BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Simulare 2023 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că 2(1+i)−i(2−i)=12(1 + i) - i(2 - i) = 1, unde i2=−1i^2 = -1.

Rezolvare

1
3 puncte
Se calculează 2(1+i)−i(2−i)=2+2i−2i+i22(1 + i) - i(2 - i) = 2 + 2i - 2i + i^2.
2
2 puncte
=2+i2=2−1=1= 2 + i^2 = 2 - 1 = 1.
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=3x+10f(x) = 3x + 10. Determinați numărul real aa pentru care punctul A(2a,a)A(2a, a) aparține graficului funcției ff.

Rezolvare

1
3 puncte
f(2a)=a⇔6a+10=af(2a) = a \Leftrightarrow 6a + 10 = a.
2
2 puncte
5a=−105a = -10, de unde obținem a=−2a = -2.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2x2+2=2x\sqrt{2x^2 + 2} = 2x.

Rezolvare

1
2 puncte
Se ridică la pătrat: 2x2+2=4x22x^2 + 2 = 4x^2, de unde obținem x2−1=0x^2 - 1 = 0.
2
3 puncte
x=−1x = -1, care nu convine (deoarece 2x≥02x \geq 0); x=1x = 1, care convine.
Exercițiul 4
Determinați câte numere naturale impare, de trei cifre, se pot forma cu elementele mulțimii A={0,1,2,3,4}A = \{0, 1, 2, 3, 4\}.

Rezolvare

1
2 puncte
Cifra unităților se poate alege în două moduri (1 sau 3).
2
3 puncte
Pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor se poate alege în 5 moduri și, pentru fiecare alegere a cifrei unităților și a cifrei zecilor, cifra sutelor se poate alege în 4 moduri, deci se pot forma 2⋅5⋅4=402 \cdot 5 \cdot 4 = 40 de numere.
Exercițiul 5
Determinați numărul real aa pentru care vectorii u⃗=ai⃗+(a−1)j⃗\vec{u} = a\vec{i} + (a - 1)\vec{j} și v⃗=i⃗+2j⃗\vec{v} = \vec{i} + 2\vec{j} sunt coliniari.

Rezolvare

1
3 puncte
Condiția de coliniaritate: a1=a−12\frac{a}{1} = \frac{a - 1}{2}.
2
2 puncte
2a=a−12a = a - 1, de unde obținem a=−1a = -1.
Exercițiul 6
Se consideră triunghiul ABCABC, dreptunghic în AA, cu măsura unghiului BB egală cu π6\frac{\pi}{6} și BC=24BC = 24. Bisectoarea unghiului CC al triunghiului ABCABC intersectează latura ABAB în punctul DD. Determinați lungimea segmentului CDCD.

Rezolvare

1
3 puncte
AC=BC⋅sin⁡B=24⋅sin⁡π6=24⋅12=12AC = BC \cdot \sin B = 24 \cdot \sin\frac{\pi}{6} = 24 \cdot \frac{1}{2} = 12; ∠ACD=π6\angle ACD = \frac{\pi}{6} (bisectoarea unghiului C=π3C = \frac{\pi}{3}).
2
2 puncte
ACCD=cos⁡π6\frac{AC}{CD} = \cos\frac{\pi}{6}, de unde obținem CD=12cos⁡π6=1232=83CD = \frac{12}{\cos\frac{\pi}{6}} = \frac{12}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 8\sqrt{3}.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele I3=(100010001)I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} și A(x)=(x+1−110x01−1x+1)A(x) = \begin{pmatrix} x + 1 & -1 & 1 \\ 0 & x & 0 \\ 1 & -1 & x + 1 \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡(A(1))=3\det(A(1)) = 3. b) Determinați numărul real xx pentru care A(0)⋅A(x)=A(0)A(0) \cdot A(x) = A(0). c) Determinați numerele reale aa și bb pentru care (A(1))−1=aA(1)+bI3(A(1))^{-1} = aA(1) + bI_3, unde (A(1))−1(A(1))^{-1} este inversa matricei A(1)A(1).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) det⁡(A(1))=∣2−110101−12∣=2⋅1⋅2+0⋅(−1)⋅1+1⋅(−1)⋅0−1⋅1⋅1−(−1)⋅0⋅2−0⋅(−1)⋅2\det(A(1)) = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot 1 \cdot 2 + 0 \cdot (-1) \cdot 1 + 1 \cdot (-1) \cdot 0 - 1 \cdot 1 \cdot 1 - (-1) \cdot 0 \cdot 2 - 0 \cdot (-1) \cdot 2.
2
2 puncte
=4+0+0−1−0−0=3= 4 + 0 + 0 - 1 - 0 - 0 = 3.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) A(0)=(1−110001−11)A(0) = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}, A(0)⋅A(x)=(x+2−x−2x+2000x+2−x−2x+2)A(0) \cdot A(x) = \begin{pmatrix} x + 2 & -x - 2 & x + 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ x + 2 & -x - 2 & x + 2 \end{pmatrix}, pentru orice număr real xx.
4
2 puncte
A(0)⋅A(x)=A(0)⇔x+2=1A(0) \cdot A(x) = A(0) \Leftrightarrow x + 2 = 1, de unde obținem x=−1x = -1.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) (A(1))−1=aA(1)+bI3⇔aA(1)⋅A(1)+bA(1)=I3(A(1))^{-1} = aA(1) + bI_3 \Leftrightarrow aA(1) \cdot A(1) + bA(1) = I_3 și A(1)⋅A(1)=(5−440104−45)A(1) \cdot A(1) = \begin{pmatrix} 5 & -4 & 4 \\ 0 & 1 & 0 \\ 4 & -4 & 5 \end{pmatrix}, de unde obținem (5a+2b−4a−b4a+b0a+b04a+b−4a−b5a+2b)=(100010001)\begin{pmatrix} 5a + 2b & -4a - b & 4a + b \\ 0 & a + b & 0 \\ 4a + b & -4a - b & 5a + 2b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
6
2 puncte
Din a+b=1a + b = 1 și 4a+b=04a + b = 0 obținem a=−13a = -\frac{1}{3} și b=43b = \frac{4}{3}.
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy+x+y−1+2xyx * y = xy + x + y - 1 + 2^{xy}. a) Arătați că 1∗2=81 * 2 = 8. b) Arătați că e=0e = 0 este elementul neutru al legii de compoziție „∗*”. c) Determinați numărul natural nenul nn pentru care n∗(−1n)=0n * \left(-\frac{1}{n}\right) = 0.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) 1∗2=1⋅2+1+2−1+21⋅21 * 2 = 1 \cdot 2 + 1 + 2 - 1 + 2^{1 \cdot 2}.
2
2 puncte
=2+1+2−1+4=4+4=8= 2 + 1 + 2 - 1 + 4 = 4 + 4 = 8.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) x∗0=x⋅0+x+0−1+2x⋅0=xx * 0 = x \cdot 0 + x + 0 - 1 + 2^{x \cdot 0} = x, pentru orice număr real xx.
4
3 puncte
0∗x=0⋅x+0+x−1+20⋅x=x0 * x = 0 \cdot x + 0 + x - 1 + 2^{0 \cdot x} = x, pentru orice număr real xx, deci e=0e = 0 este elementul neutru al legii de compoziție „∗*”.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) n∗(−1n)=2n2−3n−22nn * \left(-\frac{1}{n}\right) = \frac{2n^2 - 3n - 2}{2n}, pentru orice număr natural nenul nn.
6
3 puncte
2n2−3n−22n=0⇒2n2−3n−2=0\frac{2n^2 - 3n - 2}{2n} = 0 \Rightarrow 2n^2 - 3n - 2 = 0 și, cum nn este număr natural nenul, obținem n=2n = 2.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=2x+1+ln⁡xxf(x) = \frac{2x + 1 + \ln x}{x}. a) Arătați că f′(x)=−ln⁡xx2f'(x) = -\frac{\ln x}{x^2}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty). b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞+\infty la graficul funcției ff. c) Demonstrați că ln⁡yy−ln⁡xx<1x−1y\frac{\ln y}{y} - \frac{\ln x}{x} < \frac{1}{x} - \frac{1}{y}, pentru orice x,y∈(1,+∞)x, y \in (1, +\infty) cu x<yx < y.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=(2+1x)⋅x−(2x+1+ln⁡x)x2f'(x) = \frac{\left(2 + \frac{1}{x}\right) \cdot x - (2x + 1 + \ln x)}{x^2}.
2
2 puncte
=2x+1−2x−1−ln⁡xx2=−ln⁡xx2= \frac{2x + 1 - 2x - 1 - \ln x}{x^2} = -\frac{\ln x}{x^2}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty).
b)5 puncte
3
3 puncte
b) lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞2x+1+ln⁡xx=lim⁡x→+∞(2+1x+ln⁡xx)=2\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x + 1 + \ln x}{x} = \lim_{x \to +\infty} \left(2 + \frac{1}{x} + \frac{\ln x}{x}\right) = 2.
4
2 puncte
Ecuația asimptotei orizontale spre +∞+\infty la graficul funcției ff este y=2y = 2.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) f′(x)<0f'(x) < 0, pentru orice x∈(1,+∞)x \in (1, +\infty), deci ff este strict descrescătoare pe (1,+∞)(1, +\infty).
6
3 puncte
1<x<y⇒f(x)>f(y)1 < x < y \Rightarrow f(x) > f(y), deci 2x+1+ln⁡xx>2y+1+ln⁡yy\frac{2x + 1 + \ln x}{x} > \frac{2y + 1 + \ln y}{y}, de unde ln⁡yy−ln⁡xx<1x−1y\frac{\ln y}{y} - \frac{\ln x}{x} < \frac{1}{x} - \frac{1}{y}, pentru orice x,y∈(1,+∞)x, y \in (1, +\infty) cu x<yx < y.
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3+xf(x) = x^3 + x. a) Arătați că ∫35(f(x)−x3)dx=8\displaystyle\int_3^5 \left(f(x) - x^3\right) dx = 8. b) Arătați că ∫02x2f(x)−x+2 dx=ln⁡53\displaystyle\int_0^2 \frac{x^2}{f(x) - x + 2} \, dx = \frac{\ln 5}{3}. c) Se consideră funcția g:(0,+∞)→Rg : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, g(x)=f(x)⋅e−xxg(x) = \frac{f(x) \cdot e^{-x}}{x}. Arătați că orice primitivă G:(0,+∞)→RG : (0, +\infty) \to \mathbb{R} a funcției gg este concavă.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫35(f(x)−x3)dx=∫35x dx=x22∣35\displaystyle\int_3^5 \left(f(x) - x^3\right) dx = \int_3^5 x \, dx = \left. \frac{x^2}{2} \right|_3^5.
2
2 puncte
=252−92=8= \frac{25}{2} - \frac{9}{2} = 8.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) ∫02x2f(x)−x+2 dx=∫02x2x3+2 dx=13∫02(x3+2)′x3+2 dx=13ln⁡(x3+2)∣02\displaystyle\int_0^2 \frac{x^2}{f(x) - x + 2} \, dx = \int_0^2 \frac{x^2}{x^3 + 2} \, dx = \frac{1}{3} \int_0^2 \frac{(x^3 + 2)'}{x^3 + 2} \, dx = \frac{1}{3} \left. \ln(x^3 + 2) \right|_0^2.
4
2 puncte
=13(ln⁡10−ln⁡2)=ln⁡53= \frac{1}{3}(\ln 10 - \ln 2) = \frac{\ln 5}{3}.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) g(x)=(x2+1)e−xg(x) = (x^2 + 1)e^{-x} și G′(x)=g(x)G'(x) = g(x), pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty), deci G′′(x)=g′(x)=(−x2+2x−1)e−xG''(x) = g'(x) = (-x^2 + 2x - 1)e^{-x}.
6
2 puncte
G′′(x)=−(x−1)2e−x≤0G''(x) = -(x - 1)^2 e^{-x} \leq 0, pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty), deci funcția GG este concavă.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Model 2023 — Științele Naturii

Următor →

Model 2023 — Tehnologic

← Înapoi la arhiva completă Bac