BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Model 2026 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră numerele complexe z1=4−3iz_1 = 4 - 3i și z2=1−2iz_2 = 1 - 2i. Arătați că z1+3iz2=10z_1 + 3iz_2 = 10.

Rezolvare

1
2 puncte
Se calculează 3iz2=3i(1−2i)=3i−6i2=3i+63iz_2 = 3i(1 - 2i) = 3i - 6i^2 = 3i + 6, deci z1+3iz2=4−3i+6+3i=4−3i+3i+6z_1 + 3iz_2 = 4 - 3i + 6 + 3i = 4 - 3i + 3i + 6.
2
3 puncte
Se obține z1+3iz2=4+6=10z_1 + 3iz_2 = 4 + 6 = 10.
Exercițiul 2
Se consideră funcțiile f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=3−xf(x) = 3 - x și g:R→Rg : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x)=2x+1g(x) = 2x + 1. Determinați numărul real aa pentru care f(a)=3a+g(3)f(a) = 3a + g(3).

Rezolvare

1
2 puncte
Se calculează g(3)=2⋅3+1=7g(3) = 2 \cdot 3 + 1 = 7 și f(a)=3−af(a) = 3 - a, pentru orice număr real aa.
2
3 puncte
Din f(a)=3a+g(3)f(a) = 3a + g(3) se obține 3−a=3a+73 - a = 3a + 7, de unde −4a=4-4a = 4, deci a=−1a = -1.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡4(x2+4)=log⁡4x+log⁡45\log_4(x^2 + 4) = \log_4 x + \log_4 5.

Rezolvare

1
3 puncte
Se rescrie ecuația folosind proprietățile logaritmilor: log⁡4(x2+4)=log⁡4(5x)\log_4(x^2 + 4) = \log_4(5x), de unde x2+4=5xx^2 + 4 = 5x, adică x2−5x+4=0x^2 - 5x + 4 = 0.
2
2 puncte
Se obțin soluțiile x=1x = 1 sau x=4x = 4, care convin (ambele sunt pozitive).
Exercițiul 4
Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă produsul cifrelor egal cu 44.

Rezolvare

1
2 puncte
Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 9090 de elemente, deci sunt 9090 de cazuri posibile.
2
3 puncte
În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 33 numere care au produsul cifrelor egal cu 44 (și anume 1414, 2222, 4141), deci sunt 33 cazuri favorabile, de unde obținem p=390=130p = \frac{3}{90} = \frac{1}{30}.
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(2,8)A(2, 8), B(0,4)B(0, 4) și C(a,b)C(a, b), unde aa și bb sunt numere reale. Determinați numerele reale aa și bb, știind că segmentele OAOA și BCBC au același mijloc.

Rezolvare

1
2 puncte
M(1,4)M(1, 4) este mijlocul segmentului OAOA.
2
3 puncte
Cum MM este mijlocul segmentului BCBC, obținem 0+a2=1\frac{0 + a}{2} = 1 și 4+b2=4\frac{4 + b}{2} = 4, deci a=2a = 2 și b=4b = 4.
Exercițiul 6
Se consideră triunghiul ABCABC, dreptunghic în AA, cu C=π6C = \frac{\pi}{6}. Raza cercului circumscris triunghiului ABCABC este egală cu 44. Arătați că AB=4AB = 4.

Rezolvare

1
2 puncte
BC=2R=2⋅4=8BC = 2R = 2 \cdot 4 = 8, unde RR este raza cercului circumscris triunghiului ABCABC.
2
3 puncte
AB=BC⋅sin⁡C=8⋅sin⁡π6=8⋅12=4AB = BC \cdot \sin C = 8 \cdot \sin\frac{\pi}{6} = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4, deci AB=4AB = 4.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} și A(x)=(x−111−xx−5)A(x) = \begin{pmatrix} x - 1 & 1 \\ 1 - x & x - 5 \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡(A(6))=10\det(A(6)) = 10. b) Determinați numărul real aa pentru care A(3)⋅A(3)=aI2A(3) \cdot A(3) = aI_2. c) Demonstrați că numărul N=det⁡(A(m)⋅A(2)−A(m−1))N = \det(A(m) \cdot A(2) - A(m - 1)) este natural, pentru orice număr întreg mm.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) A(6)=(51−51)A(6) = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ -5 & 1 \end{pmatrix}, deci det⁡(A(6))=5⋅1−(−5)⋅1=5+5\det(A(6)) = 5 \cdot 1 - (-5) \cdot 1 = 5 + 5.
2
2 puncte
=5+5=10= 5 + 5 = 10.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) A(3)=(21−2−2)A(3) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & -2 \end{pmatrix}, deci A(3)⋅A(3)=(2002)=2I2A(3) \cdot A(3) = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = 2I_2.
4
2 puncte
2I2=aI22I_2 = aI_2, de unde obținem a=2a = 2.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) A(m)⋅A(2)−A(m−1)=(m−111−mm−5)(11−1−3)−(m−212−mm−6)=(0m−54−m22−5m)A(m) \cdot A(2) - A(m - 1) = \begin{pmatrix} m - 1 & 1 \\ 1 - m & m - 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} m - 2 & 1 \\ 2 - m & m - 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & m - 5 \\ 4 - m & 22 - 5m \end{pmatrix}, de unde obținem N=det⁡=0⋅(22−5m)−(m−5)(4−m)=(m−5)(m−4)=(m−4)(m−5)N = \det = 0 \cdot (22 - 5m) - (m - 5)(4 - m) = (m - 5)(m - 4) = (m - 4)(m - 5), pentru orice număr întreg mm.
6
2 puncte
Cum m−4m - 4 și m−5m - 5 sunt numere întregi consecutive și (m−4)(m−5)≥0(m - 4)(m - 5) \geq 0 (produsul a două numere întregi consecutive cu diferența 11: unul ≤0\leq 0 și celălalt ≥0\geq 0 nu se aplică, dar de fapt (m−4)(m−5)≥0(m-4)(m-5) \geq 0 deoarece ambii factori au același semn pentru m≤4m \leq 4 sau m≥5m \geq 5, iar pentru m=4m = 4 sau m=5m = 5 produsul este 00), obținem că numărul NN este natural, pentru orice număr întreg mm.
Exercițiul 2
Se consideră polinomul f=X3+aX2−2X+2f = X^3 + aX^2 - 2X + 2, unde aa este număr real. a) Arătați că f(0)=2f(0) = 2, pentru orice număr real aa. b) Determinați numărul real aa pentru care x1x2x3(1+x1+x2+x3)=4x_1 x_2 x_3 (1 + x_1 + x_2 + x_3) = 4, unde x1x_1, x2x_2 și x3x_3 sunt rădăcinile polinomului ff. c) Știind că polinomul ff este divizibil cu polinomul X+1X + 1, determinați restul împărțirii lui ff la polinomul X2−2X^2 - 2.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f(0)=03+a⋅02−2⋅0+2=0+0−0+2f(0) = 0^3 + a \cdot 0^2 - 2 \cdot 0 + 2 = 0 + 0 - 0 + 2.
2
2 puncte
=0+0−0+2=2= 0 + 0 - 0 + 2 = 2, pentru orice număr real aa.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Din relațiile lui Viète: x1x2x3=−2x_1 x_2 x_3 = -2, x1+x2+x3=−ax_1 + x_2 + x_3 = -a, deci x1x2x3(1+x1+x2+x3)=−2(1+(−a))=−2(1−a)x_1 x_2 x_3 (1 + x_1 + x_2 + x_3) = -2(1 + (-a)) = -2(1 - a), pentru orice număr real aa.
4
2 puncte
Din −2(1−a)=4-2(1 - a) = 4 obținem 1−a=−21 - a = -2, deci a=3a = 3.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) f(−1)=0f(-1) = 0 implică −1+a+2+2=0-1 + a + 2 + 2 = 0, deci a=−3a = -3.
6
3 puncte
f=X3−3X2−2X+2f = X^3 - 3X^2 - 2X + 2. Împărțind ff la X2−2X^2 - 2, obținem f=(X2−2)(X−3)+(−4)f = (X^2 - 2)(X - 3) + (-4), deci restul împărțirii lui ff la X2−2X^2 - 2 este −4-4.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ex(x2+x−1)f(x) = e^x(x^2 + x - 1). a) Arătați că f′(x)=ex(x2+3x)f'(x) = e^x(x^2 + 3x), x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Arătați că lim⁡x→0ex+f(x)f′(x)=13\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^x + f(x)}{f'(x)} = \frac{1}{3}. c) Demonstrați că ex+3(x2+x−1)≤5e^{x+3}(x^2 + x - 1) \leq 5, pentru orice x∈(−∞,0]x \in (-\infty, 0].

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=ex(x2+x−1)+ex(2x+1)f'(x) = e^x(x^2 + x - 1) + e^x(2x + 1).
2
2 puncte
=ex(x2+x−1+2x+1)=ex(x2+3x)= e^x(x^2 + x - 1 + 2x + 1) = e^x(x^2 + 3x), x∈Rx \in \mathbb{R}.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) lim⁡x→0ex+f(x)f′(x)=lim⁡x→0ex+ex(x2+x−1)ex(x2+3x)=lim⁡x→0ex(x2+x)ex(x2+3x)=lim⁡x→0x(x+1)x(x+3)\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^x + f(x)}{f'(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^x(x^2 + x - 1)}{e^x(x^2 + 3x)} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x(x^2 + x)}{e^x(x^2 + 3x)} = \lim_{x \to 0} \frac{x(x + 1)}{x(x + 3)}.
4
2 puncte
=lim⁡x→0x+1x+3=0+10+3=13= \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{x + 1}{x + 3} = \frac{0 + 1}{0 + 3} = \frac{1}{3}.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) f′(x)=ex⋅x(x+3)=0⇔x=−3f'(x) = e^x \cdot x(x + 3) = 0 \Leftrightarrow x = -3 sau x=0x = 0. Pentru x∈(−∞,−3)x \in (-\infty, -3), f′(x)>0f'(x) > 0, deci ff este crescătoare pe (−∞,−3](-\infty, -3]. Pentru x∈[−3,0]x \in [-3, 0], f′(x)≤0f'(x) \leq 0, deci ff este descrescătoare pe [−3,0][-3, 0].
6
2 puncte
f(x)≤f(−3)f(x) \leq f(-3) pentru orice x∈(−∞,0]x \in (-\infty, 0], și cum f(−3)=e−3(9−3−1)=5e3f(-3) = e^{-3}(9 - 3 - 1) = \frac{5}{e^3}, obținem ex(x2+x−1)≤5e3e^x(x^2 + x - 1) \leq \frac{5}{e^3}, deci ex+3(x2+x−1)≤5e^{x+3}(x^2 + x - 1) \leq 5, pentru orice x∈(−∞,0]x \in (-\infty, 0].
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x+2x2+1f(x) = x + \sqrt{2x^2 + 1}. a) Arătați că ∫35(f(x)−2x2+1)dx=8\displaystyle\int_3^5 \left(f(x) - \sqrt{2x^2 + 1}\right) dx = 8. b) Arătați că ∫12x(f(x)−x)2 dx=ln⁡34\displaystyle\int_1^2 \frac{x}{(f(x) - x)^2} \, dx = \frac{\ln 3}{4}. c) Determinați numărul real aa pentru care volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției g:[0,2]→Rg : [0, 2] \to \mathbb{R}, g(x)=f(x)g(x) = f(x), în jurul axei OxOx este egal cu aπ3\frac{a\pi}{3}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫35(f(x)−2x2+1)dx=∫35x dx=x22∣35\displaystyle\int_3^5 \left(f(x) - \sqrt{2x^2 + 1}\right) dx = \int_3^5 x \, dx = \left. \frac{x^2}{2} \right|_3^5.
2
2 puncte
=252−92=8= \frac{25}{2} - \frac{9}{2} = 8.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) ∫12x(f(x)−x)2 dx=∫12x2x2+1 dx=14∫12(2x2+1)′2x2+1 dx=14ln⁡(2x2+1)∣12\displaystyle\int_1^2 \frac{x}{(f(x) - x)^2} \, dx = \int_1^2 \frac{x}{2x^2 + 1} \, dx = \frac{1}{4} \int_1^2 \frac{(2x^2 + 1)'}{2x^2 + 1} \, dx = \frac{1}{4} \left. \ln(2x^2 + 1) \right|_1^2.
4
2 puncte
=14(ln⁡9−ln⁡3)=14ln⁡93=ln⁡34= \frac{1}{4}(\ln 9 - \ln 3) = \frac{1}{4} \ln \frac{9}{3} = \frac{\ln 3}{4}.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) V=π∫02g2(x) dx=π∫02(x+2x2+1)2 dx=π∫02(3x2+1+2x2x2+1) dx=π(x3+x∣02+12∫02(2x2+1)′2x2+1 dx)V = \pi \displaystyle\int_0^2 g^2(x) \, dx = \pi \int_0^2 (x + \sqrt{2x^2 + 1})^2 \, dx = \pi \int_0^2 (3x^2 + 1 + 2x\sqrt{2x^2 + 1}) \, dx = \pi \left( \left. x^3 + x \right|_0^2 + \frac{1}{2} \int_0^2 (2x^2 + 1)' \sqrt{2x^2 + 1} \, dx \right).
6
3 puncte
=π(10+(2x2+1)2x2+13∣02)=π(10+9⋅3−1⋅13)=π(10+263)=56π3= \pi \left( 10 + \left. \frac{(2x^2 + 1)\sqrt{2x^2 + 1}}{3} \right|_0^2 \right) = \pi \left( 10 + \frac{9 \cdot 3 - 1 \cdot 1}{3} \right) = \pi \left( 10 + \frac{26}{3} \right) = \frac{56\pi}{3}, deci aπ3=56π3\frac{a\pi}{3} = \frac{56\pi}{3}, de unde obținem a=56a = 56.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Model 2026 — Matematică-Informatică

Următor →

Model 2026 — Tehnologic

← Înapoi la arhiva completă Bac