−4)2f'(x) = \frac{3(x - 4) - (3x - 4)}{(x - 4)^2} = \frac{3x - 12 - 3x + 4}{(x - 4)^2}.
2
2 puncte
Se obține f′(x)=−8(x−4)2f'(x) = \frac{-8}{(x - 4)^2}, x∈(4,+∞)x \in (4, +\infty).
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞3x−4x−4=lim⁡x→+∞3−4x1−4x=3\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{3x - 4}{x - 4} = \lim_{x \to +\infty} \frac{3 - \frac{4}{x}}{1 - \frac{4}{x}} = 3.
4
2 puncte
Dreapta de ecuație y=3y = 3 este asimptota orizontală spre +∞+\infty la graficul funcției ff.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Se calculează g′(x)=f′′(x)=16(x−4)3g'(x) = f''(x) = \frac{16}{(x - 4)^3}, x∈(4,+∞)x \in (4, +\infty).
6
2 puncte
Se observă că g′(x)>0g'(x) > 0, pentru orice x∈(4,+∞)x \in (4, +\infty), deci funcția gg este crescătoare.
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x+(x+3)2f(x) = x + (x + 3)^2. a) Arătați că ∫02(f(x)−(x+3)2)dx=2\displaystyle\int_0^2 \left(f(x) - (x + 3)^2\right) dx = 2. b) Arătați că ∫−201f(x)−x dx=23\displaystyle\int_{-2}^{0} \frac{1}{f(x) - x} \, dx = \frac{2}{3}. c) Determinați numărul real aa pentru care ∫06f(x)x+3 dx=3(a−ln⁡3)\displaystyle\int_0^6 \frac{f(x)}{x + 3} \, dx = 3(a - \ln 3).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează f(x)−(x+3)2=xf(x) - (x + 3)^2 = x, deci ∫02x dx=[x22]02\displaystyle\int_0^2 x \, dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^2.
2
2 puncte
Se obține 42−0=2\frac{4}{2} - 0 = 2.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează f(x)−x=(x+3)2f(x) - x = (x + 3)^2, deci ∫−201(x+3)2 dx=∫−20(x+3)′(x+3)2 dx=[−1x+3]−20\displaystyle\int_{-2}^{0} \frac{1}{(x + 3)^2} \, dx = \int_{-2}^{0} \frac{(x + 3)'}{(x + 3)^2} \, dx = \left[-\frac{1}{x + 3}\right]_{-2}^{0}.
4
2 puncte
Se obține −13+1=23-\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Se calculează f(x)x+3=x+(x+3)2x+3=x+4−3x+3\frac{f(x)}{x + 3} = \frac{x + (x + 3)^2}{x + 3} = x + 4 - \frac{3}{x + 3}, deci ∫06(x+4−3x+3)dx=[x22+4x−3ln⁡(x+3)]06=42−3ln⁡3\displaystyle\int_0^6 \left(x + 4 - \frac{3}{x + 3}\right) dx = \left[\frac{x^2}{2} + 4x - 3\ln(x + 3)\right]_0^6 = 42 - 3\ln 3.
6
2 puncte
Din 42−3ln⁡3=3(a−ln⁡3)42 - 3\ln 3 = 3(a - \ln 3) rezultă 3a−3ln⁡3=42−3ln⁡33a - 3\ln 3 = 42 - 3\ln 3, de unde obținem a=14a = 14.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Simulare 2024 — Științele Naturii

Următor →

Simulare 2024 — Tehnologic

← Înapoi la arhiva completă Bac