BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Simulare 2018 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Determinați conjugatul numărului complex z=(1−i)(2+i)+5iz = (1 - i)(2 + i) + 5i.

Rezolvare

1
3 puncte
z=2+i−2i−i2+5i=2+i−2i+1+5i=3+4iz = 2 + i - 2i - i^2 + 5i = 2 + i - 2i + 1 + 5i = 3 + 4i
2
2 puncte
zˉ=3−4i\bar{z} = 3 - 4i
Exercițiul 2
Determinați numerele naturale nn pentru care n2+n−12<0n^2 + n - 12 < 0.

Rezolvare

1
2 puncte
Cum nn este număr natural, (n+4)(n−3)<0⇒n<3(n+4)(n-3) < 0 \Rightarrow n < 3
2
3 puncte
n=0n = 0, n=1n = 1 sau n=2n = 2
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația lg⁡(x+1)=2lg⁡(x−5)\lg(x+1) = 2\lg(x-5).

Rezolvare

1
2 puncte
lg⁡(x+1)=lg⁡(x−5)2⇒x+1=(x−5)2\lg(x+1) = \lg(x-5)^2 \Rightarrow x + 1 = (x-5)^2
2
3 puncte
x2−11x+24=0⇒x=3x^2 - 11x + 24 = 0 \Rightarrow x = 3, care nu verifică ecuația, și x=8x = 8, care verifică ecuația
Exercițiul 4
Determinați numărul de elemente ale unei mulțimi, știind că aceasta are 4545 de submulțimi cu două elemente.

Rezolvare

1
2 puncte
O mulțime cu nn elemente are Cn2C_n^2 submulțimi cu două elemente
2
3 puncte
n(n−1)2=45⇒n=10\dfrac{n(n-1)}{2} = 45 \Rightarrow n = 10
Exercițiul 5
Se consideră dreptunghiul ABCDABCD și v⃗=AB→+AC→+AD→\vec{v} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}. Știind că lungimea vectorului v⃗\vec{v} este egală cu 2020, determinați lungimea vectorului BD→\overrightarrow{BD}.

Rezolvare

1
3 puncte
v⃗=2AC→\vec{v} = 2\overrightarrow{AC}, deci AC=10AC = 10
2
2 puncte
Cum ABCDABCD este dreptunghi, obținem BD=10BD = 10
Exercițiul 6
Arătați că, dacă xx este număr real pentru care sin⁡x+cos⁡x=2\sin x + \cos x = \sqrt{2}, atunci tg⁡x+ctg⁡x=2\operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x = 2.

Rezolvare

1
2 puncte
(sin⁡x+cos⁡x)2=2⇒sin⁡xcos⁡x=12(\sin x + \cos x)^2 = 2 \Rightarrow \sin x \cos x = \dfrac{1}{2}
2
3 puncte
tg⁡x+ctg⁡x=sin⁡2x+cos⁡2xsin⁡xcos⁡x=112=2\operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x = \dfrac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \dfrac{1}{\dfrac{1}{2}} = 2

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(x)=(102x−2x1−2x2001)A(x) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2x \\ -2x & 1 & -2x^2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Calculați det⁡(A(2))\det(A(2)). b) Determinați numărul real aa pentru care det⁡(A(a)+aA(0))=8\det(A(a) + aA(0)) = 8. c) Știind că det⁡((m+n)A(x))=det⁡(mA(x))+det⁡(nA(x))+18\det((m+n)A(x)) = \det(mA(x)) + \det(nA(x)) + 18, pentru orice număr real xx, determinați numerele naturale mm și nn, m<nm < n.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) A(2)=(104−41−8001)⇒det⁡(A(2))=∣104−41−8001∣A(2) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 \\ -4 & 1 & -8 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(2)) = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 4 \\ -4 & 1 & -8 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}
2
3 puncte
=1+0+0−0−0−0=1= 1 + 0 + 0 - 0 - 0 - 0 = 1
b)5 puncte
3
3 puncte
b) det⁡(A(a)+aA(0))=∣a+102a−2aa+1−2a200a+1∣=(a+1)3\det(A(a) + aA(0)) = \begin{vmatrix} a+1 & 0 & 2a \\ -2a & a+1 & -2a^2 \\ 0 & 0 & a+1 \end{vmatrix} = (a+1)^3
4
2 puncte
(a+1)3=23⇒a=1(a+1)^3 = 2^3 \Rightarrow a = 1
c)5 puncte
5
2 puncte
c) (m+n)3=m3+n3+18(m+n)^3 = m^3 + n^3 + 18
6
3 puncte
mn(m+n)=6mn(m+n) = 6, deci, cum mm și nn sunt numere naturale și m<nm < n, obținem m=1m = 1 și n=2n = 2
Exercițiul 2
Pe mulțimea Z7\mathbb{Z}_7 se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy+6x+6y+2^x * y = \widehat{xy + 6x + 6y + 2}. a) Demonstrați că x∗y=(x+6)(y+6)+1^x * y = \widehat{(x + 6)(y + 6) + 1}, pentru orice x,y∈Z7x, y \in \mathbb{Z}_7. b) Demonstrați că x∗1^=1^∗x=1^x * \hat{1} = \hat{1} * x = \hat{1}, pentru orice x∈Z7x \in \mathbb{Z}_7. c) Calculați 0^∗1^∗2^∗3^∗4^∗5^∗6^\hat{0} * \hat{1} * \hat{2} * \hat{3} * \hat{4} * \hat{5} * \hat{6}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) x∗y=xy+6x+6y+1+1^x * y = \widehat{xy + 6x + 6y + 1 + 1}
2
2 puncte
=x(y+6)+6(y+6)+1^=(x+6)(y+6)+1^= \widehat{x(y+6) + 6(y+6) + 1} = \widehat{(x+6)(y+6) + 1}, pentru orice x,y∈Z7x, y \in \mathbb{Z}_7
b)5 puncte
3
2 puncte
b) x∗1^=(x+6)(1^+6^)+1^^=0^+1^^=1^x * \hat{1} = \widehat{(x+6)(\hat{1}+\hat{6}) + \hat{1}} = \widehat{\hat{0} + \hat{1}} = \hat{1}
4
3 puncte
1^∗x=(1^+6^)(x+6^)+1^^=0^+1^^=1^=x∗1^\hat{1} * x = \widehat{(\hat{1}+\hat{6})(x+\hat{6}) + \hat{1}} = \widehat{\hat{0} + \hat{1}} = \hat{1} = x * \hat{1}, pentru orice x∈Z7x \in \mathbb{Z}_7
c)5 puncte
5
3 puncte
c) 0^∗1^∗2^∗3^∗4^∗5^∗6^=(0^∗1^)∗2^∗3^∗4^∗5^∗6^\hat{0} * \hat{1} * \hat{2} * \hat{3} * \hat{4} * \hat{5} * \hat{6} = (\hat{0} * \hat{1}) * \hat{2} * \hat{3} * \hat{4} * \hat{5} * \hat{6}
6
2 puncte
=1^∗(2^∗3^∗4^∗5^∗6^)=1^= \hat{1} * (\hat{2} * \hat{3} * \hat{4} * \hat{5} * \hat{6}) = \hat{1}

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ex(x2−6x+9)f(x) = e^x(x^2 - 6x + 9). a) Arătați că f′(x)=ex(x2−4x+3)f'(x) = e^x(x^2 - 4x + 3), x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Determinați punctele de extrem ale funcției ff. c) Demonstrați că (x−3)2≤4e1−x(x - 3)^2 \leq 4e^{1-x}, pentru orice x∈(−∞,3]x \in (-\infty, 3].

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) f′(x)=(ex)′(x2−6x+9)+ex(x2−6x+9)′f'(x) = (e^x)'(x^2 - 6x + 9) + e^x(x^2 - 6x + 9)'
2
3 puncte
=ex(x2−6x+9+2x−6)=ex(x2−4x+3)= e^x(x^2 - 6x + 9 + 2x - 6) = e^x(x^2 - 4x + 3), x∈Rx \in \mathbb{R}
b)5 puncte
3
2 puncte
b) f′(x)=0⇔x=1f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1 și x=3x = 3
4
3 puncte
f′(x)>0f'(x) > 0 pentru orice x∈(−∞,1)x \in (-\infty, 1), f′(x)<0f'(x) < 0 pentru orice x∈(1,3)x \in (1, 3) și f′(x)>0f'(x) > 0 pentru orice x∈(3,+∞)x \in (3, +\infty), deci punctele de extrem ale funcției ff sunt x=1x = 1 și x=3x = 3
c)5 puncte
5
3 puncte
c) ff este crescătoare pe (−∞,1](-\infty, 1] și descrescătoare pe [1,3][1, 3], deci f(x)≤f(1)f(x) \leq f(1) pentru orice x∈(−∞,3]x \in (-\infty, 3]
6
2 puncte
f(1)=4ef(1) = 4e, deci f(x)≤4e⇔ex(x−3)2≤4e⇔(x−3)2≤4e1−xf(x) \leq 4e \Leftrightarrow e^x(x-3)^2 \leq 4e \Leftrightarrow (x-3)^2 \leq 4e^{1-x}, pentru orice x∈(−∞,3]x \in (-\infty, 3]
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)={3x2−4x+1,x∈(−∞,1)ln⁡xx,x∈[1,+∞)f(x) = \begin{cases} 3x^2 - 4x + 1, & x \in (-\infty, 1) \\ \dfrac{\ln x}{\sqrt{x}}, & x \in [1, +\infty) \end{cases}. a) Demonstrați că funcția ff admite primitive pe R\mathbb{R}. b) Arătați că ∫−1ef(x) dx=2(4−e)\displaystyle\int_{-1}^{e} f(x)\,dx = 2(4 - \sqrt{e}). c) Determinați numărul natural nn pentru care ∫enen+1f2(x) dx=73\displaystyle\int_{e^n}^{e^{n+1}} f^2(x)\,dx = \dfrac{7}{3}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) lim⁡x→1x<1f(x)=lim⁡x→1(3x2−4x+1)=0\displaystyle\lim_{\substack{x \to 1 \\ x < 1}} f(x) = \lim_{x \to 1}(3x^2 - 4x + 1) = 0, lim⁡x→1x>1f(x)=lim⁡x→1ln⁡xx=0\displaystyle\lim_{\substack{x \to 1 \\ x > 1}} f(x) = \lim_{x \to 1} \dfrac{\ln x}{\sqrt{x}} = 0 și, cum f(1)=0f(1) = 0, obținem lim⁡x→1f(x)=f(1)\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) = f(1), deci funcția ff este continuă în x=1x = 1
2
2 puncte
Cum funcția ff este continuă pe (−∞,1)(-\infty, 1) și pe (1,+∞)(1, +\infty), obținem că ff este continuă pe R\mathbb{R}, deci funcția ff admite primitive pe R\mathbb{R}
b)5 puncte
3
2 puncte
b) ∫−1ef(x) dx=∫−11f(x) dx+∫1ef(x) dx=∫−11(3x2−4x+1) dx+∫1eln⁡xx dx\displaystyle\int_{-1}^{e} f(x)\,dx = \int_{-1}^{1} f(x)\,dx + \int_{1}^{e} f(x)\,dx = \int_{-1}^{1}(3x^2 - 4x + 1)\,dx + \int_{1}^{e} \dfrac{\ln x}{\sqrt{x}}\,dx
4
3 puncte
=(x3−2x2+x)∣−11+(2xln⁡x−4x)∣1e=4−2e+4=2(4−e)= \left.(x^3 - 2x^2 + x)\right|_{-1}^{1} + \left.(2\sqrt{x}\ln x - 4\sqrt{x})\right|_{1}^{e} = 4 - 2\sqrt{e} + 4 = 2(4 - \sqrt{e})
c)5 puncte
5
3 puncte
c) ∫enen+1f2(x) dx=∫enen+1ln⁡2xx dx=ln⁡3x3∣enen+1=3n2+3n+13\displaystyle\int_{e^n}^{e^{n+1}} f^2(x)\,dx = \int_{e^n}^{e^{n+1}} \dfrac{\ln^2 x}{x}\,dx = \left.\dfrac{\ln^3 x}{3}\right|_{e^n}^{e^{n+1}} = \dfrac{3n^2 + 3n + 1}{3}
6
2 puncte
3n2+3n+13=73\dfrac{3n^2 + 3n + 1}{3} = \dfrac{7}{3} și, cum nn este număr natural, obținem n=1n = 1

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Simulare 2018 — Matematică-Informatică

Următor →

Simulare 2018 — Tehnologic

← Înapoi la arhiva completă Bac