BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Simulare 2021 — Tehnologic

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că (1+3i)2−6i=−8(1 + 3i)^2 - 6i = -8, unde i2=−1i^2 = -1.

Rezolvare

1
3 puncte
Se calculează (1+3i)2=1+6i+9i2=1+6i−9=−8+6i(1 + 3i)^2 = 1 + 6i + 9i^2 = 1 + 6i - 9 = -8 + 6i.
2
2 puncte
Se obține (1+3i)2−6i=−8+6i−6i=−8(1 + 3i)^2 - 6i = -8 + 6i - 6i = -8.
Exercițiul 2
Se consideră funcțiile f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x+1f(x) = x + 1 și g:R→Rg : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x)=3x−7g(x) = 3x - 7. Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor celor două funcții.

Rezolvare

1
3 puncte
Punctul de intersecție satisface f(x)=g(x)f(x) = g(x), adică x+1=3x−7x + 1 = 3x - 7, de unde 2x=82x = 8, deci x=4x = 4.
2
2 puncte
Se calculează y=f(4)=5y = f(4) = 5. Punctul de intersecție este (4,5)(4, 5).
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3−x=2x\sqrt{3 - x} = 2x.

Rezolvare

1
3 puncte
Condiții: 3−x≥03 - x \ge 0 și x≥0x \ge 0, deci x∈[0,3]x \in [0, 3]. Ridicând la pătrat: 3−x=4x23 - x = 4x^2, adică 4x2+x−3=04x^2 + x - 3 = 0, de unde x=−1x = -1 sau x=34x = \frac{3}{4}.
2
2 puncte
Cum x∈[0,3]x \in [0, 3], soluția este x=34x = \frac{3}{4}.
Exercițiul 4
Arătați că numărul de submulțimi cu două elemente ale mulțimii A={1,2,3,4,5}A = \{1, 2, 3, 4, 5\} este egal cu numărul de submulțimi cu trei elemente ale mulțimii AA.

Rezolvare

1
3 puncte
Numărul de submulțimi cu două elemente este C52=5!2!⋅3!=10C_5^2 = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = 10 și numărul de submulțimi cu trei elemente este C53=5!3!⋅2!=10C_5^3 = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = 10.
2
2 puncte
Deci C52=C53=10C_5^2 = C_5^3 = 10.
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(1,2)A(1, 2), B(−1,0)B(-1, 0) și C(0,a)C(0, a), unde aa este număr real. Determinați numărul real aa, știind că dreapta ABAB conține punctul CC.

Rezolvare

1
3 puncte
Ecuația dreptei ABAB: panta m=0−2−1−1=1m = \frac{0 - 2}{-1 - 1} = 1, deci y−2=1⋅(x−1)y - 2 = 1 \cdot (x - 1), adică y=x+1y = x + 1.
2
2 puncte
Punctul C(0,a)C(0, a) aparține dreptei dacă a=0+1=1a = 0 + 1 = 1, deci a=1a = 1.
Exercițiul 6
Se consideră numărul real x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) astfel încât cos⁡x+sin⁡π6=1\cos x + \sin \frac{\pi}{6} = 1. Calculați sin⁡x\sin x.

Rezolvare

1
3 puncte
Se știe că sin⁡π6=12\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}, deci cos⁡x+12=1\cos x + \frac{1}{2} = 1, de unde cos⁡x=12\cos x = \frac{1}{2}.
2
2 puncte
Cum x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right), sin⁡x=1−cos⁡2x=1−14=32\sin x = \sqrt{1 - \cos^2 x} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele A=(24−1−2)A = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}, B=(−2−613)B = \begin{pmatrix} -2 & -6 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} și M(x)=A+xBM(x) = A + xB, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡A=0\det A = 0. b) Demonstrați că M(x)⋅M(1)=xM(1)M(x) \cdot M(1) = xM(1), pentru orice număr real xx. c) Determinați numărul natural nn, știind că M(4)⋅M(3)⋅M(2)⋅M(1)=nM(1)M(4) \cdot M(3) \cdot M(2) \cdot M(1) = nM(1).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează det⁡A=∣24−1−2∣=2⋅(−2)−4⋅(−1)=−4+4\det A = \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} = 2 \cdot (-2) - 4 \cdot (-1) = -4 + 4.
2
2 puncte
Se obține det⁡A=0\det A = 0.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează M(x)=A+xB=(2−2x4−6x−1+x−2+3x)M(x) = A + xB = \begin{pmatrix} 2 - 2x & 4 - 6x \\ -1 + x & -2 + 3x \end{pmatrix} și M(1)=(0−201)M(1) = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. Produsul M(x)⋅M(1)=(0−2(2−2x)+(4−6x)0−(−1+x)⋅2+(−2+3x))M(x) \cdot M(1) = \begin{pmatrix} 0 & -2(2 - 2x) + (4 - 6x) \\ 0 & -(-1 + x) \cdot 2 + (-2 + 3x) \end{pmatrix}... Se verifică M(x)⋅M(1)=xM(1)M(x) \cdot M(1) = xM(1).
4
2 puncte
Egalitatea M(x)⋅M(1)=xM(1)M(x) \cdot M(1) = xM(1) este demonstrată prin calcul direct, pentru orice număr real xx.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Se aplică proprietatea de la b) succesiv: M(4)⋅M(3)⋅M(2)⋅M(1)=M(4)⋅M(3)⋅2M(1)=2M(4)⋅3M(1)=6⋅4M(1)=24M(1)M(4) \cdot M(3) \cdot M(2) \cdot M(1) = M(4) \cdot M(3) \cdot 2M(1) = 2M(4) \cdot 3M(1) = 6 \cdot 4M(1) = 24M(1).
6
3 puncte
Deci n=24n = 24.
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y+x2y2x * y = x + y + x^2 y^2. a) Arătați că 1∗2=71 * 2 = 7. b) Demonstrați că e=0e = 0 este elementul neutru al legii de compoziție „∗*”. c) Determinați numerele întregi xx pentru care (−2)∗x≤3(-2) * x \le 3.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează 1∗2=1+2+12⋅22=3+41 * 2 = 1 + 2 + 1^2 \cdot 2^2 = 3 + 4.
2
2 puncte
Se obține 1∗2=71 * 2 = 7.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează x∗0=x+0+x2⋅02=xx * 0 = x + 0 + x^2 \cdot 0^2 = x și 0∗x=0+x+02⋅x2=x0 * x = 0 + x + 0^2 \cdot x^2 = x, pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}.
4
2 puncte
Deci e=0e = 0 este elementul neutru al legii de compoziție „∗*”.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Se calculează (−2)∗x=−2+x+4x2≤3(-2) * x = -2 + x + 4x^2 \le 3, adică 4x2+x−5≤04x^2 + x - 5 \le 0. Rădăcinile sunt x=−54x = -\frac{5}{4} și x=1x = 1.
6
2 puncte
Deci x∈[−54,1]x \in \left[-\frac{5}{4}, 1\right], iar numerele întregi din acest interval sunt x∈{−1,0,1}x \in \{-1, 0, 1\}.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ex+x4−2x+2f(x) = e^x + x^4 - 2x + 2. a) Arătați că f′(x)=ex+4x3−2f'(x) = e^x + 4x^3 - 2, x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x=0x = 0, situat pe graficul funcției ff. c) Demonstrați că funcția ff este convexă.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se derivează f′(x)=ex+4x3−2f'(x) = e^x + 4x^3 - 2.
2
2 puncte
Relația este verificată pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează f(0)=e0+0−0+2=3f(0) = e^0 + 0 - 0 + 2 = 3 și f′(0)=1+0−2=−1f'(0) = 1 + 0 - 2 = -1. Ecuația tangentei: y−3=−1(x−0)y - 3 = -1(x - 0).
4
2 puncte
Deci ecuația tangentei este y=−x+3y = -x + 3.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Se calculează f′′(x)=ex+12x2f''(x) = e^x + 12x^2, x∈Rx \in \mathbb{R}.
6
2 puncte
Deoarece ex>0e^x > 0 și 12x2≥012x^2 \ge 0, obținem f′′(x)>0f''(x) > 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}, deci funcția ff este convexă.
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x−1xf(x) = x - \frac{1}{x}. a) Arătați că ∫13(f(x)+1x)dx=4\displaystyle\int_1^3 \left(f(x) + \frac{1}{x}\right)dx = 4. b) Arătați că ∫12(f(x)+1x)ln⁡x dx=2ln⁡2−34\displaystyle\int_1^2 \left(f(x) + \frac{1}{x}\right)\ln x\,dx = 2\ln 2 - \frac{3}{4}. c) Determinați cel mai mare număr natural nenul nn pentru care ∫12xn+1fn(x) dx≥12021\displaystyle\int_1^{\sqrt{2}} x^{n+1} f^n(x)\,dx \ge \frac{1}{2021}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se simplifică: f(x)+1x=x−1x+1x=xf(x) + \frac{1}{x} = x - \frac{1}{x} + \frac{1}{x} = x. Deci ∫13x dx=x22∣13=92−12\int_1^3 x\,dx = \frac{x^2}{2}\Big|_1^3 = \frac{9}{2} - \frac{1}{2}.
2
2 puncte
Se obține =4= 4.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează ∫12xln⁡x dx\int_1^2 x \ln x\,dx. Prin integrare prin părți cu u=ln⁡xu = \ln x, dv=x dxdv = x\,dx: ∫12xln⁡x dx=x22ln⁡x∣12−∫12x2 dx=2ln⁡2−x24∣12\int_1^2 x\ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x\Big|_1^2 - \int_1^2 \frac{x}{2}\,dx = 2\ln 2 - \frac{x^2}{4}\Big|_1^2.
4
2 puncte
Se obține =2ln⁡2−1+14=2ln⁡2−34= 2\ln 2 - 1 + \frac{1}{4} = 2\ln 2 - \frac{3}{4}.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Se calculează xn+1fn(x)=xn+1(x−1x)n=xn+1⋅(x2−1)nxn=x(x2−1)nx^{n+1} f^n(x) = x^{n+1} \left(x - \frac{1}{x}\right)^n = x^{n+1} \cdot \frac{(x^2 - 1)^n}{x^n} = x(x^2 - 1)^n. Cu substituția t=x2−1t = x^2 - 1: ∫12x(x2−1)n dx=12∫01tn dt=12(n+1)\int_1^{\sqrt{2}} x(x^2 - 1)^n\,dx = \frac{1}{2}\int_0^1 t^n\,dt = \frac{1}{2(n + 1)}.
6
2 puncte
Condiția 12(n+1)≥12021\frac{1}{2(n + 1)} \ge \frac{1}{2021} dă n+1≤20212=1010,5n + 1 \le \frac{2021}{2} = 1010{,}5, deci n≤1009n \le 1009. Cel mai mare nn natural nenul este n=1009n = 1009.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Simulare 2021 — Științele Naturii

Următor →

Bac Vară 2021 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac