BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Simulare 2025 — Tehnologic

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Determinați termenul a3a_3 al progresiei aritmetice (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1}, în care a1=3a_1 = 3 și a2=10a_2 = 10.

Rezolvare

1
3 puncte
Se calculează rația r=a2−a1=10−3=7r = a_2 - a_1 = 10 - 3 = 7.
2
2 puncte
Se obține a3=a2+r=10+7=17a_3 = a_2 + r = 10 + 7 = 17.
Exercițiul 2
Se consideră funcțiile f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=3x−4f(x) = 3x - 4 și g:R→Rg : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x)=x+2g(x) = x + 2. Determinați numărul real aa pentru care f(a)=a+g(2)f(a) = a + g(2).

Rezolvare

1
3 puncte
Se calculează g(2)=4g(2) = 4 și f(a)=3a−4f(a) = 3a - 4, pentru orice număr real aa.
2
2 puncte
Din 3a−4=a+43a - 4 = a + 4 se obține a=4a = 4.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡3(10x−1)=2\log_3(10x - 1) = 2.

Rezolvare

1
3 puncte
Din log⁡3(10x−1)=2\log_3(10x - 1) = 2 se obține 10x−1=32=910x - 1 = 3^2 = 9.
2
2 puncte
Se obține x=1x = 1, care convine.
Exercițiul 4
După o ieftinire cu 45%45\%, un produs costă 110110 lei. Determinați prețul produsului înainte de ieftinire.

Rezolvare

1
3 puncte
Se notează cu xx prețul produsului înainte de ieftinire și se obține ecuația x−45100⋅x=110x - \frac{45}{100} \cdot x = 110.
2
2 puncte
Se obține x=200x = 200 de lei.
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(0,4)A(0, 4), B(0,−1)B(0, -1), C(8,3)C(8, 3). Arătați că AB=AMAB = AM, unde punctul MM este mijlocul segmentului BCBC.

Rezolvare

1
2 puncte
Se calculează AB=0+25=5AB = \sqrt{0 + 25} = 5.
2
3 puncte
Se determină M(4,1)M(4, 1) și se calculează AM=42+32=5AM = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5, de unde se obține AB=AMAB = AM.
Exercițiul 6
Se consideră triunghiul ABCABC, dreptunghic în AA, cu AB=6AB = 6 și AC=8AC = 8. Arătați că sin⁡C=35\sin C = \frac{3}{5}.

Rezolvare

1
2 puncte
Se calculează BC=AB2+AC2=36+64=10BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{36 + 64} = 10.
2
3 puncte
Se obține sin⁡C=ABBC=610=35\sin C = \frac{AB}{BC} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} și A(a)=(a3aa2a+3)A(a) = \begin{pmatrix} a & 3a \\ a & 2a + 3 \end{pmatrix}, unde aa este număr real. a) Arătați că det⁡(A(2))=2\det(A(2)) = 2. b) Determinați numărul real xx pentru care A(1)⋅A(1)+2I2=xA(1)A(1) \cdot A(1) + 2I_2 = xA(1). c) Determinați matricea X∈M2(R)X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) pentru care A(2)⋅X⋅A(2)=A(0)A(2) \cdot X \cdot A(2) = A(0).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează A(2)=(2627)A(2) = \begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 2 & 7 \end{pmatrix}, deci det⁡(A(2))=2⋅7−6⋅2\det(A(2)) = 2 \cdot 7 - 6 \cdot 2.
2
2 puncte
Se obține det⁡(A(2))=14−12=2\det(A(2)) = 14 - 12 = 2.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează A(1)=(1315)A(1) = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}, A(1)⋅A(1)+2I2=(418628)+(2002)=(618630)=6(1315)A(1) \cdot A(1) + 2I_2 = \begin{pmatrix} 4 & 18 \\ 6 & 28 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 18 \\ 6 & 30 \end{pmatrix} = 6 \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}.
4
2 puncte
Din xA(1)=6A(1)xA(1) = 6A(1) se obține x=6x = 6.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Cum det⁡(A(2))≠0\det(A(2)) \neq 0, se obține X=(A(2))−1⋅A(0)⋅(A(2))−1X = (A(2))^{-1} \cdot A(0) \cdot (A(2))^{-1}; A(0)=(0003)A(0) = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}.
6
3 puncte
(A(2))−1=12(7−6−22)(A(2))^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 7 & -6 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}, de unde se obține X=(9−9−33)X = \begin{pmatrix} 9 & -9 \\ -3 & 3 \end{pmatrix}.
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−2x−2y+6x * y = xy - 2x - 2y + 6. a) Arătați că 0∗2=20 * 2 = 2. b) Determinați numerele reale xx pentru care x∗(2x)=6x * (2x) = 6. c) Știind că e=3e = 3 este elementul neutru al legii de compoziție ∗*, determinați numărul real xx al cărui simetric în raport cu legea de compoziție ∗* este 44.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează 0∗2=0⋅2−2⋅0−2⋅2+60 * 2 = 0 \cdot 2 - 2 \cdot 0 - 2 \cdot 2 + 6.
2
2 puncte
Se obține 0∗2=0−0−4+6=20 * 2 = 0 - 0 - 4 + 6 = 2.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) Se calculează x∗(2x)=x⋅2x−2x−2⋅2x+6=2x2−6x+6x * (2x) = x \cdot 2x - 2x - 2 \cdot 2x + 6 = 2x^2 - 6x + 6, pentru orice număr real xx.
4
3 puncte
Din 2x2−6x+6=62x^2 - 6x + 6 = 6 se obține 2x2−6x=02x^2 - 6x = 0, de unde x=0x = 0 sau x=3x = 3.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Se notează simetricul lui xx cu x′x'. Din x∗x′=3x * x' = 3 și x′=4x' = 4 se obține x∗4=4∗x=3x * 4 = 4 * x = 3, adică 4x−2x−8+6=34x - 2x - 8 + 6 = 3.
6
2 puncte
Se obține 2x−2=32x - 2 = 3, deci x=52x = \frac{5}{2}.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=2x2−2−ln⁡xf(x) = 2x^2 - 2 - \ln x. a) Arătați că f′(x)=(2x−1)(2x+1)xf'(x) = \frac{(2x - 1)(2x + 1)}{x}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty). b) Arătați că lim⁡x→1f(x)+ln⁡x3x−3=43\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{f(x) + \ln x}{3x - 3} = \frac{4}{3}. c) Arătați că 4x2−12≥ln⁡(2x)\frac{4x^2 - 1}{2} \geq \ln(2x), pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează f′(x)=4x−1xf'(x) = 4x - \frac{1}{x}.
2
2 puncte
Se obține f′(x)=4x2−1x=(2x−1)(2x+1)xf'(x) = \frac{4x^2 - 1}{x} = \frac{(2x - 1)(2x + 1)}{x}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty).
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează lim⁡x→1f(x)+ln⁡x3x−3=lim⁡x→12x2−23x−3=lim⁡x→12(x−1)(x+1)3(x−1)\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{f(x) + \ln x}{3x - 3} = \lim_{x \to 1} \frac{2x^2 - 2}{3x - 3} = \lim_{x \to 1} \frac{2(x - 1)(x + 1)}{3(x - 1)}.
4
2 puncte
Se obține lim⁡x→12(x+1)3=43\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{2(x + 1)}{3} = \frac{4}{3}.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Din f′(x)=0f'(x) = 0 se obține x=12x = \frac{1}{2}; pentru orice x∈(0,12]x \in \left(0, \frac{1}{2}\right], f′(x)≤0f'(x) \leq 0, deci ff este descrescătoare pe (0,12]\left(0, \frac{1}{2}\right] și, pentru orice x∈[12,+∞)x \in \left[\frac{1}{2}, +\infty\right), f′(x)≥0f'(x) \geq 0, deci ff este crescătoare pe [12,+∞)\left[\frac{1}{2}, +\infty\right).
6
3 puncte
f(x)≥f(12)f(x) \geq f\left(\frac{1}{2}\right), pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty) și, cum f(12)=−32−ln⁡12f\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{3}{2} - \ln \frac{1}{2}, se obține 4x2−12≥ln⁡(2x)\frac{4x^2 - 1}{2} \geq \ln(2x), pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty).
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ex+2x+2f(x) = e^x + 2x + 2. a) Arătați că ∫01(f(x)−2x)dx=e+1\displaystyle\int_0^1 \left(f(x) - 2x\right) dx = e + 1. b) Arătați că ∫031f(x)−ex dx=ln⁡2\displaystyle\int_0^3 \frac{1}{f(x) - e^x}\, dx = \ln 2. c) Determinați numărul real aa pentru care ∫01f(x)ex dx=5+ae\displaystyle\int_0^1 \frac{f(x)}{e^x}\, dx = 5 + \frac{a}{e}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează ∫01(f(x)−2x)dx=∫01(ex+2) dx=(ex+2x)∣01\displaystyle\int_0^1 \left(f(x) - 2x\right) dx = \int_0^1 (e^x + 2)\, dx = \left(e^x + 2x\right)\Big|_0^1.
2
2 puncte
Se obține (e+2)−(1+0)=e+1(e + 2) - (1 + 0) = e + 1.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează ∫031f(x)−ex dx=∫0312x+2 dx=12∫031x+1 dx=12ln⁡(x+1)∣03\displaystyle\int_0^3 \frac{1}{f(x) - e^x}\, dx = \int_0^3 \frac{1}{2x + 2}\, dx = \frac{1}{2} \int_0^3 \frac{1}{x + 1}\, dx = \frac{1}{2} \ln(x + 1)\Big|_0^3.
4
2 puncte
Se obține ln⁡42−ln⁡12=ln⁡2\frac{\ln 4}{2} - \frac{\ln 1}{2} = \ln 2.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Se calculează ∫01f(x)ex dx=∫01(1+(2x+2)e−x)dx=x∣01+∫01(2x+2)(−e−x)′ dx\displaystyle\int_0^1 \frac{f(x)}{e^x}\, dx = \int_0^1 \left(1 + (2x + 2)e^{-x}\right) dx = x\Big|_0^1 + \int_0^1 (2x + 2)(-e^{-x})'\, dx. Se integrează prin părți: =1−(2x+4)e−x∣01= 1 - (2x + 4)e^{-x}\Big|_0^1.
6
2 puncte
Se obține 1−6e+4=5−6e1 - \frac{6}{e} + 4 = 5 - \frac{6}{e}, deci 5+ae=5−6e5 + \frac{a}{e} = 5 - \frac{6}{e}, de unde a=−6a = -6.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Model 2025 — Tehnologic

Următor →

Bac Vară 2025 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac