BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Simulare 2014 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Determinați conjugatul numărului complex z=1+i+i2+i3+i4+i5+i6z = 1 + i + i^2 + i^3 + i^4 + i^5 + i^6.

Rezolvare

1
3 puncte
Se calculează z=1+i−1−i+1+i−1=iz = 1 + i - 1 - i + 1 + i - 1 = i.
2
2 puncte
Se obține z‾=−i\overline{z} = -i.
Exercițiul 2
Determinați valoarea maximă a funcției f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=−x2+4x−5f(x) = -x^2 + 4x - 5.

Rezolvare

1
2 puncte
Se calculează Δ=−4\Delta = -4.
2
3 puncte
Valoarea maximă a funcției ff este −Δ4a=−1-\frac{\Delta}{4a} = -1.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3−x2+3=x3 - \sqrt{x^2 + 3} = x.

Rezolvare

1
3 puncte
Se scrie 3−x=x2+33 - x = \sqrt{x^2 + 3} și, prin ridicare la pătrat, se obține 9−6x+x2=x2+39 - 6x + x^2 = x^2 + 3.
2
2 puncte
Se obține x=1x = 1, care verifică ecuația.
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifrele distincte.

Rezolvare

1
2 puncte
Sunt 8181 de numere naturale de două cifre care au cifrele distincte, deci sunt 8181 de cazuri favorabile.
2
3 puncte
Sunt 9090 de numere naturale de două cifre, deci sunt 9090 de cazuri posibile, de unde p=8190=910p = \frac{81}{90} = \frac{9}{10}.
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(2,3)A(2, 3), B(4,0)B(4, 0) și C(2,0)C(2, 0). Determinați aria triunghiului ABCABC.

Rezolvare

1
3 puncte
Se observă că AC=3AC = 3, BC=2BC = 2 și m(∠C)=90°m(\angle C) = 90°.
2
2 puncte
Se calculează A△ABC=AC⋅BC2=3\mathcal{A}_{\triangle ABC} = \frac{AC \cdot BC}{2} = 3.
Exercițiul 6
Arătați că (sin⁡x+cos⁡x)2+(sin⁡x−cos⁡x)2=2(\sin x + \cos x)^2 + (\sin x - \cos x)^2 = 2 pentru orice număr real xx.

Rezolvare

1
2 puncte
Se dezvoltă (sin⁡x+cos⁡x)2=1+2sin⁡xcos⁡x(\sin x + \cos x)^2 = 1 + 2\sin x \cos x.
2
3 puncte
Se dezvoltă (sin⁡x−cos⁡x)2=1−2sin⁡xcos⁡x(\sin x - \cos x)^2 = 1 - 2\sin x \cos x, deci (sin⁡x+cos⁡x)2+(sin⁡x−cos⁡x)2=2(\sin x + \cos x)^2 + (\sin x - \cos x)^2 = 2.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră determinantul D(a,b)=∣1111ab1a2b2∣D(a, b) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & b \\ 1 & a^2 & b^2 \end{vmatrix}, unde aa și bb sunt numere reale. a) Calculați D(1,0)D(1, 0). b) Arătați că D(a,b)=(a−1)(b−1)(b−a)D(a, b) = (a - 1)(b - 1)(b - a) pentru orice numere reale aa și bb. c) Demonstrați că numărul D(m,n)D(m, n) este par pentru orice numere întregi mm și nn.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
Se calculează D(1,0)=∣111110110∣D(1, 0) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}.
2
3 puncte
Se obține D(1,0)=0D(1, 0) = 0.
b)5 puncte
3
2 puncte
Se scad coloanele și se obține D(a,b)=∣1001a−1b−11a2−1b2−1∣D(a, b) = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & a - 1 & b - 1 \\ 1 & a^2 - 1 & b^2 - 1 \end{vmatrix}.
4
3 puncte
Se scoate factorul comun și se obține (a−1)(b−1)∣11a+1b+1∣=(a−1)(b−1)(b−a)(a - 1)(b - 1) \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ a + 1 & b + 1 \end{vmatrix} = (a - 1)(b - 1)(b - a), pentru orice numere reale aa și bb.
c)5 puncte
5
2 puncte
Se scrie D(m,n)=(m−1)(n−1)(n−m)D(m, n) = (m - 1)(n - 1)(n - m). Dacă mm și nn au aceeași paritate, atunci n−mn - m este număr par, deci D(m,n)D(m, n) este par.
6
3 puncte
Dacă mm și nn au parități diferite, atunci m−1m - 1 și n−1n - 1 au parități diferite, deci (m−1)(n−1)(m - 1)(n - 1) este număr par, de unde D(m,n)D(m, n) este par.
Exercițiul 2
Se consideră inelul (Z6,+,⋅)(\mathbb{Z}_6, +, \cdot), unde Z6={0^,1^,2^,3^,4^,5^}\mathbb{Z}_6 = \{\hat{0}, \hat{1}, \hat{2}, \hat{3}, \hat{4}, \hat{5}\}. a) Rezolvați în Z6\mathbb{Z}_6 ecuația 3^x+2^=5^\hat{3}x + \hat{2} = \hat{5}. b) Determinați mulțimea valorilor funcției f:Z6→Z6f : \mathbb{Z}_6 \to \mathbb{Z}_6, f(x)=x3−xf(x) = x^3 - x. c) Determinați numărul elementelor mulțimii H={x10∣x∈Z6}H = \{x^{10} \mid x \in \mathbb{Z}_6\}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
Se simplifică ecuația la 3^x=3^\hat{3}x = \hat{3}.
2
3 puncte
Se obțin soluțiile x1=1^x_1 = \hat{1}, x2=3^x_2 = \hat{3}, x3=5^x_3 = \hat{5}.
b)5 puncte
3
3 puncte
Se calculează 0^3=0^\hat{0}^3 = \hat{0}, 1^3=1^\hat{1}^3 = \hat{1}, 2^3=2^\hat{2}^3 = \hat{2}, 3^3=3^\hat{3}^3 = \hat{3}, 4^3=4^\hat{4}^3 = \hat{4}, 5^3=5^\hat{5}^3 = \hat{5}.
4
2 puncte
Deci Im f={0^}\text{Im}\, f = \{\hat{0}\}.
c)5 puncte
5
2 puncte
Din x3=xx^3 = x rezultă x10=x2x^{10} = x^2, pentru orice x∈Z6x \in \mathbb{Z}_6.
6
3 puncte
Se calculează H={x2∣x∈Z6}={0^,1^,3^,4^}H = \{x^2 \mid x \in \mathbb{Z}_6\} = \{\hat{0}, \hat{1}, \hat{3}, \hat{4}\}, deci mulțimea HH are 44 elemente.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=1x+ln⁡xf(x) = \frac{1}{x} + \ln x. a) Calculați lim⁡x→2f(x)−f(2)x−2\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2}. b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x=1x = 1, situat pe graficul funcției ff. c) Demonstrați că f(x)≥1f(x) \geq 1 pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
Se calculează f′(x)=−1x2+1xf'(x) = -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty).
2
3 puncte
Se obține lim⁡x→2f(x)−f(2)x−2=f′(2)=14\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = f'(2) = \frac{1}{4}.
b)5 puncte
3
2 puncte
Se calculează f(1)=1f(1) = 1 și f′(1)=0f'(1) = 0.
4
3 puncte
Ecuația tangentei este y−f(1)=f′(1)(x−1)y - f(1) = f'(1)(x - 1), deci y=1y = 1.
c)5 puncte
5
2 puncte
Pentru x∈(0,1]x \in (0, 1] avem f′(x)≤0f'(x) \leq 0, deci ff este descrescătoare pe (0,1](0, 1]. Pentru x∈[1,+∞)x \in [1, +\infty) avem f′(x)≥0f'(x) \geq 0, deci ff este crescătoare pe [1,+∞)[1, +\infty).
6
3 puncte
Rezultă f(x)≥f(1)f(x) \geq f(1), deci f(x)≥1f(x) \geq 1 pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty).
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→Rf : (-1, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x2x+1f(x) = \frac{x^2}{x + 1}. a) Calculați ∫01(x+1)f(x) dx\displaystyle\int_0^1 (x + 1) f(x)\, dx. b) Calculați ∫1e(x+1)f(x)ln⁡x dx\displaystyle\int_1^e (x + 1) f(x) \ln x\, dx. c) Arătați că F(e−1)=e2−4e+72F(e - 1) = \frac{e^2 - 4e + 7}{2}, unde F:(−1,+∞)→RF : (-1, +\infty) \to \mathbb{R} este primitiva funcției ff pentru care F(0)=1F(0) = 1.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
Se calculează ∫01(x+1)f(x) dx=∫01x2 dx\displaystyle\int_0^1 (x + 1) f(x)\, dx = \int_0^1 x^2\, dx.
2
3 puncte
Se obține x33∣01=13\frac{x^3}{3} \bigg|_0^1 = \frac{1}{3}.
b)5 puncte
3
2 puncte
Se calculează ∫1e(x+1)f(x)ln⁡x dx=∫1ex2ln⁡x dx\displaystyle\int_1^e (x + 1) f(x) \ln x\, dx = \int_1^e x^2 \ln x\, dx.
4
3 puncte
Se integrează prin părți și se obține x33⋅ln⁡x∣1e−∫1ex23 dx=2e3+19\frac{x^3}{3} \cdot \ln x \bigg|_1^e - \int_1^e \frac{x^2}{3}\, dx = \frac{2e^3 + 1}{9}.
c)5 puncte
5
3 puncte
Se calculează ∫x2x+1 dx=∫(x−1+1x+1)dx=x22−x+ln⁡(x+1)+C\displaystyle\int \frac{x^2}{x + 1}\, dx = \int \left(x - 1 + \frac{1}{x + 1}\right) dx = \frac{x^2}{2} - x + \ln(x + 1) + C, deci F(x)=x22−x+ln⁡(x+1)+cF(x) = \frac{x^2}{2} - x + \ln(x + 1) + c.
6
2 puncte
Din F(0)=1F(0) = 1 rezultă c=1c = 1, de unde F(e−1)=(e−1)22−(e−1)+ln⁡e+1=e2−4e+72F(e - 1) = \frac{(e-1)^2}{2} - (e - 1) + \ln e + 1 = \frac{e^2 - 4e + 7}{2}.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Simulare 2014 — Matematică-Informatică

Următor →

Simulare 2014 — Tehnologic

← Înapoi la arhiva completă Bac