BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Simulare 2014 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Determinați numerele reale aa și bb, știind că 1+i1−i=a+ib\frac{1 + i}{1 - i} = a + ib și i2=−1i^2 = -1.

Rezolvare

1
3 puncte
Se calculează 1+i1−i=i\frac{1 + i}{1 - i} = i, deci a+ib=ia + ib = i.
2
2 puncte
Se obține a=0a = 0 și b=1b = 1.
Exercițiul 2
Determinați coordonatele punctelor de intersecție cu axele de coordonate a graficului funcției f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−6x+8f(x) = x^2 - 6x + 8.

Rezolvare

1
3 puncte
Din f(x)=0f(x) = 0 rezultă x2−6x+8=0x^2 - 6x + 8 = 0, deci x1=2x_1 = 2 și x2=4x_2 = 4, de unde Gf∩Ox={(2,0),(4,0)}G_f \cap Ox = \{(2, 0), (4, 0)\}.
2
2 puncte
Se calculează f(0)=8f(0) = 8, deci Gf∩Oy={(0,8)}G_f \cap Oy = \{(0, 8)\}.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 9x+22+3x+1=369^{\frac{x+2}{2}} + 3^{x+1} = 36.

Rezolvare

1
2 puncte
Se scrie ecuația sub forma 3x+2+3x+1=363^{x+2} + 3^{x+1} = 36, de unde 3x+1=93^{x+1} = 9.
2
3 puncte
Din x+1=2x + 1 = 2 se obține x=1x = 1.
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să nu conțină cifra 66.

Rezolvare

1
2 puncte
Sunt 7272 de numere naturale de două cifre care nu conțin cifra 66, deci sunt 7272 de cazuri favorabile.
2
3 puncte
Sunt 9090 de numere naturale de două cifre, deci sunt 9090 de cazuri posibile, de unde p=7290=45p = \frac{72}{90} = \frac{4}{5}.
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(−1,2)A(-1, 2), B(2,3)B(2, 3) și C(0,−2)C(0, -2). Determinați ecuația paralelei duse prin CC la ABAB.

Rezolvare

1
3 puncte
Se calculează mAB=13m_{AB} = \frac{1}{3}, iar d∥ABd \parallel AB implică md=13m_d = \frac{1}{3}, unde dd este paralela prin CC la ABAB.
2
2 puncte
Ecuația dreptei dd este y=13x−2y = \frac{1}{3}x - 2.
Exercițiul 6
Determinați x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) pentru care 1+sin⁡xsin⁡x=1+cos⁡xcos⁡x\frac{1 + \sin x}{\sin x} = \frac{1 + \cos x}{\cos x}.

Rezolvare

1
2 puncte
Din cos⁡x+sin⁡xcos⁡x=sin⁡x+sin⁡xcos⁡x\cos x + \sin x \cos x = \sin x + \sin x \cos x rezultă cos⁡x=sin⁡x\cos x = \sin x.
2
3 puncte
Se obține x=π4x = \frac{\pi}{4}.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(a)=(a111a111a)A(a) = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}, unde aa este număr real. a) Arătați că det⁡(A(a))=(a+2)(a−1)2\det(A(a)) = (a + 2)(a - 1)^2, pentru orice număr real aa. b) Calculați inversa matricei A(−1)A(-1) în M3(R)\mathcal{M}_3(\mathbb{R}). c) Determinați perechile de numere naturale (a,b)(a, b) pentru care matricea A(a)⋅A(b)A(a) \cdot A(b) are suma elementelor egală cu 2424.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
Se calculează det⁡(A(a))\det(A(a)) adunând coloanele 22 și 33 la prima coloană, obținând factorul (a+2)(a + 2): det⁡(A(a))=(a+2)∣1001a−1010a−1∣\det(A(a)) = (a + 2) \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & a - 1 & 0 \\ 1 & 0 & a - 1 \end{vmatrix}.
2
2 puncte
Se obține (a+2)∣a−100a−1∣=(a+2)(a−1)2(a + 2) \begin{vmatrix} a - 1 & 0 \\ 0 & a - 1 \end{vmatrix} = (a + 2)(a - 1)^2.
b)5 puncte
3
2 puncte
Se calculează det⁡(A(−1))=4\det(A(-1)) = 4.
4
3 puncte
Inversa matricei A(−1)A(-1) este (012121201212120)\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix}.
c)5 puncte
5
2 puncte
Se calculează A(a)⋅A(b)=(ab+2a+b+1a+b+1a+b+1ab+2a+b+1a+b+1a+b+1ab+2)A(a) \cdot A(b) = \begin{pmatrix} ab + 2 & a + b + 1 & a + b + 1 \\ a + b + 1 & ab + 2 & a + b + 1 \\ a + b + 1 & a + b + 1 & ab + 2 \end{pmatrix}.
6
3 puncte
Suma elementelor este 3ab+6a+6b+12=243ab + 6a + 6b + 12 = 24, deci (a+2)(b+2)=8(a + 2)(b + 2) = 8. Perechile de numere naturale care verifică cerința sunt (0,2)(0, 2) și (2,0)(2, 0).
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=3xy−3x−3y+4x * y = 3xy - 3x - 3y + 4. Legea „∗*” este asociativă și are element neutru. a) Arătați că x∗y=3(x−1)(y−1)+1x * y = 3(x - 1)(y - 1) + 1, pentru orice numere reale xx și yy. b) Calculați 11007∗21007∗31007∗…∗20141007\frac{1}{1007} * \frac{2}{1007} * \frac{3}{1007} * \ldots * \frac{2014}{1007}. c) Determinați numerele reale xx care sunt egale cu simetricele lor față de legea „∗*”.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
Se calculează 3xy−3x−3y+4=3(xy−x−y+1)+13xy - 3x - 3y + 4 = 3(xy - x - y + 1) + 1.
2
2 puncte
Se obține 3(x−1)(y−1)+13(x - 1)(y - 1) + 1, pentru orice numere reale xx și yy.
b)5 puncte
3
2 puncte
Se observă că x∗1=1∗x=1x * 1 = 1 * x = 1, pentru orice număr real xx.
4
3 puncte
Se grupează (11007∗…∗10061007)∗10071007∗(10081007∗…∗20141007)=1\left(\frac{1}{1007} * \ldots * \frac{1006}{1007}\right) * \frac{1007}{1007} * \left(\frac{1008}{1007} * \ldots * \frac{2014}{1007}\right) = 1.
c)5 puncte
5
2 puncte
Elementul neutru este e=43e = \frac{4}{3}. Din x∗x=43x * x = \frac{4}{3} rezultă 3(x−1)2+1=433(x - 1)^2 + 1 = \frac{4}{3}, deci (x−1)2=19(x - 1)^2 = \frac{1}{9}.
6
3 puncte
Se obține x1=23x_1 = \frac{2}{3} și x2=43x_2 = \frac{4}{3}.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(1,+∞)→Rf : (1, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x2+2x−1f(x) = \frac{x^2 + 2}{x - 1}. a) Determinați ecuația asimptotei oblice la graficul funcției ff. b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x=2x = 2, situat pe graficul funcției ff. c) Calculați lim⁡x→+∞(f(x)x)x+3\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{f(x)}{x}\right)^{x+3}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
Se calculează lim⁡x→+∞f(x)x=1\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 1.
2
3 puncte
Se calculează lim⁡x→+∞(f(x)−x)=1\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (f(x) - x) = 1, deci dreapta y=x+1y = x + 1 este asimptotă oblică spre +∞+\infty la graficul funcției ff.
b)5 puncte
3
3 puncte
Se calculează f(2)=6f(2) = 6 și f′(2)=−2f'(2) = -2.
4
2 puncte
Ecuația tangentei este y−f(2)=f′(2)(x−2)y - f(2) = f'(2)(x - 2), deci y=−2x+10y = -2x + 10.
c)5 puncte
5
3 puncte
Se scrie lim⁡x→+∞(x2+2x2−x)x+3=lim⁡x→+∞(1+x+2x2−x)x2−xx+2⋅(x+2)(x+3)x2−x\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{x^2 + 2}{x^2 - x}\right)^{x+3} = \lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{x + 2}{x^2 - x}\right)^{\frac{x^2 - x}{x + 2} \cdot \frac{(x + 2)(x + 3)}{x^2 - x}}.
6
2 puncte
Se obține elim⁡x→+∞x2+5x+6x2−x=ee^{\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 5x + 6}{x^2 - x}} = e.
Exercițiul 2
Pentru fiecare număr natural nenul nn se consideră numărul In=∫01xnx+1 dxI_n = \displaystyle\int_0^1 \frac{x^n}{x + 1}\, dx. a) Calculați I1I_1. b) Arătați că In+1+In=1n+1I_{n+1} + I_n = \frac{1}{n + 1}, pentru orice număr natural nenul nn. c) Arătați că lim⁡n→+∞(n+1)In=12\displaystyle\lim_{n \to +\infty} (n + 1) I_n = \frac{1}{2}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
Se calculează I1=∫01xx+1 dx=∫01(1−1x+1)dxI_1 = \displaystyle\int_0^1 \frac{x}{x + 1}\, dx = \int_0^1 \left(1 - \frac{1}{x + 1}\right) dx.
2
3 puncte
Se obține I1=1−ln⁡2I_1 = 1 - \ln 2.
b)5 puncte
3
3 puncte
Se calculează In+1+In=∫01xn+1+xnx+1 dx=∫01xn(x+1)x+1 dxI_{n+1} + I_n = \displaystyle\int_0^1 \frac{x^{n+1} + x^n}{x + 1}\, dx = \int_0^1 \frac{x^n(x + 1)}{x + 1}\, dx.
4
2 puncte
Se obține ∫01xn dx=xn+1n+1∣01=1n+1\displaystyle\int_0^1 x^n\, dx = \frac{x^{n+1}}{n + 1} \bigg|_0^1 = \frac{1}{n + 1}, pentru orice număr natural nenul nn.
c)5 puncte
5
2 puncte
Se arată că In+1−In=∫01xn(x−1)x+1 dx≤0I_{n+1} - I_n = \displaystyle\int_0^1 \frac{x^n(x - 1)}{x + 1}\, dx \leq 0, pentru orice număr natural nenul nn, deci 2In+1≤1n+1≤2In2I_{n+1} \leq \frac{1}{n + 1} \leq 2I_n.
6
3 puncte
Din 12≤(n+1)In≤n+12n\frac{1}{2} \leq (n + 1)I_n \leq \frac{n + 1}{2n}, pentru orice n≥2n \geq 2, prin teorema cleștelui se obține lim⁡n→+∞(n+1)In=12\displaystyle\lim_{n \to +\infty} (n + 1)I_n = \frac{1}{2}.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Model 2015 — Tehnologic

Următor →

Simulare 2014 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac