BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Simulare 2014 — Tehnologic

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Calculați suma primilor trei termeni ai unei progresii aritmetice (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1}, știind că a2=4a_2 = 4.

Rezolvare

1
3 puncte
a1+a2+a3=(a2−r)+a2+(a2+r)=3a2a_1 + a_2 + a_3 = (a_2 - r) + a_2 + (a_2 + r) = 3a_2
2
2 puncte
=3⋅4=12= 3 \cdot 4 = 12
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2014x−2013f(x) = 2014x - 2013. Calculați (f(1))2014(f(1))^{2014}.

Rezolvare

1
2 puncte
f(1)=2014⋅1−2013=1f(1) = 2014 \cdot 1 - 2013 = 1
2
3 puncte
(f(1))2014=12014=1(f(1))^{2014} = 1^{2014} = 1
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 32−3x=3x+63^{2 - 3x} = 3^{x + 6}.

Rezolvare

1
2 puncte
2−3x=x+62 - 3x = x + 6
2
3 puncte
−4x=4-4x = 4, deci x=−1x = -1
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să fie divizor al lui 1010.

Rezolvare

1
2 puncte
Numerele naturale de o cifră, divizori ai lui 1010, sunt 11, 22 și 55, deci sunt 33 cazuri favorabile. Sunt 1010 numere naturale de o cifră, deci sunt 1010 cazuri posibile
2
2 puncte
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=310p = \dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \dfrac{3}{10}
3
1 punct
Concluzie
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(1,3)A(1, 3) și B(−1,1)B(-1, 1). Determinați ecuația dreptei ABAB.

Rezolvare

1
3 puncte
AB:y−31−3=x−1−1−1AB : \dfrac{y - 3}{1 - 3} = \dfrac{x - 1}{-1 - 1}
2
2 puncte
AB:y=x+2AB : y = x + 2
Exercițiul 6
Arătați că 3cos⁡30∘+2sin⁡45∘=52\sqrt{3} \cos 30^\circ + \sqrt{2} \sin 45^\circ = \dfrac{5}{2}.

Rezolvare

1
2 puncte
cos⁡30∘=32\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, sin⁡45∘=22\sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}
2
3 puncte
3cos⁡30∘+2sin⁡45∘=32+22=52\sqrt{3} \cos 30^\circ + \sqrt{2} \sin 45^\circ = \dfrac{3}{2} + \dfrac{2}{2} = \dfrac{5}{2}

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A=(111123149)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9 \end{pmatrix}. a) Calculați det⁡A\det A. b) Determinați numărul real mm pentru care matricele A+mI3A + mI_3 și (011113148)\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & 4 & 8 \end{pmatrix} sunt egale, unde I3=(100010001)I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. c) Rezolvați ecuația matriceală AX=(013)AX = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}, unde X=(xyz)∈M3,1(R)X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R}).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) det⁡A=∣111123149∣=18+4+3−2−12−9=\det A = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9 \end{vmatrix} = 18 + 4 + 3 - 2 - 12 - 9 =
2
2 puncte
=2= 2
b)5 puncte
3
3 puncte
b) A+mI3=(1+m1112+m3149+m)A + mI_3 = \begin{pmatrix} 1+m & 1 & 1 \\ 1 & 2+m & 3 \\ 1 & 4 & 9+m \end{pmatrix}, deci (1+m1112+m3149+m)=(011113148)\begin{pmatrix} 1+m & 1 & 1 \\ 1 & 2+m & 3 \\ 1 & 4 & 9+m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & 4 & 8 \end{pmatrix}
4
2 puncte
m=−1m = -1
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Se obține sistemul {x+y+z=0x+2y+3z=1x+4y+9z=3\begin{cases} x + y + z = 0 \\ x + 2y + 3z = 1 \\ x + 4y + 9z = 3 \end{cases}
6
3 puncte
x=−1x = -1, y=1y = 1, z=0z = 0
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție comutativă x∗y=x+y−5x * y = x + y - 5. a) Arătați că 2∗(−2)=2014∗(−2014)2 * (-2) = 2014 * (-2014). b) Verificați dacă legea „∗*" este asociativă. c) Calculați (−4)∗(−3)∗(−2)∗(−1)∗0∗1∗2∗3∗4(-4) * (-3) * (-2) * (-1) * 0 * 1 * 2 * 3 * 4.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) 2∗(−2)=−52 * (-2) = -5
2
3 puncte
2014∗(−2014)=−52014 * (-2014) = -5, deci 2∗(−2)=2014∗(−2014)2 * (-2) = 2014 * (-2014)
b)5 puncte
3
2 puncte
b) (x∗y)∗z=(x+y−5)∗z=x+y+z−10(x * y) * z = (x + y - 5) * z = x + y + z - 10
4
3 puncte
x∗(y∗z)=x∗(y+z−5)=x+y+z−10=(x∗y)∗zx * (y * z) = x * (y + z - 5) = x + y + z - 10 = (x * y) * z, pentru orice numere reale xx, yy și zz, deci legea este asociativă
c)5 puncte
5
2 puncte
c) (−4)∗(−3)∗(−2)∗(−1)∗0∗1∗2∗3∗4=((−4)∗4)∗((−3)∗3)∗((−2)∗2)∗((−1)∗1)∗0=(-4) * (-3) * (-2) * (-1) * 0 * 1 * 2 * 3 * 4 = ((-4) * 4) * ((-3) * 3) * ((-2) * 2) * ((-1) * 1) * 0 =
6
3 puncte
=(−5)∗(−5)∗(−5)∗(−5)∗0=((−5)∗(−5))∗((−5)∗(−5))∗0=(−15)∗(−15)∗0=−40= (-5) * (-5) * (-5) * (-5) * 0 = ((-5) * (-5)) * ((-5) * (-5)) * 0 = (-15) * (-15) * 0 = -40

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x+7f(x) = x^3 - 3x + 7. a) Arătați că lim⁡x→0f(x)−f(0)x=−3\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{f(x) - f(0)}{x} = -3. b) Calculați lim⁡x→+∞f(x)x(2x+1)(3x+2)\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x(2x + 1)(3x + 2)}. c) Demonstrați că f(x)≥5f(x) \geq 5 pentru orice x∈[−1,+∞)x \in [-1, +\infty).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) lim⁡x→0f(x)−f(0)x=f′(0)\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{f(x) - f(0)}{x} = f'(0)
2
3 puncte
f′(x)=3x2−3f'(x) = 3x^2 - 3, deci f′(0)=−3f'(0) = -3
b)5 puncte
3
2 puncte
b) lim⁡x→+∞f(x)x(2x+1)(3x+2)=lim⁡x→+∞x3(1−3x2+7x3)x3(2+1x)(3+2x)=\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x(2x+1)(3x+2)} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^3\left(1 - \dfrac{3}{x^2} + \dfrac{7}{x^3}\right)}{x^3\left(2 + \dfrac{1}{x}\right)\left(3 + \dfrac{2}{x}\right)} =
4
3 puncte
=16= \dfrac{1}{6}
c)5 puncte
5
2 puncte
c) f′(x)=0⇒x=−1f'(x) = 0 \Rightarrow x = -1 sau x=1x = 1
6
3 puncte
ff descrescătoare pe [−1,1][-1, 1], ff crescătoare pe [1,+∞)[1, +\infty) și f(1)=5f(1) = 5, deci f(x)≥5f(x) \geq 5, ∀x∈[−1,+∞)\forall x \in [-1, +\infty)
Exercițiul 2
Se consideră funcțiile f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ex+2xf(x) = e^x + 2x și F:R→RF : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, F(x)=ex+x2+2014F(x) = e^x + x^2 + 2014. a) Calculați ∫12(f(x)−ex)dx\displaystyle\int_1^2 \left(f(x) - e^x\right) dx. b) Arătați că funcția FF este o primitivă a funcției ff. c) Calculați ∫01f(x)F(x) dx\displaystyle\int_0^1 f(x) F(x)\, dx.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) ∫12(f(x)−ex) dx=∫122x dx=\displaystyle\int_1^2 (f(x) - e^x)\, dx = \int_1^2 2x\, dx =
2
3 puncte
=x2∣12=3= x^2 \Big|_1^2 = 3
b)5 puncte
3
3 puncte
b) F′(x)=(ex+x2+2014)′=ex+2x=F'(x) = (e^x + x^2 + 2014)' = e^x + 2x =
4
2 puncte
=f(x)= f(x) pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}, deci FF este o primitivă a funcției ff
c)5 puncte
5
3 puncte
c) ∫01f(x)F(x) dx=F2(x)2∣01=\displaystyle\int_0^1 f(x) F(x)\, dx = \dfrac{F^2(x)}{2} \Bigg|_0^1 =
6
2 puncte
=(e+2015)2−201522=e2+4030e2= \dfrac{(e + 2015)^2 - 2015^2}{2} = \dfrac{e^2 + 4030e}{2}

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Simulare 2014 — Științele Naturii

Următor →

Bac Vară 2014 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac