BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Simulare XI 2016 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că log⁡201663+log⁡201632+0,0625=54\log_{2016} 63 + \log_{2016} 32 + \sqrt{0{,}0625} = \frac{5}{4}.

Rezolvare

1
3 puncte
log⁡201663+log⁡201632+0,0625=log⁡20162016+0,25\log_{2016} 63 + \log_{2016} 32 + \sqrt{0{,}0625} = \log_{2016} 2016 + 0{,}25.
2
2 puncte
=1+14=54= 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}.
Exercițiul 2
Determinați numărul real mm, pentru care soluțiile ecuației x2−(3m−4)x+m−3=0x^2 - (3m - 4)x + m - 3 = 0 verifică relația x1+x2=2x1x2x_1 + x_2 = 2x_1 x_2.

Rezolvare

1
2 puncte
x1+x2=3m−4x_1 + x_2 = 3m - 4, x1x2=m−3x_1 x_2 = m - 3.
2
3 puncte
3m−4=2m−6⇔m=−23m - 4 = 2m - 6 \Leftrightarrow m = -2.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2⋅2x+4x−8x=02 \cdot 2^x + 4^x - 8^x = 0.

Rezolvare

1
3 puncte
2x(2+2x−4x)=0⇔2x(2−2x)(1+2x)=02^x(2 + 2^x - 4^x) = 0 \Leftrightarrow 2^x(2 - 2^x)(1 + 2^x) = 0.
2
2 puncte
Deoarece 2x>02^x > 0, soluția ecuației este x=1x = 1.
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un element din mulțimea {0,1,2,…,9}\{0, 1, 2, \ldots, 9\}, acesta să fie soluție a ecuației f(n)=0f(n) = 0, unde f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(n)=n3+3n−4f(n) = n^3 + 3n - 4.

Rezolvare

1
1 punct
Mulțimea {0,1,2,…,9}\{0, 1, 2, \ldots, 9\} are 1010 elemente, deci numărul cazurilor posibile este egal cu 1010.
2
2 puncte
11 este singurul element al mulțimii {0,1,2,…,9}\{0, 1, 2, \ldots, 9\} care verifică relația f(n)=0f(n) = 0, deci numărul cazurilor favorabile este egal cu 11.
3
2 puncte
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=110p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{1}{10}.
Exercițiul 5
Se consideră triunghiul ABCABC cu AB=AC=63AB = AC = 6\sqrt{3} și m(∡A)=120°m(\measuredangle A) = 120°. Calculați lungimea vectorului AC→−AB→\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}.

Rezolvare

1
2 puncte
AC→−AB→=BC→\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC}.
2
3 puncte
BC=18BC = 18.
Exercițiul 6
Arătați că sin⁡(a+b)=1\sin(a + b) = 1, știind că a,b∈(0,π2)a, b \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right), a≠ba \neq b și sin⁡a+cos⁡a=sin⁡b+cos⁡b\sin a + \cos a = \sin b + \cos b.

Rezolvare

1
2 puncte
1+2sin⁡acos⁡a=1+2sin⁡bcos⁡b⇒sin⁡2a=sin⁡2b1 + 2 \sin a \cos a = 1 + 2 \sin b \cos b \Rightarrow \sin 2a = \sin 2b.
2
3 puncte
Cum a,b∈(0,π2)a, b \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right), a≠ba \neq b, obținem 2a=π−2b2a = \pi - 2b, adică a+b=π2a + b = \frac{\pi}{2}, deci sin⁡(a+b)=1\sin(a + b) = 1.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră determinantul Δ(x,y)=∣x3yx22y2111∣\Delta(x, y) = \begin{vmatrix} x & 3 & y \\ x^2 & 2 & y^2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}, unde xx și yy sunt numere reale. a) Calculați Δ(−1,0)\Delta(-1, 0). b) Demonstrați că Δ(x,y)=(x−y)(xy−3x−3y+2)\Delta(x, y) = (x - y)(xy - 3x - 3y + 2), pentru orice numere reale xx și yy. c) Determinați numerele întregi distincte xx și yy, știind că 1y−xΔ(x,y)=8\frac{1}{y - x} \Delta(x, y) = 8.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Δ(−1,0)=∣−130120111∣=−2+0+0−0−3−0\Delta(-1, 0) = \begin{vmatrix} -1 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = -2 + 0 + 0 - 0 - 3 - 0.
2
2 puncte
=−5= -5.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) Δ(x,y)=∣x−y3−yyx2−y22−y2y2001∣=(x−y)∣13−yx+y2−y2∣\Delta(x, y) = \begin{vmatrix} x - y & 3 - y & y \\ x^2 - y^2 & 2 - y^2 & y^2 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (x - y) \begin{vmatrix} 1 & 3 - y \\ x + y & 2 - y^2 \end{vmatrix}.
4
3 puncte
=(x−y)(2−y2−3x+xy−3y+y2)=(x−y)(xy−3x−3y+2)= (x - y)(2 - y^2 - 3x + xy - 3y + y^2) = (x - y)(xy - 3x - 3y + 2), pentru orice numere reale xx și yy.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) xy−3x−3y+2=−8⇔(x−3)(y−3)=−1xy - 3x - 3y + 2 = -8 \Leftrightarrow (x - 3)(y - 3) = -1.
6
2 puncte
Cum xx și yy sunt numere întregi distincte, obținem x=4x = 4, y=2y = 2 sau x=2x = 2, y=4y = 4.
Exercițiul 2
Se consideră matricea A(n)=(12n3n012n001)A(n) = \begin{pmatrix} 1 & 2^n & 3^n \\ 0 & 1 & 2^n \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, unde nn este număr natural. a) Calculați A(1)−A(0)A(1) - A(0). b) Determinați inversa matricei A(1)A(1). c) Demonstrați că, dacă A(n)⋅A(n)=A(p)A(n) \cdot A(n) = A(p), atunci n=0n = 0 și p=1p = 1.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) A(1)−A(0)=(123012001)−(111011001)A(1) - A(0) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
2
3 puncte
=(012001000)= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) det⁡(A(1))=∣123012001∣=1≠0\det(A(1)) = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0.
4
3 puncte
Inversa matricei A(1)A(1) este matricea (1−2101−2001)\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) (12n+12⋅3n+22n012n+1001)=(12p3p012p001)\begin{pmatrix} 1 & 2^{n+1} & 2 \cdot 3^n + 2^{2n} \\ 0 & 1 & 2^{n+1} \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2^p & 3^p \\ 0 & 1 & 2^p \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
6
3 puncte
2n+1=2p⇔n+1=p2^{n+1} = 2^p \Leftrightarrow n + 1 = p și 2⋅3n+22n=3n+1⇔22n=3n2 \cdot 3^n + 2^{2n} = 3^{n+1} \Leftrightarrow 2^{2n} = 3^n, deci n=0n = 0 și p=1p = 1.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡2x+1xf(x) = \ln\frac{2x + 1}{x} și șirul de numere reale (xn)n≥1(x_n)_{n \geq 1}, xn=f(n)x_n = f(n). a) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞+\infty la graficul funcției ff. b) Demonstrați că șirul (xn)n≥1(x_n)_{n \geq 1} este descrescător. c) Demonstrați că ln⁡2<xn≤ln⁡3\ln 2 < x_n \leq \ln 3, pentru orice număr natural nn, n≥1n \geq 1.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞ln⁡2x+1x=lim⁡x→+∞ln⁡(2+1x)=ln⁡2\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \ln\frac{2x + 1}{x} = \lim_{x \to +\infty} \ln\left(2 + \frac{1}{x}\right) = \ln 2.
2
2 puncte
Dreapta de ecuație y=ln⁡2y = \ln 2 este asimptotă orizontală spre +∞+\infty la graficul funcției ff.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) xn+1−xn=ln⁡2n+3n+1−ln⁡2n+1n=ln⁡2n2+3n2n2+3n+1<ln⁡1x_{n+1} - x_n = \ln\frac{2n + 3}{n + 1} - \ln\frac{2n + 1}{n} = \ln\frac{2n^2 + 3n}{2n^2 + 3n + 1} < \ln 1, pentru orice număr natural nn, n≥1n \geq 1.
4
2 puncte
xn+1−xn<0x_{n+1} - x_n < 0, pentru orice număr natural nn, n≥1n \geq 1, deci șirul (xn)n≥1(x_n)_{n \geq 1} este descrescător.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) xn≤x1=ln⁡3x_n \leq x_1 = \ln 3, pentru orice număr natural nn, n≥1n \geq 1.
6
3 puncte
xn=ln⁡2n+1n=ln⁡(2+1n)>ln⁡2x_n = \ln\frac{2n + 1}{n} = \ln\left(2 + \frac{1}{n}\right) > \ln 2, pentru orice număr natural nn, n≥1n \geq 1.
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)={x2−8x+7x2−4x+3,x<1x2+4x−4+a,x≥1f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - 8x + 7}{x^2 - 4x + 3}, & x < 1 \\[6pt] \sqrt{x^2 + 4x - 4 + a}, & x \geq 1 \end{cases}, unde aa este număr real. a) Calculați lim⁡x→−∞f(x)\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x). b) Determinați numărul real aa, pentru care funcția ff este continuă în punctul x=1x = 1. c) Pentru a=2a = 2, calculați lim⁡x→1x>1ln⁡(f(x)−2)x−1\displaystyle\lim_{\substack{x \to 1 \\ x > 1}} \frac{\ln(f(x) - 2)}{x - 1}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) lim⁡x→−∞f(x)=lim⁡x→−∞x2−8x+7x2−4x+3\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 - 8x + 7}{x^2 - 4x + 3}.
2
3 puncte
=lim⁡x→−∞1−8x+7x21−4x+3x2=1= \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \frac{1 - \frac{8}{x} + \frac{7}{x^2}}{1 - \frac{4}{x} + \frac{3}{x^2}} = 1.
b)5 puncte
3
1 punct
b) ff este continuă în x=1⇔lim⁡x→1x<1f(x)=lim⁡x→1x>1f(x)=f(1)x = 1 \Leftrightarrow \displaystyle\lim_{\substack{x \to 1 \\ x < 1}} f(x) = \lim_{\substack{x \to 1 \\ x > 1}} f(x) = f(1).
4
3 puncte
lim⁡x→1x<1f(x)=lim⁡x→1x<1x−7x−3=3\displaystyle\lim_{\substack{x \to 1 \\ x < 1}} f(x) = \lim_{\substack{x \to 1 \\ x < 1}} \frac{x - 7}{x - 3} = 3, lim⁡x→1x>1f(x)=lim⁡x→1x>1x2+4x−4+a=1+a\displaystyle\lim_{\substack{x \to 1 \\ x > 1}} f(x) = \lim_{\substack{x \to 1 \\ x > 1}} \sqrt{x^2 + 4x - 4 + a} = 1 + a, f(1)=1+af(1) = 1 + a.
5
1 punct
3=1+a⇔a=23 = 1 + a \Leftrightarrow a = 2.
c)5 puncte
6
3 puncte
c) lim⁡x→1x>1ln⁡x2+4x−4−ln⁡2x−1=lim⁡x→1x>1ln⁡(x2+4x−4)12(x−1)=lim⁡x→1x>1ln⁡(1+x2+4x−5)(x−1)(x+5)2(x−1)(x2+4x−5)\displaystyle\lim_{\substack{x \to 1 \\ x > 1}} \frac{\ln\sqrt{x^2 + 4x - 4} - \ln 2}{x - 1} = \lim_{\substack{x \to 1 \\ x > 1}} \ln(x^2 + 4x - 4)^{\frac{1}{2(x-1)}} = \lim_{\substack{x \to 1 \\ x > 1}} \ln\left(1 + x^2 + 4x - 5\right)^{\frac{(x-1)(x+5)}{2(x-1)(x^2+4x-5)}}.
7
2 puncte
=ln⁡e3=3= \ln e^3 = 3.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Model 2016 — Matematică-Informatică

Următor →

Model 2016 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac