BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Simulare 2024 — Tehnologic

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că (0,2+310)⋅10=5\left(0{,}2 + \dfrac{3}{10}\right) \cdot 10 = 5.

Rezolvare

1
3 puncte
Se calculează 0,2+310=0,2+0,3=0,50{,}2 + \dfrac{3}{10} = 0{,}2 + 0{,}3 = 0{,}5.
2
2 puncte
Se obține 0,5⋅10=50{,}5 \cdot 10 = 5.
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2x+3f(x) = 2x + 3. Determinați numărul real aa pentru care f(a)=7f(a) = 7.

Rezolvare

1
2 puncte
Se calculează f(a)=2a+3f(a) = 2a + 3, pentru orice număr real aa.
2
3 puncte
Din condiția f(a)=7f(a) = 7 rezultă 2a+3=72a + 3 = 7, de unde obținem a=2a = 2.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x2+2x+4=2\sqrt{x^2 + 2x + 4} = 2.

Rezolvare

1
3 puncte
Se ridică la pătrat ambii membri: x2+2x+4=4x^2 + 2x + 4 = 4, deci x(x+2)=0x(x + 2) = 0.
2
2 puncte
Se obține x=0x = 0 sau x=−2x = -2, care convin.
Exercițiul 4
După o scumpire cu 50%50\%, prețul unui obiect este de 225225 de lei. Determinați prețul obiectului înainte de scumpire.

Rezolvare

1
3 puncte
Se notează cu xx prețul inițial al obiectului și se scrie ecuația x+50100⋅x=225x + \dfrac{50}{100} \cdot x = 225.
2
2 puncte
Se obține x=150x = 150 de lei.
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(1,3)A(1, 3), B(5,0)B(5, 0) și C(5,5)C(5, 5). Arătați că triunghiul ABCABC este isoscel.

Rezolvare

1
2 puncte
Se calculează AB=(5−1)2+(0−3)2=16+9=25=5AB = \sqrt{(5-1)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5.
2
3 puncte
Se calculează BC=(5−5)2+(5−0)2=0+25=5BC = \sqrt{(5-5)^2 + (5-0)^2} = \sqrt{0 + 25} = 5, deci AB=BCAB = BC, de unde obținem că triunghiul ABCABC este isoscel.
Exercițiul 6
Se consideră triunghiul ABCABC, dreptunghic în AA, cu AB=3AB = 3 și BC=5BC = 5. Arătați că tg⁡B=43\operatorname{tg} B = \dfrac{4}{3}.

Rezolvare

1
3 puncte
Aplicând teorema lui Pitagora: AC=BC2−AB2=25−9=16=4AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4.
2
2 puncte
Se obține tg⁡B=ACAB=43\operatorname{tg} B = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{4}{3}.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} și A(x)=(1002x)A(x) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2^x \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡(A(2))=4\det(A(2)) = 4. b) Arătați că A(3)+2A(1)=3A(2)A(3) + 2A(1) = 3A(2). c) Determinați numerele reale xx pentru care A(x)⋅A(x2)=I2A(x) \cdot A(x^2) = I_2.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează A(2)=(1004)A(2) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}, deci det⁡(A(2))=1⋅4−0⋅0\det(A(2)) = 1 \cdot 4 - 0 \cdot 0.
2
2 puncte
Se obține det⁡(A(2))=4−0=4\det(A(2)) = 4 - 0 = 4.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează A(3)+2A(1)=(1008)+(2004)=(30012)A(3) + 2A(1) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 8 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 12 \end{pmatrix}.
4
2 puncte
Se calculează 3A(2)=3(1004)=(30012)3A(2) = 3 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 12 \end{pmatrix}, deci A(3)+2A(1)=3A(2)A(3) + 2A(1) = 3A(2).
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Se calculează A(x)⋅A(x2)=(1002x)⋅(1002x2)=(1002x+x2)A(x) \cdot A(x^2) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2^x \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2^{x^2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2^{x + x^2} \end{pmatrix}, pentru orice număr real xx.
6
3 puncte
Din (1002x+x2)=(1001)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2^{x+x^2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} rezultă 2x+x2=12^{x+x^2} = 1, deci x+x2=0x + x^2 = 0, de unde obținem x=0x = 0 sau x=−1x = -1.
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy−x−y+2x \circ y = xy - x - y + 2. a) Arătați că 2∘3=32 \circ 3 = 3. b) Determinați numărul real xx pentru care x∘4=x+6x \circ 4 = x + 6. c) Arătați că (x−2)∘(x+2)≥−3(x - 2) \circ (x + 2) \geq -3, pentru orice număr real xx.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează 2∘3=2⋅3−2−3+2=6−2−3+22 \circ 3 = 2 \cdot 3 - 2 - 3 + 2 = 6 - 2 - 3 + 2.
2
2 puncte
Se obține 2∘3=32 \circ 3 = 3.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează x∘4=x⋅4−x−4+2=3x−2x \circ 4 = x \cdot 4 - x - 4 + 2 = 3x - 2, pentru orice număr real xx.
4
2 puncte
Din condiția 3x−2=x+63x - 2 = x + 6 rezultă 2x=82x = 8, de unde obținem x=4x = 4.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Se calculează (x−2)∘(x+2)=(x−2)(x+2)−(x−2)−(x+2)+2=x2−4−2x+2=x2−2x−2(x-2) \circ (x+2) = (x-2)(x+2) - (x-2) - (x+2) + 2 = x^2 - 4 - 2x + 2 = x^2 - 2x - 2.
6
3 puncte
Se obține x2−2x−2=(x−1)2−3≥−3x^2 - 2x - 2 = (x-1)^2 - 3 \geq -3, pentru orice număr real xx.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(2,+∞)→Rf : (2, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=exx2−3f(x) = \dfrac{e^x}{x^2 - 3}. a) Arătați că f′(x)=ex(x2−2x−3)(x2−3)2f'(x) = \dfrac{e^x(x^2 - 2x - 3)}{(x^2 - 3)^2}, x∈(2,+∞)x \in (2, +\infty). b) Arătați că lim⁡x→+∞x⋅f(x)ex=0\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x \cdot f(x)}{e^x} = 0. c) Demonstrați că ex−3x2−3≥16\dfrac{e^{x-3}}{x^2 - 3} \geq \dfrac{1}{6}, pentru orice x∈(2,+∞)x \in (2, +\infty).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se derivează folosind regula câtului: f′(x)=ex⋅(x2−3)−ex⋅2x(x2−3)2=ex(x2−3−2x)(x2−3)2f'(x) = \dfrac{e^x \cdot (x^2 - 3) - e^x \cdot 2x}{(x^2 - 3)^2} = \dfrac{e^x(x^2 - 3 - 2x)}{(x^2 - 3)^2}.
2
2 puncte
Se obține f′(x)=ex(x2−2x−3)(x2−3)2f'(x) = \dfrac{e^x(x^2 - 2x - 3)}{(x^2 - 3)^2}, x∈(2,+∞)x \in (2, +\infty).
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează lim⁡x→+∞x⋅f(x)ex=lim⁡x→+∞x⋅exx2−3ex=lim⁡x→+∞xx2−3=lim⁡x→+∞1x(1−3x2)\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x \cdot f(x)}{e^x} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x \cdot \dfrac{e^x}{x^2 - 3}}{e^x} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x}{x^2 - 3} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x\left(1 - \dfrac{3}{x^2}\right)}.
4
2 puncte
Se obține lim⁡x→+∞1x(1−3x2)=0\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x\left(1 - \dfrac{3}{x^2}\right)} = 0.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Din f′(x)=0f'(x) = 0 rezultă x2−2x−3=0x^2 - 2x - 3 = 0, deci x=3x = 3 (singura soluție în (2,+∞)(2, +\infty)). Pentru x∈(2,3]x \in (2, 3] avem f′(x)≤0f'(x) \leq 0, deci ff este descrescătoare; pentru x∈[3,+∞)x \in [3, +\infty) avem f′(x)≥0f'(x) \geq 0, deci ff este crescătoare.
6
2 puncte
Se obține f(3)=e36f(3) = \dfrac{e^3}{6}, deci f(x)≥e36f(x) \geq \dfrac{e^3}{6}, pentru orice x∈(2,+∞)x \in (2, +\infty), de unde ex−3x2−3=f(x)e3≥16\dfrac{e^{x-3}}{x^2 - 3} = \dfrac{f(x)}{e^3} \geq \dfrac{1}{6}.
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x+ln⁡xf(x) = x + \ln x. a) Arătați că ∫24(f(x)−ln⁡x)dx=6\displaystyle\int_2^4 \left(f(x) - \ln x\right) dx = 6. b) Arătați că ∫1ef(x)−xx dx=12\displaystyle\int_1^e \dfrac{f(x) - x}{x}\, dx = \dfrac{1}{2}. c) Determinați numărul natural nenul nn pentru care ∫1nf(x) dx=2+3ln⁡n\displaystyle\int_1^n f(x)\, dx = 2 + 3\ln n.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează f(x)−ln⁡x=x+ln⁡x−ln⁡x=xf(x) - \ln x = x + \ln x - \ln x = x, deci ∫24x dx=x22∣24\displaystyle\int_2^4 x\, dx = \left.\dfrac{x^2}{2}\right|_2^4.
2
2 puncte
Se obține 162−42=8−2=6\dfrac{16}{2} - \dfrac{4}{2} = 8 - 2 = 6.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează f(x)−xx=ln⁡xx\dfrac{f(x) - x}{x} = \dfrac{\ln x}{x}, deci ∫1eln⁡xx dx=∫1eln⁡x⋅(ln⁡x)′ dx=(ln⁡x)22∣1e\displaystyle\int_1^e \dfrac{\ln x}{x}\, dx = \int_1^e \ln x \cdot (\ln x)'\, dx = \left.\dfrac{(\ln x)^2}{2}\right|_1^e.
4
2 puncte
Se obține (ln⁡e)22−(ln⁡1)22=12−0=12\dfrac{(\ln e)^2}{2} - \dfrac{(\ln 1)^2}{2} = \dfrac{1}{2} - 0 = \dfrac{1}{2}.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Se calculează ∫1nf(x) dx=∫1n(x+ln⁡x) dx=(x22+xln⁡x−x)∣1n=n22+nln⁡n−n−12+1=n2−2n+12+nln⁡n=(n−1)22+nln⁡n\displaystyle\int_1^n f(x)\, dx = \int_1^n (x + \ln x)\, dx = \left.\left(\dfrac{x^2}{2} + x\ln x - x\right)\right|_1^n = \dfrac{n^2}{2} + n\ln n - n - \dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{n^2 - 2n + 1}{2} + n\ln n = \dfrac{(n-1)^2}{2} + n\ln n, pentru orice număr natural nenul nn.
6
2 puncte
Din (n−1)22+nln⁡n=2+3ln⁡n\dfrac{(n-1)^2}{2} + n\ln n = 2 + 3\ln n rezultă (n−3)(n+1+2ln⁡n)=0(n-3)(n+1+2\ln n) = 0. Deoarece nn este număr natural nenul, n+1+2ln⁡n>0n + 1 + 2\ln n > 0, deci n=3n = 3.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Model 2024 — Tehnologic

Următor →

Bac Vară 2024 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac