BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Simulare 2018 — Tehnologic

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Calculați rația progresiei geometrice (bn)n≥1(b_n)_{n \geq 1}, știind că b1=3b_1 = 3 și b4=24b_4 = 24.

Rezolvare

1
3 puncte
b1q3=24⇒q3=8b_1 q^3 = 24 \Rightarrow q^3 = 8
2
2 puncte
q=2q = 2
Exercițiul 2
Determinați numărul real aa pentru care punctul A(a,2)A(a, 2) aparține graficului funcției f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−2x+3f(x) = x^2 - 2x + 3.

Rezolvare

1
3 puncte
f(a)=2⇔a2−2a+1=0f(a) = 2 \Leftrightarrow a^2 - 2a + 1 = 0
2
2 puncte
a=1a = 1
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡3(x+1)+log⁡3(x−1)=log⁡38\log_3(x+1) + \log_3(x-1) = \log_3 8.

Rezolvare

1
3 puncte
log⁡3((x+1)(x−1))=log⁡38⇒x2−1=8\log_3((x+1)(x-1)) = \log_3 8 \Rightarrow x^2 - 1 = 8
2
2 puncte
x=−3x = -3, care nu verifică ecuația, și x=3x = 3, care verifică ecuația
Exercițiul 4
Determinați numerele naturale de trei cifre care au produsul cifrelor egal cu 77.

Rezolvare

1
2 puncte
Cifrele pot fi 11 sau 77
2
3 puncte
Numerele sunt 117117, 171171 și 711711
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(1,2)A(1, 2), B(5,5)B(5, 5) și C(7,10)C(7, 10). Arătați că AC→=2AB→\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB}.

Rezolvare

1
2 puncte
AB=(5−1)2+(5−2)2=5AB = \sqrt{(5-1)^2 + (5-2)^2} = 5
2
3 puncte
AC=(7−1)2+(10−2)2=10⇒AC=2ABAC = \sqrt{(7-1)^2 + (10-2)^2} = 10 \Rightarrow AC = 2AB
Exercițiul 6
Calculați aria triunghiului MNPMNP, știind că MN=4MN = 4 și m(∡N)=m(∡P)=75°m(\measuredangle N) = m(\measuredangle P) = 75°.

Rezolvare

1
2 puncte
MP=4MP = 4 (triunghiul MNPMNP este isoscel, cu m(∡M)=30°m(\measuredangle M) = 30°)
2
3 puncte
A△MNP=4⋅4⋅122=4\mathcal{A}_{\triangle MNP} = \dfrac{4 \cdot 4 \cdot \dfrac{1}{2}}{2} = 4

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele A=(3725)A = \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}, B=(5−7−23)B = \begin{pmatrix} 5 & -7 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} și I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. a) Arătați că 5A−3B=8(0722)5A - 3B = 8\begin{pmatrix} 0 & 7 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}. b) Demonstrați că matricea BB este inversa matricei AA. c) Determinați numerele reale xx și yy, știind că xA⋅A−8A=yI2xA \cdot A - 8A = yI_2.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) 5A−3B=5(3725)−3(5−7−23)=(15351025)−(15−21−69)5A - 3B = 5\begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} - 3\begin{pmatrix} 5 & -7 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 & 35 \\ 10 & 25 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 15 & -21 \\ -6 & 9 \end{pmatrix}
2
2 puncte
=(0561616)=8(0722)= \begin{pmatrix} 0 & 56 \\ 16 & 16 \end{pmatrix} = 8\begin{pmatrix} 0 & 7 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}
b)5 puncte
3
2 puncte
b) A⋅B=(3⋅5+7⋅(−2)3⋅(−7)+7⋅32⋅5+5⋅(−2)2⋅(−7)+5⋅3)=(1001)=I2A \cdot B = \begin{pmatrix} 3 \cdot 5 + 7 \cdot (-2) & 3 \cdot (-7) + 7 \cdot 3 \\ 2 \cdot 5 + 5 \cdot (-2) & 2 \cdot (-7) + 5 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_2
4
3 puncte
B⋅A=(5⋅3+(−7)⋅25⋅7+(−7)⋅5(−2)⋅3+3⋅2(−2)⋅7+3⋅5)=(1001)=I2B \cdot A = \begin{pmatrix} 5 \cdot 3 + (-7) \cdot 2 & 5 \cdot 7 + (-7) \cdot 5 \\ (-2) \cdot 3 + 3 \cdot 2 & (-2) \cdot 7 + 3 \cdot 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_2, deci matricea BB este inversa matricei AA
c)5 puncte
5
3 puncte
c) xA⋅A⋅B−8A⋅B=yI2⋅B⇔xA−8I2=yB⇔(3x7x2x5x)−(8008)=(5y−7y−2y3y)xA \cdot A \cdot B - 8A \cdot B = yI_2 \cdot B \Leftrightarrow xA - 8I_2 = yB \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 3x & 7x \\ 2x & 5x \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 8 & 0 \\ 0 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5y & -7y \\ -2y & 3y \end{pmatrix}
6
2 puncte
x=1x = 1, y=−1y = -1
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−2(x+y)+6x * y = xy - 2(x + y) + 6. a) Demonstrați că x∗y=(x−2)(y−2)+2x * y = (x - 2)(y - 2) + 2, pentru orice numere reale xx și yy. b) Determinați numărul real xx, pentru care x∗3=2018x * 3 = 2018. c) Calculați log⁡22∗log⁡23∗log⁡24∗⋯∗log⁡22018\log_2 2 * \log_2 3 * \log_2 4 * \cdots * \log_2 2018.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) x∗y=xy−2x−2y+4+2x * y = xy - 2x - 2y + 4 + 2
2
3 puncte
=x(y−2)−2(y−2)+2=(x−2)(y−2)+2= x(y-2) - 2(y-2) + 2 = (x-2)(y-2) + 2, pentru orice numere reale xx și yy
b)5 puncte
3
2 puncte
b) (x−2)(3−2)+2=2018(x - 2)(3 - 2) + 2 = 2018
4
3 puncte
x=2018x = 2018
c)5 puncte
5
2 puncte
c) x∗2=2x * 2 = 2 și 2∗y=22 * y = 2, pentru xx și yy numere reale
6
3 puncte
log⁡22∗log⁡23∗log⁡24∗⋯∗log⁡22018=((log⁡22∗log⁡23)∗2)∗(log⁡25∗⋯∗log⁡22018)=2∗(log⁡25∗⋯∗log⁡22018)=2\log_2 2 * \log_2 3 * \log_2 4 * \cdots * \log_2 2018 = ((\log_2 2 * \log_2 3) * 2) * (\log_2 5 * \cdots * \log_2 2018) = 2 * (\log_2 5 * \cdots * \log_2 2018) = 2

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x6−6x+10f(x) = x^6 - 6x + 10. a) Arătați că lim⁡x→1f(x)−5x−1=0\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x) - 5}{x - 1} = 0. b) Determinați intervalele de monotonie ale funcției ff. c) Demonstrați că f(0,9)+f(1,1)≥10f(0{,}9) + f(1{,}1) \geq 10.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) f′(x)=6x5−6f'(x) = 6x^5 - 6, x∈Rx \in \mathbb{R}
2
3 puncte
lim⁡x→1f(x)−5x−1=lim⁡x→1f(x)−f(1)x−1=f′(1)=0\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x) - 5}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \dfrac{f(x) - f(1)}{x - 1} = f'(1) = 0
b)5 puncte
3
2 puncte
b) f′(x)=0⇔x=1f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1
4
3 puncte
f′(x)≤0f'(x) \leq 0 pentru orice x∈(−∞,1]x \in (-\infty, 1], deci ff este descrescătoare pe (−∞,1](-\infty, 1], și f′(x)≥0f'(x) \geq 0 pentru orice x∈[1,+∞)x \in [1, +\infty), deci ff este crescătoare pe [1,+∞)[1, +\infty)
c)5 puncte
5
2 puncte
c) f(x)≥f(1)f(x) \geq f(1), deci f(x)≥5f(x) \geq 5, pentru orice număr real xx
6
3 puncte
f(0,9)≥5f(0{,}9) \geq 5 și f(1,1)≥5f(1{,}1) \geq 5, deci f(0,9)+f(1,1)≥10f(0{,}9) + f(1{,}1) \geq 10
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=xexf(x) = xe^x. a) Arătați că ∫12f(x)x dx=e(e−1)\displaystyle\int_1^2 \dfrac{f(x)}{x}\,dx = e(e - 1). b) Determinați primitiva F:R→RF : \mathbb{R} \to \mathbb{R} a funcției ff pentru care F(1)=0F(1) = 0. c) Determinați numărul real aa pentru care ∫01f(x)f′(x) dx=12ea\displaystyle\int_0^1 f(x) f'(x)\,dx = \dfrac{1}{2}e^a.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫12f(x)x dx=∫12ex dx=ex∣12\displaystyle\int_1^2 \dfrac{f(x)}{x}\,dx = \int_1^2 e^x\,dx = \left.e^x\right|_1^2
2
2 puncte
=e2−e=e(e−1)= e^2 - e = e(e - 1)
b)5 puncte
3
3 puncte
b) F(x)=∫xex dx=(x−1)ex+cF(x) = \displaystyle\int xe^x\,dx = (x - 1)e^x + c, unde c∈Rc \in \mathbb{R}
4
2 puncte
(1−1)e+c=0⇒c=0(1 - 1)e + c = 0 \Rightarrow c = 0, deci F(x)=(x−1)exF(x) = (x - 1)e^x
c)5 puncte
5
3 puncte
c) ∫01f(x)f′(x) dx=12f2(x)∣01=12e2\displaystyle\int_0^1 f(x) f'(x)\,dx = \left.\dfrac{1}{2}f^2(x)\right|_0^1 = \dfrac{1}{2}e^2
6
2 puncte
12e2=12ea⇒a=2\dfrac{1}{2}e^2 = \dfrac{1}{2}e^a \Rightarrow a = 2

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Simulare 2018 — Științele Naturii

Următor →

Bac Vară 2018 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac