BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Simulare 2024 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră numerele complexe z1=3−iz_1 = 3 - i și z2=1+iz_2 = 1 + i. Arătați că z1+iz2=2z_1 + iz_2 = 2.

Rezolvare

1
3 puncte
Se calculează iz2=i(1+i)=i+i2=i−1iz_2 = i(1 + i) = i + i^2 = i - 1, deci z1+iz2=3−i+i−1z_1 + iz_2 = 3 - i + i - 1.
2
2 puncte
Se obține z1+iz2=3+(−1)=2z_1 + iz_2 = 3 + (-1) = 2.
Exercițiul 2
Se consideră funcțiile f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=5−xf(x) = 5 - x și g:R→Rg : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x)=x+2g(x) = x + 2. Determinați numărul real aa pentru care f(a)=g(a+1)f(a) = g(a + 1).

Rezolvare

1
2 puncte
Se calculează f(a)=5−af(a) = 5 - a și g(a+1)=a+1+2=a+3g(a + 1) = a + 1 + 2 = a + 3.
2
3 puncte
Din f(a)=g(a+1)f(a) = g(a + 1) se obține 5−a=a+35 - a = a + 3, de unde 2a=22a = 2, deci a=1a = 1.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡3(4x−x2)=1\log_3(4x - x^2) = 1.

Rezolvare

1
3 puncte
Ecuația devine 4x−x2=34x - x^2 = 3, de unde obținem x2−4x+3=0x^2 - 4x + 3 = 0.
2
2 puncte
Se obțin soluțiile x=1x = 1 sau x=3x = 3, care convin (verificăm: 4⋅1−1=3>04 \cdot 1 - 1 = 3 > 0 și 4⋅3−9=3>04 \cdot 3 - 9 = 3 > 0).
Exercițiul 4
Determinați câte numere naturale impare, de două cifre, cu cifra zecilor număr par, se pot forma cu elementele mulțimii A={1,2,3,4,5,6,7}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}.

Rezolvare

1
2 puncte
Cifra unităților (impară) se poate alege în 44 moduri (din {1,3,5,7}\{1, 3, 5, 7\}).
2
3 puncte
Pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor (pară) se poate alege în câte 33 moduri (din {2,4,6}\{2, 4, 6\}), deci se pot forma 4⋅3=124 \cdot 3 = 12 numere.
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(0,3)A(0, 3), B(2,0)B(2, 0) și CC. Știind că punctul BB este mijlocul segmentului OCOC, determinați distanța dintre punctele AA și CC.

Rezolvare

1
2 puncte
Din faptul că BB este mijlocul lui OCOC, obținem C(4,0)C(4, 0).
2
3 puncte
AC=(4−0)2+(0−3)2=16+9=5AC = \sqrt{(4 - 0)^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5.
Exercițiul 6
Se consideră triunghiul ABCABC, dreptunghic în AA, cu B=π6B = \frac{\pi}{6} și mediana AM=4AM = 4. Arătați că aria triunghiului ABCABC este egală cu 838\sqrt{3}.

Rezolvare

1
2 puncte
În triunghiul dreptunghic, mediana la ipotenuză este jumătate din ipotenuză, deci BC=2⋅AM=8BC = 2 \cdot AM = 8, de unde AC=BC⋅sin⁡B=8⋅sin⁡π6=4AC = BC \cdot \sin B = 8 \cdot \sin\frac{\pi}{6} = 4.
2
3 puncte
AB=BC⋅cos⁡B=8⋅cos⁡π6=43AB = BC \cdot \cos B = 8 \cdot \cos\frac{\pi}{6} = 4\sqrt{3}, deci A△ABC=AC⋅AB2=4⋅432=83\mathcal{A}_{\triangle ABC} = \frac{AC \cdot AB}{2} = \frac{4 \cdot 4\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} și A(x)=(x3x−31−x3x−2)A(x) = \begin{pmatrix} x & 3x - 3 \\ 1 - x & 3x - 2 \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡(A(0))=3\det(A(0)) = 3. b) Determinați numărul real mm pentru care A(2)⋅A(0)+A(5)=mI2A(2) \cdot A(0) + A(5) = mI_2. c) Determinați numerele reale xx pentru care det⁡(A(x)−A(0)⋅A(1−x))=3\det(A(x) - A(0) \cdot A(1 - x)) = 3.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) A(0)=(0−31−2)A(0) = \begin{pmatrix} 0 & -3 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}, deci det⁡(A(0))=0⋅(−2)−(−3)⋅1\det(A(0)) = 0 \cdot (-2) - (-3) \cdot 1.
2
2 puncte
=0+3=3= 0 + 3 = 3.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) A(2)=(23−14)A(2) = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}, A(5)=(512−413)A(5) = \begin{pmatrix} 5 & 12 \\ -4 & 13 \end{pmatrix}. Se calculează A(2)⋅A(0)+A(5)=(3−124−5)+(512−413)=(8008)=8I2A(2) \cdot A(0) + A(5) = \begin{pmatrix} 3 & -12 \\ 4 & -5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 12 \\ -4 & 13 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 0 \\ 0 & 8 \end{pmatrix} = 8I_2.
4
2 puncte
8I2=mI28I_2 = mI_2, de unde obținem m=8m = 8.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) A(1−x)=(1−x−3xx1−3x)A(1 - x) = \begin{pmatrix} 1 - x & -3x \\ x & 1 - 3x \end{pmatrix}. Se calculează A(x)−A(0)⋅A(1−x)=(4x−6x2x0)A(x) - A(0) \cdot A(1 - x) = \begin{pmatrix} 4x & -6x \\ 2x & 0 \end{pmatrix}, de unde det⁡(A(x)−A(0)⋅A(1−x))=12x2\det(A(x) - A(0) \cdot A(1 - x)) = 12x^2, pentru orice număr real xx.
6
2 puncte
Din 12x2=312x^2 = 3 obținem x2=14x^2 = \frac{1}{4}, deci x=−12x = -\frac{1}{2} sau x=12x = \frac{1}{2}.
Exercițiul 2
Pe mulțimea M=(0,+∞)M = (0, +\infty) se definește legea de compoziție x∘y=x+y+1−xy+1x \circ y = x + y + 1 - \sqrt{xy + 1}. a) Arătați că 1∘8=71 \circ 8 = 7. b) Determinați x∈Mx \in M pentru care x∘3x=xx \circ \frac{3}{x} = x. c) Determinați numerele naturale nenule nn pentru care (n∘(n+2))∘(n+4)>n22(n \circ (n + 2)) \circ (n + 4) > \frac{n^2}{2}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) 1∘8=1+8+1−1⋅8+1=10−91 \circ 8 = 1 + 8 + 1 - \sqrt{1 \cdot 8 + 1} = 10 - \sqrt{9}.
2
2 puncte
=10−3=7= 10 - 3 = 7.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) x∘3x=x+3x+1−x⋅3x+1=x+3x+1−4=x+3x−1x \circ \frac{3}{x} = x + \frac{3}{x} + 1 - \sqrt{x \cdot \frac{3}{x} + 1} = x + \frac{3}{x} + 1 - \sqrt{4} = x + \frac{3}{x} - 1, pentru orice x∈Mx \in M.
4
2 puncte
Din x+3x−1=xx + \frac{3}{x} - 1 = x obținem 3x=1\frac{3}{x} = 1, deci x=3x = 3, care convine.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) n∘(n+2)=n+(n+2)+1−n(n+2)+1=2n+3−n2+2n+1=2n+3−(n+1)=n+2n \circ (n + 2) = n + (n + 2) + 1 - \sqrt{n(n + 2) + 1} = 2n + 3 - \sqrt{n^2 + 2n + 1} = 2n + 3 - (n + 1) = n + 2, pentru orice număr natural nenul nn. Apoi (n∘(n+2))∘(n+4)=(n+2)∘(n+4)=n+2+n+4+1−(n+2)(n+4)+1=2n+7−n2+6n+9=2n+7−(n+3)=n+4(n \circ (n + 2)) \circ (n + 4) = (n + 2) \circ (n + 4) = n + 2 + n + 4 + 1 - \sqrt{(n+2)(n+4) + 1} = 2n + 7 - \sqrt{n^2 + 6n + 9} = 2n + 7 - (n + 3) = n + 4.
6
2 puncte
Din n+4>n22n + 4 > \frac{n^2}{2} obținem n2−2n−8<0n^2 - 2n - 8 < 0, adică (n−4)(n+2)<0(n - 4)(n + 2) < 0. Cum nn este număr natural nenul, n+2>0n + 2 > 0, deci n−4<0n - 4 < 0, adică n<4n < 4. Rezultă n∈{1,2,3}n \in \{1, 2, 3\}.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=(x3+2x2)exf(x) = (x^3 + 2x^2)e^x. a) Arătați că f′(x)=x(x2+5x+4)exf'(x) = x(x^2 + 5x + 4)e^x, x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x=0x = 0, situat pe graficul funcției ff. c) Arătați că −32ex+4≤x2(x+2)≤1ex+1-\frac{32}{e^{x+4}} \leq x^2(x + 2) \leq \frac{1}{e^{x+1}}, pentru orice x∈[−4,0]x \in [-4, 0].

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=(3x2+4x)ex+(x3+2x2)ex=(x3+5x2+4x)exf'(x) = (3x^2 + 4x)e^x + (x^3 + 2x^2)e^x = (x^3 + 5x^2 + 4x)e^x.
2
2 puncte
=x(x2+5x+4)ex= x(x^2 + 5x + 4)e^x, x∈Rx \in \mathbb{R}.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) f(0)=0f(0) = 0 și f′(0)=0f'(0) = 0.
4
3 puncte
Ecuația tangentei este y−f(0)=f′(0)(x−0)y - f(0) = f'(0)(x - 0), adică y=0y = 0.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) f′(x)=x(x+1)(x+4)ex=0⇔x=−4f'(x) = x(x + 1)(x + 4)e^x = 0 \Leftrightarrow x = -4 sau x=−1x = -1 sau x=0x = 0. Pentru x∈[−4,−1]x \in [-4, -1], f′(x)≥0f'(x) \geq 0, deci ff este crescătoare pe [−4,−1][-4, -1], iar pentru x∈[−1,0]x \in [-1, 0], f′(x)≤0f'(x) \leq 0, deci ff este descrescătoare pe [−1,0][-1, 0].
6
3 puncte
f(−4)=−32e4f(-4) = -\frac{32}{e^4}, f(−1)=1ef(-1) = \frac{1}{e} și f(0)=0f(0) = 0, deci −32e4≤f(x)≤1e-\frac{32}{e^4} \leq f(x) \leq \frac{1}{e}. Din f(x)=(x3+2x2)ex=x2(x+2)exf(x) = (x^3 + 2x^2)e^x = x^2(x + 2)e^x obținem −32e4≤x2(x+2)ex≤1e-\frac{32}{e^4} \leq x^2(x + 2)e^x \leq \frac{1}{e}, adică −32ex+4≤x2(x+2)≤1ex+1-\frac{32}{e^{x+4}} \leq x^2(x + 2) \leq \frac{1}{e^{x+1}}, pentru orice x∈[−4,0]x \in [-4, 0].
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→Rf : (-1, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=3x2−2x+1f(x) = 3x^2 - \frac{2}{x + 1}. a) Arătați că ∫12(f(x)+2x+1)dx=7\displaystyle\int_1^2 \left(f(x) + \frac{2}{x + 1}\right) dx = 7. b) Arătați că ∫15(3x2−f(x)) dx=2ln⁡3\displaystyle\int_1^5 (3x^2 - f(x))\, dx = 2\ln 3. c) Se consideră funcția g:(0,+∞)→Rg : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, g(x)=f(x−1)g(x) = f(\sqrt{x} - 1). Arătați că ∫14(a+bg(x))g′(x) dx=4a\displaystyle\int_1^4 (a + bg(x))g'(x)\, dx = 4a, pentru orice numere reale aa și bb.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫12(f(x)+2x+1)dx=∫123x2 dx=x3∣12\displaystyle\int_1^2 \left(f(x) + \frac{2}{x + 1}\right) dx = \int_1^2 3x^2\, dx = \left. x^3 \right|_1^2.
2
2 puncte
=8−1=7= 8 - 1 = 7.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) ∫15(3x2−f(x)) dx=∫152x+1 dx=2∫15(x+1)′x+1 dx=2ln⁡(x+1)∣15\displaystyle\int_1^5 (3x^2 - f(x))\, dx = \int_1^5 \frac{2}{x + 1}\, dx = 2\int_1^5 \frac{(x + 1)'}{x + 1}\, dx = 2\left. \ln(x + 1) \right|_1^5.
4
2 puncte
=2(ln⁡6−ln⁡2)=2ln⁡3= 2(\ln 6 - \ln 2) = 2\ln 3.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) ∫14(a+bg(x))g′(x) dx=∫14ag′(x) dx+∫14bg(x)g′(x) dx=ag(x)∣14+b2g2(x)∣14=a(g(4)−g(1))+b2(g2(4)−g2(1))\displaystyle\int_1^4 (a + bg(x))g'(x)\, dx = \int_1^4 ag'(x)\, dx + \int_1^4 bg(x)g'(x)\, dx = a\left. g(x) \right|_1^4 + \frac{b}{2}\left. g^2(x) \right|_1^4 = a(g(4) - g(1)) + \frac{b}{2}(g^2(4) - g^2(1)), pentru orice numere reale aa și bb.
6
2 puncte
g(1)=f(1−1)=f(0)=−2g(1) = f(\sqrt{1} - 1) = f(0) = -2 și g(4)=f(4−1)=f(1)=3−1=2g(4) = f(\sqrt{4} - 1) = f(1) = 3 - 1 = 2. Deci ∫14(a+bg(x))g′(x) dx=a(2−(−2))+b2(4−4)=4a\displaystyle\int_1^4 (a + bg(x))g'(x)\, dx = a(2 - (-2)) + \frac{b}{2}(4 - 4) = 4a, pentru orice numere reale aa și bb.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Model 2024 — Științele Naturii

Următor →

Model 2024 — Tehnologic

← Înapoi la arhiva completă Bac