BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Simulare XI 2018 — Tehnologic

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că numărul n=13−1−13+1n = \frac{1}{\sqrt{3} - 1} - \frac{1}{\sqrt{3} + 1} este natural.

Rezolvare

1
3 puncte
n=3+12−3−12n = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} - \frac{\sqrt{3} - 1}{2}
2
2 puncte
=22=1∈N= \frac{2}{2} = 1 \in \mathbb{N}
Exercițiul 2
Determinați numărul real mm pentru care punctul A(1,2)A(1, 2) aparține graficului funcției f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−2x+3mf(x) = x^2 - 2x + 3m.

Rezolvare

1
3 puncte
f(1)=2⇔−1+3m=2f(1) = 2 \Leftrightarrow -1 + 3m = 2
2
2 puncte
m=1m = 1
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡2x+log⁡x2=2\log_2 x + \log_x 2 = 2.

Rezolvare

1
3 puncte
log⁡2x+1log⁡2x=2⇒(log⁡2x−1)2=0\log_2 x + \frac{1}{\log_2 x} = 2 \Rightarrow (\log_2 x - 1)^2 = 0
2
2 puncte
log⁡2x=1⇒x=2\log_2 x = 1 \Rightarrow x = 2, care verifică ecuația
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr nn din mulțimea M={1,2,3,4}M = \{1, 2, 3, 4\}, acesta să verifice inegalitatea (n+2)!n!≤20\frac{(n + 2)!}{n!} \leq 20.

Rezolvare

1
1 punct
Mulțimea MM are 44 elemente, deci sunt 44 cazuri posibile
2
2 puncte
În mulțimea MM sunt 33 numere care verifică inegalitatea dată, deci sunt 33 cazuri favorabile
3
2 puncte
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=34p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{3}{4}
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(1,a)A(1, a), B(b,7)B(b, 7) și C(2,5)C(2, 5), unde aa și bb sunt numere reale. Știind că punctul CC este mijlocul segmentului ABAB, determinați numerele reale aa și bb.

Rezolvare

1
3 puncte
Mijlocul segmentului ABAB este punctul C(2,5)C(2, 5), deci 1+b2=2\frac{1 + b}{2} = 2 și a+72=5\frac{a + 7}{2} = 5
2
2 puncte
a=3a = 3 și b=3b = 3
Exercițiul 6
Calculați lungimea laturii ACAC a △ABC\triangle ABC, știind că AB=6AB = 6, m(∢B)=45°m(\sphericalangle B) = 45° și m(∢C)=30°m(\sphericalangle C) = 30°.

Rezolvare

1
3 puncte
ABsin⁡C=ACsin⁡B⇒AC=6⋅2212\frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} \Rightarrow AC = \frac{6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}
2
2 puncte
=62= 6\sqrt{2}

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră determinantul D(x)=∣xxx3−1x2x−1∣D(x) = \begin{vmatrix} x & x & x \\ 3 & -1 & x \\ 2 & x & -1 \end{vmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că D(−2)=16D(-2) = 16. b) Demonstrați că D(x)=x(x+1)(6−x)D(x) = x(x + 1)(6 - x), pentru orice număr real xx. c) Determinați numerele naturale aa pentru care D(a)=0D(\sqrt{a}) = 0.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
D(−2)=∣−2−2−23−1−22−2−1∣D(-2) = \begin{vmatrix} -2 & -2 & -2 \\ 3 & -1 & -2 \\ 2 & -2 & -1 \end{vmatrix}
2
3 puncte
=−2+12+8−4+8−6=16= -2 + 12 + 8 - 4 + 8 - 6 = 16
b)5 puncte
3
3 puncte
D(x)=∣xxx3−1x2x−1∣=x+3x2+2x2+2x−x3+3x=−x3+5x2+6xD(x) = \begin{vmatrix} x & x & x \\ 3 & -1 & x \\ 2 & x & -1 \end{vmatrix} = x + 3x^2 + 2x^2 + 2x - x^3 + 3x = -x^3 + 5x^2 + 6x
4
2 puncte
=x(−x2+5x+6)=x(x+1)(6−x)= x(-x^2 + 5x + 6) = x(x + 1)(6 - x), pentru orice număr real xx
c)5 puncte
5
2 puncte
a(a+1)(6−a)=0\sqrt{a}(\sqrt{a} + 1)(6 - \sqrt{a}) = 0
6
3 puncte
a=0a = 0 sau a=36a = 36
Exercițiul 2
Se consideră matricea M(m)=(12−m01)M(m) = \begin{pmatrix} 1 & 2 - m \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, unde mm este număr real. a) Arătați că M(1)+M(3)=2M(2)M(1) + M(3) = 2M(2). b) Demonstrați că M(m)⋅M(n)=M(m+n−2)M(m) \cdot M(n) = M(m + n - 2), pentru orice numere reale mm și nn. c) Determinați numărul real xx, știind că M(x)⋅M(x)=M(x2−1)M(x) \cdot M(x) = M(x^2 - 1).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
M(1)+M(3)=(1101)+(1−101)=(2002)M(1) + M(3) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}
2
2 puncte
=2(1001)=2M(2)= 2\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 2M(2)
b)5 puncte
3
3 puncte
M(m)⋅M(n)=(12−m01)(12−n01)=(12−n+2−m01)M(m) \cdot M(n) = \begin{pmatrix} 1 & 2 - m \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 - n \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 - n + 2 - m \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
4
2 puncte
=(12−(m+n−2)01)=M(m+n−2)= \begin{pmatrix} 1 & 2 - (m + n - 2) \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = M(m + n - 2), pentru orice numere reale mm și nn
c)5 puncte
5
3 puncte
M(x)⋅M(x)=M(2x−2)M(x) \cdot M(x) = M(2x - 2) și M(2x−2)=M(x2−1)M(2x - 2) = M(x^2 - 1)
6
2 puncte
2x−2=x2−12x - 2 = x^2 - 1, de unde obținem x=1x = 1

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(2,+∞)→Rf : (2, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x2−4x+3x−2f(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{x - 2}. a) Arătați că lim⁡x→3f(x)x−3=2\displaystyle\lim_{x \to 3} \frac{f(x)}{x - 3} = 2. b) Calculați lim⁡x→+∞f(2x)f(x)\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{f(2x)}{f(x)}. c) Determinați ecuația asimptotei oblice spre +∞+\infty la graficul funcției ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
lim⁡x→3f(x)x−3=lim⁡x→3x2−4x+3(x−2)(x−3)=lim⁡x→3(x−3)(x−1)(x−2)(x−3)\displaystyle\lim_{x \to 3} \frac{f(x)}{x - 3} = \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 4x + 3}{(x - 2)(x - 3)} = \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x - 1)}{(x - 2)(x - 3)}
2
2 puncte
=lim⁡x→3x−1x−2=2= \displaystyle\lim_{x \to 3} \frac{x - 1}{x - 2} = 2
b)5 puncte
3
3 puncte
lim⁡x→+∞f(2x)f(x)=lim⁡x→+∞(4x2−8x+32x−2⋅x−2x2−4x+3)=lim⁡x→+∞x3(4−8x+3x2)(1−2x)x3(2−2x)(1−4x+3x2)\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{f(2x)}{f(x)} = \lim_{x \to +\infty} \left(\frac{4x^2 - 8x + 3}{2x - 2} \cdot \frac{x - 2}{x^2 - 4x + 3}\right) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^3\left(4 - \frac{8}{x} + \frac{3}{x^2}\right)\left(1 - \frac{2}{x}\right)}{x^3\left(2 - \frac{2}{x}\right)\left(1 - \frac{4}{x} + \frac{3}{x^2}\right)}
4
2 puncte
=42=2= \frac{4}{2} = 2
c)5 puncte
5
2 puncte
lim⁡x→+∞f(x)x=lim⁡x→+∞x2−4x+3x(x−2)=1\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - 4x + 3}{x(x - 2)} = 1
6
3 puncte
lim⁡x→+∞(f(x)−x)=lim⁡x→+∞−2x+3x−2=−2\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (f(x) - x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{-2x + 3}{x - 2} = -2, deci dreapta de ecuație y=x−2y = x - 2 este asimptotă oblică spre +∞+\infty la graficul funcției ff
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)={2x2−3x+4,x∈(−∞,1)3x,x∈[1,+∞)f(x) = \begin{cases} 2x^2 - 3x + 4, & x \in (-\infty, 1) \\ 3x, & x \in [1, +\infty) \end{cases}. a) Demonstrați că funcția ff este continuă în punctul x=1x = 1. b) Calculați lim⁡x→3f(x)−3x−3\displaystyle\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{f(x) - 3}}{x - 3}. c) Se consideră funcția g:R→Rg : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x)=1+x3−x4g(x) = 1 + x^3 - x^4. Demonstrați că ecuația (f+g)(x)=0(f + g)(x) = 0 are cel puțin o soluție în intervalul (0,2)(0, 2).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
lim⁡x→1x<1f(x)=lim⁡x→1x<1(2x2−3x+4)=3\displaystyle\lim_{\substack{x \to 1 \\ x < 1}} f(x) = \lim_{\substack{x \to 1 \\ x < 1}} (2x^2 - 3x + 4) = 3, lim⁡x→1x>1f(x)=lim⁡x→1x>1(3x)=3\displaystyle\lim_{\substack{x \to 1 \\ x > 1}} f(x) = \lim_{\substack{x \to 1 \\ x > 1}} (3x) = 3
2
3 puncte
Cum f(1)=3f(1) = 3, obținem lim⁡x→1f(x)=f(1)\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) = f(1), deci funcția ff este continuă în punctul x=1x = 1
b)5 puncte
3
3 puncte
lim⁡x→3f(x)−3x−3=lim⁡x→33x−3x−3=lim⁡x→33x−9(x−3)(3x+3)\displaystyle\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{f(x) - 3}}{x - 3} = \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{3x - 3}}{x - 3} = \lim_{x \to 3} \frac{3x - 9}{(x - 3)(\sqrt{3x + 3})}
4
2 puncte
=lim⁡x→333x+3=12= \displaystyle\lim_{x \to 3} \frac{3}{\sqrt{3x + 3}} = \frac{1}{2} (nota: se calculează de fapt f(x)−3x−3\frac{\sqrt{f(x)-3}}{x-3})
c)5 puncte
5
2 puncte
f+g:R→Rf + g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, (f+g)(x)={−x4+x3+2x2−3x+5,x∈(−∞,1)−x4+x3+3x+1,x∈[1,+∞)(f + g)(x) = \begin{cases} -x^4 + x^3 + 2x^2 - 3x + 5, & x \in (-\infty, 1) \\ -x^4 + x^3 + 3x + 1, & x \in [1, +\infty) \end{cases} este funcție continuă
6
3 puncte
(f+g)(0)=5>0(f + g)(0) = 5 > 0 și (f+g)(2)=−1<0(f + g)(2) = -1 < 0, deci ecuația (f+g)(x)=0(f + g)(x) = 0 are cel puțin o soluție în intervalul (0,2)(0, 2)

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Model 2018 — Tehnologic

Următor →

Bac Vară 2017 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac