BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Simulare 2025 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că 2i(6−i)+3(1−4i)=52i(6 - i) + 3(1 - 4i) = 5, unde i2=−1i^2 = -1.

Rezolvare

1
3 puncte
Se calculează 2i(6−i)+3(1−4i)=12i−2i2+3−12i2i(6 - i) + 3(1 - 4i) = 12i - 2i^2 + 3 - 12i.
2
2 puncte
=−2(−1)+3=2+3=5= -2(-1) + 3 = 2 + 3 = 5.
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x+5f(x) = x + 5. Determinați numărul real aa pentru care (f∘f)(a)=2a(f \circ f)(a) = 2a.

Rezolvare

1
3 puncte
Se calculează f(a)=a+5f(a) = a + 5, deci (f∘f)(a)=f(a+5)=a+10(f \circ f)(a) = f(a + 5) = a + 10, pentru orice număr real aa.
2
2 puncte
Din a+10=2aa + 10 = 2a se obține a=10a = 10.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x2+4x−4=x2\sqrt{x^2 + 4x - 4} = x\sqrt{2}.

Rezolvare

1
3 puncte
Se ridică la pătrat și se obține x2+4x−4=2x2x^2 + 4x - 4 = 2x^2, de unde x2−4x+4=0x^2 - 4x + 4 = 0.
2
2 puncte
Se obține x=2x = 2, care convine.
Exercițiul 4
Determinați probabilitatea ca, alegând un număr nn din mulțimea numerelor naturale de o cifră, numărul 2n2^n să fie divizibil cu 1616.

Rezolvare

1
2 puncte
În mulțimea numerelor naturale de o cifră sunt 1010 elemente, deci sunt 1010 cazuri posibile.
2
3 puncte
2n2^n este divizibil cu 1616 dacă și numai dacă n≥4n \geq 4, deci sunt 66 cazuri favorabile (n∈{4,5,6,7,8,9}n \in \{4, 5, 6, 7, 8, 9\}), de unde obținem p=610=35p = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}.
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(3,1)A(3, 1) și B(2,4)B(2, 4). Arătați că triunghiul OABOAB este dreptunghic în AA.

Rezolvare

1
2 puncte
Se calculează mOA=13m_{OA} = \frac{1}{3}.
2
3 puncte
Se calculează mAB=4−12−3=−3m_{AB} = \frac{4 - 1}{2 - 3} = -3, deci mOA⋅mAB=13⋅(−3)=−1m_{OA} \cdot m_{AB} = \frac{1}{3} \cdot (-3) = -1, de unde obținem că triunghiul OABOAB este dreptunghic în AA.
Exercițiul 6
Se consideră expresia E(x)=sin⁡x+2cos⁡2x+2sin⁡2x2E(x) = \sin x + 2\cos 2x + 2\sin^2 \frac{x}{2}, unde xx este număr real. Arătați că E(π2)=0E\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0.

Rezolvare

1
3 puncte
Se calculează sin⁡π2=1\sin \frac{\pi}{2} = 1, cos⁡π=−1\cos \pi = -1, sin⁡π4=22\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}.
2
2 puncte
E(π2)=1+2⋅(−1)+2⋅(22)2=1−2+2⋅24=1−2+1=0E\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 + 2 \cdot (-1) + 2 \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 1 - 2 + 2 \cdot \frac{2}{4} = 1 - 2 + 1 = 0.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(x)=(x+1−x−2x2x+1)A(x) = \begin{pmatrix} x + 1 & -x \\ -2x & 2x + 1 \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡(A(1))=4\det(A(1)) = 4. b) Arătați că A(−1)⋅A(x)=A(−2x−1)A(-1) \cdot A(x) = A(-2x - 1), pentru orice număr real xx. c) Determinați perechile (m,n)(m, n) de numere naturale, cu m<nm < n, pentru care A(−1)⋅(A(m)+A(n))=2A(−4)A(-1) \cdot (A(m) + A(n)) = 2A(-4).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) A(1)=(2−1−23)A(1) = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}, deci det⁡(A(1))=2⋅3−(−1)⋅(−2)\det(A(1)) = 2 \cdot 3 - (-1) \cdot (-2).
2
2 puncte
=6−2=4= 6 - 2 = 4.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) A(−1)=(012−1)A(-1) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}, A(−1)⋅A(x)=(−2x2x+14x+2−4x−1)A(-1) \cdot A(x) = \begin{pmatrix} -2x & 2x + 1 \\ 4x + 2 & -4x - 1 \end{pmatrix}.
4
2 puncte
=((−2x−1)+1−(−2x−1)−2(−2x−1)2(−2x−1)+1)=A(−2x−1)= \begin{pmatrix} (-2x - 1) + 1 & -(-2x - 1) \\ -2(-2x - 1) & 2(-2x - 1) + 1 \end{pmatrix} = A(-2x - 1), pentru orice număr real xx.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) A(−1)⋅(A(m)+A(n))=A(−2m−1)+A(−2n−1)=2A(−m−n−1)A(-1) \cdot (A(m) + A(n)) = A(-2m - 1) + A(-2n - 1) = 2A(-m - n - 1), pentru orice numere reale mm și nn.
6
2 puncte
2A(−m−n−1)=2A(−4)2A(-m - n - 1) = 2A(-4), de unde obținem m+n=3m + n = 3 și, cum mm și nn sunt numere naturale, cu m<nm < n, perechile sunt (0,3)(0, 3) și (1,2)(1, 2).
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x⋅3y+y⋅3xx \circ y = x \cdot 3^y + y \cdot 3^x. a) Arătați că 1∘2=151 \circ 2 = 15. b) Arătați că e=0e = 0 este elementul neutru al legii de compoziție \u201e∘\circ\u201d. c) Determinați numărul real nenul xx pentru care x∘(3x)=(2x)∘(2x)x \circ (3x) = (2x) \circ (2x).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) 1∘2=1⋅32+2⋅311 \circ 2 = 1 \cdot 3^2 + 2 \cdot 3^1.
2
2 puncte
=1⋅9+2⋅3=9+6=15= 1 \cdot 9 + 2 \cdot 3 = 9 + 6 = 15.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) x∘0=x⋅30+0⋅3x=x⋅1=xx \circ 0 = x \cdot 3^0 + 0 \cdot 3^x = x \cdot 1 = x, pentru orice număr real xx.
4
3 puncte
0∘x=0⋅3x+x⋅30=x⋅1=x0 \circ x = 0 \cdot 3^x + x \cdot 3^0 = x \cdot 1 = x, pentru orice număr real xx, deci e=0e = 0 este elementul neutru al legii de compoziție \u201e∘\circ\u201d.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) x∘(3x)=x⋅3x(32x+3)x \circ (3x) = x \cdot 3^x(3^{2x} + 3), (2x)∘(2x)=4x⋅32x(2x) \circ (2x) = 4x \cdot 3^{2x}, pentru orice număr real xx.
6
3 puncte
x⋅3x(32x+3)=4x⋅32xx \cdot 3^x(3^{2x} + 3) = 4x \cdot 3^{2x}, deci x⋅3x(3x−3)(3x−1)=0x \cdot 3^x(3^x - 3)(3^x - 1) = 0 și, cum xx este număr real nenul, obținem x=1x = 1.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=exx2+3x+3f(x) = \frac{e^x}{x^2 + 3x + 3}. a) Arătați că f′(x)=ex(x2+x)(x2+3x+3)2f'(x) = \frac{e^x(x^2 + x)}{(x^2 + 3x + 3)^2}, x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Arătați că lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty. c) Demonstrați că f(x)−f(y)≤3−e3ef(x) - f(y) \leq \frac{3 - e}{3e}, pentru orice numere reale xx și yy, cu x≤0≤yx \leq 0 \leq y.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=ex(x2+3x+3)−ex(2x+3)(x2+3x+3)2f'(x) = \frac{e^x(x^2 + 3x + 3) - e^x(2x + 3)}{(x^2 + 3x + 3)^2}.
2
2 puncte
=ex(x2+3x+3−2x−3)(x2+3x+3)2=ex(x2+x)(x2+3x+3)2= \frac{e^x(x^2 + 3x + 3 - 2x - 3)}{(x^2 + 3x + 3)^2} = \frac{e^x(x^2 + x)}{(x^2 + 3x + 3)^2}, x∈Rx \in \mathbb{R}.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞exx2+3x+3=lim⁡x→+∞(ex)′(x2+3x+3)′=lim⁡x→+∞ex2x+3\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^2 + 3x + 3} = \lim_{x \to +\infty} \frac{(e^x)'}{(x^2 + 3x + 3)'} = \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{2x + 3}.
4
2 puncte
=lim⁡x→+∞(ex)′(2x+3)′=lim⁡x→+∞ex2=+∞= \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{(e^x)'}{(2x + 3)'} = \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{2} = +\infty.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) f′(x)=0⇔x=−1f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = -1 sau x=0x = 0; pentru x∈(−∞,−1]x \in (-\infty, -1], f′(x)≥0f'(x) \geq 0, deci ff este crescătoare pe (−∞,−1](-\infty, -1]; pentru x∈[−1,0]x \in [-1, 0], f′(x)≤0f'(x) \leq 0, deci ff este descrescătoare pe [−1,0][-1, 0] și, pentru x∈[0,+∞)x \in [0, +\infty), f′(x)≥0f'(x) \geq 0, deci ff este crescătoare pe [0,+∞)[0, +\infty).
6
3 puncte
x∈(−∞,0]x \in (-\infty, 0], deci f(x)≤f(−1)=1ef(x) \leq f(-1) = \frac{1}{e} și y∈[0,+∞)y \in [0, +\infty), deci f(y)≥f(0)=13f(y) \geq f(0) = \frac{1}{3}. Obținem f(x)−f(y)≤1e−13=3−e3ef(x) - f(y) \leq \frac{1}{e} - \frac{1}{3} = \frac{3 - e}{3e}, pentru orice numere reale xx și yy, cu x≤0≤yx \leq 0 \leq y.
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=4x+1+3xln⁡xf(x) = 4x + 1 + 3x \ln x. a) Arătați că ∫12(f(x)−3xln⁡x) dx=7\displaystyle\int_1^2 (f(x) - 3x \ln x) \, dx = 7. b) Arătați că ∫1ef(x)−4x−1x dx=3\displaystyle\int_1^e \frac{f(x) - 4x - 1}{x} \, dx = 3. c) Determinați numărul real aa pentru care ∫24f(x)−1x2ln⁡x dx=aln⁡2\displaystyle\int_2^4 \frac{f(x) - 1}{x^2 \ln x} \, dx = a \ln 2.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫12(f(x)−3xln⁡x) dx=∫12(4x+1) dx=(2x2+x)∣12\displaystyle\int_1^2 (f(x) - 3x \ln x) \, dx = \int_1^2 (4x + 1) \, dx = \left. (2x^2 + x) \right|_1^2.
2
2 puncte
=(8+2)−(2+1)=10−3=7= (8 + 2) - (2 + 1) = 10 - 3 = 7.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) ∫1ef(x)−4x−1x dx=∫1e3ln⁡x dx=∫1e(3x)′ln⁡x dx=3xln⁡x∣1e−3x∣1e\displaystyle\int_1^e \frac{f(x) - 4x - 1}{x} \, dx = \int_1^e 3 \ln x \, dx = \int_1^e (3x)' \ln x \, dx = \left. 3x \ln x \right|_1^e - \left. 3x \right|_1^e.
4
2 puncte
=3e−3e+3=3= 3e - 3e + 3 = 3.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) ∫24f(x)−1x2ln⁡x dx=∫244x+3xln⁡xx2ln⁡x dx=∫244xln⁡x dx+∫243x dx=4ln⁡(ln⁡x)∣24+3ln⁡x∣24\displaystyle\int_2^4 \frac{f(x) - 1}{x^2 \ln x} \, dx = \int_2^4 \frac{4x + 3x \ln x}{x^2 \ln x} \, dx = \int_2^4 \frac{4}{x \ln x} \, dx + \int_2^4 \frac{3}{x} \, dx = \left. 4 \ln(\ln x) \right|_2^4 + \left. 3 \ln x \right|_2^4.
6
2 puncte
=4ln⁡(ln⁡4)−4ln⁡(ln⁡2)+3ln⁡4−3ln⁡2=4ln⁡2ln⁡2ln⁡2+3ln⁡2=4ln⁡2+3ln⁡2=7ln⁡2= 4 \ln(\ln 4) - 4 \ln(\ln 2) + 3 \ln 4 - 3 \ln 2 = 4 \ln \frac{2 \ln 2}{\ln 2} + 3 \ln 2 = 4 \ln 2 + 3 \ln 2 = 7 \ln 2, deci aln⁡2=7ln⁡2a \ln 2 = 7 \ln 2, de unde obținem a=7a = 7.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Model 2025 — Științele Naturii

Următor →

Model 2025 — Tehnologic

← Înapoi la arhiva completă Bac