BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Simulare XI 2019 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Suma primilor trei termeni ai unei progresii aritmetice (an)n≥1(a_n)_{n\geq 1} este egală cu 333333. Al doilea termen al acestei progresii este egal cu: A. 3030 B. 111111 C. 222222 D. 333333

Rezolvare

1
3 puncte
Se folosește proprietatea că a1+a2+a3=3a2a_1+a_2+a_3=3a_2.
2
2 puncte
3a2=333⇒a2=1113a_2=333 \Rightarrow a_2=111. Răspuns corect: B.
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x−5f(x)=3x-5. Numărul (f∘f)(109)(f\circ f)\left(\dfrac{10}{9}\right) este egal cu: A. −10-10 B. −53-\dfrac{5}{3} C. 00 D. 109\dfrac{10}{9}

Rezolvare

1
3 puncte
f(109)=3⋅109−5=103−5=−53f\left(\dfrac{10}{9}\right)=3\cdot\dfrac{10}{9}-5=\dfrac{10}{3}-5=-\dfrac{5}{3}.
2
2 puncte
(f∘f)(109)=f(−53)=3⋅(−53)−5=−10(f\circ f)\left(\dfrac{10}{9}\right)=f\left(-\dfrac{5}{3}\right)=3\cdot\left(-\dfrac{5}{3}\right)-5=-10. Răspuns corect: A.
Exercițiul 3
Mulțimea soluțiilor ecuației 2log⁡2(x+1)−log⁡2(x+2)=log⁡1332\log_2(x+1)-\log_2(x+2)=\log_{\frac{1}{3}}3 este: A. {−32,0}\left\{-\dfrac{3}{2},0\right\} B. {−32}\left\{-\dfrac{3}{2}\right\} C. {0}\{0\} D. {0,32}\left\{0,\dfrac{3}{2}\right\}

Rezolvare

1
3 puncte
log⁡133=−1\log_{\frac{1}{3}}3=-1, deci ecuația devine log⁡2(x+1)2x+2=−1\log_2\dfrac{(x+1)^2}{x+2}=-1, adică (x+1)2x+2=12\dfrac{(x+1)^2}{x+2}=\dfrac{1}{2}.
2
2 puncte
2(x+1)2=x+2⇒2x2+3x=0⇒x=02(x+1)^2=x+2 \Rightarrow 2x^2+3x=0 \Rightarrow x=0 sau x=−32x=-\dfrac{3}{2}; doar x=0x=0 verifică condițiile de existență. Răspuns corect: C.
Exercițiul 4
Probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cel puțin o cifră pară este egală cu: A. 518\dfrac{5}{18} B. 49\dfrac{4}{9} C. 59\dfrac{5}{9} D. 1318\dfrac{13}{18}

Rezolvare

1
3 puncte
Numere de două cifre cu toate cifrele impare: prima cifră din {1,3,5,7,9}\{1,3,5,7,9\} (5 variante), a doua cifră din {1,3,5,7,9}\{1,3,5,7,9\} (5 variante), deci 2525 numere. Total numere de două cifre: 9090.
2
2 puncte
Probabilitatea ca cel puțin o cifră să fie pară este 1−2590=1−518=13181-\dfrac{25}{90}=1-\dfrac{5}{18}=\dfrac{13}{18}. Răspuns corect: D.
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră triunghiul ale cărui laturi se află pe dreptele de ecuații d1:y=−2xd_1:y=-2x, d2:y=2xd_2:y=2x și d3:x=2d_3:x=2. Perimetrul acestui triunghi este egal cu: A. 4(2+5)4(2+\sqrt{5}) B. 2424 C. 656\sqrt{5} D. 4(3+5)4(3+\sqrt{5})

Rezolvare

1
3 puncte
Vârfurile triunghiului: O(0,0)O(0,0), A(2,4)A(2,4) și B(2,−4)B(2,-4). AB=8AB=8, OA=4+16=25OA=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}, OB=25OB=2\sqrt{5}.
2
2 puncte
Perimetrul =8+45=4(2+5)=8+4\sqrt{5}=4(2+\sqrt{5}). Răspuns corect: A.
Exercițiul 6
Se consideră expresia E(x)=sin⁡x−cos⁡x+sin⁡(x+π2)−cos⁡(x+3π2)E(x)=\sin x-\cos x+\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)-\cos\left(x+\dfrac{3\pi}{2}\right), unde xx este număr real. Pentru orice număr real xx, expresia E(x)E(x) este egală cu: A. 00 B. 2cos⁡x2\cos x C. 2sin⁡x2\sin x D. 11

Rezolvare

1
3 puncte
sin⁡(x+π2)=cos⁡x\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)=\cos x și cos⁡(x+3π2)=sin⁡x\cos\left(x+\dfrac{3\pi}{2}\right)=\sin x.
2
2 puncte
E(x)=sin⁡x−cos⁡x+cos⁡x−sin⁡x=0E(x)=\sin x-\cos x+\cos x-\sin x=0. Răspuns corect: A.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră determinantul D(a,b)=∣a2b1aab231∣D(a,b)=\begin{vmatrix}a&2b&1\\a&a&b\\2&3&1\end{vmatrix}, unde aa și bb sunt numere reale. a) Calculați D(0,1)D(0,1). b) Arătați că D(a,1)≥0D(a,1)\geq 0, pentru orice număr real aa. c) Demonstrați că, dacă numerele mm și nn sunt întregi impare, atunci D(m,n)≠0D(m,n)\neq 0.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) D(0,1)=∣021001231∣=D(0,1)=\begin{vmatrix}0&2&1\\0&0&1\\2&3&1\end{vmatrix}=
2
3 puncte
=0+0+4−0−0−0=4=0+0+4-0-0-0=4.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) D(a,1)=∣a21aa1231∣=a2−4a+4=D(a,1)=\begin{vmatrix}a&2&1\\a&a&1\\2&3&1\end{vmatrix}=a^2-4a+4=
4
2 puncte
=(a−2)2≥0=(a-2)^2\geq 0, pentru orice număr real aa.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) D(m,n)=m2+m+4n2−5mnD(m,n)=m^2+m+4n^2-5mn, unde mm și nn sunt numere întregi impare.
6
3 puncte
Cum mm și nn sunt întregi impare, m2m^2 este impar, 4n24n^2 este par și 5mn5mn este impar, deci D(m,n)D(m,n) este impar, de unde D(m,n)≠0D(m,n)\neq 0.
Exercițiul 2
Se consideră matricele I3=(100010001)I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} și A(x)=(x1−x101−x1x)A(x)=\begin{pmatrix}x&1&-x\\1&0&1\\-x&1&x\end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că A(−x)+A(x)=2A(0)A(-x)+A(x)=2A(0), pentru orice număr real xx. b) Arătați că det⁡(A(x)⋅A(y)−A(2xy))=0\det\big(A(x)\cdot A(y)-A(2xy)\big)=0, pentru orice numere reale xx și yy. c) Determinați numărul real mm, știind că A(1)⋅A ⁣(12)+A(2)⋅A ⁣(14)+…+A(2019)⋅A ⁣(14038)=mI3A(1)\cdot A\!\left(\dfrac{1}{2}\right)+A(2)\cdot A\!\left(\dfrac{1}{4}\right)+\ldots+A(2019)\cdot A\!\left(\dfrac{1}{4038}\right)=mI_3.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) A(−x)+A(x)=(−x1x101x1−x)+(x1−x101−x1x)=(020202020)=A(-x)+A(x)=\begin{pmatrix}-x&1&x\\1&0&1\\x&1&-x\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}x&1&-x\\1&0&1\\-x&1&x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&2&0\\2&0&2\\0&2&0\end{pmatrix}=
2
2 puncte
=2(010101010)=2A(0)=2\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}=2A(0), pentru orice număr real xx.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) A(x)⋅A(y)=(2xy+10−2xy+1020−2xy+102xy+1)A(x)\cdot A(y)=\begin{pmatrix}2xy+1&0&-2xy+1\\0&2&0\\-2xy+1&0&2xy+1\end{pmatrix}, A(2xy)=(2xy1−2xy101−2xy12xy)A(2xy)=\begin{pmatrix}2xy&1&-2xy\\1&0&1\\-2xy&1&2xy\end{pmatrix}.
4
3 puncte
A(x)⋅A(y)−A(2xy)=(1−11−12−11−11)⇒det⁡(A(x)⋅A(y)−A(2xy))=0A(x)\cdot A(y)-A(2xy)=\begin{pmatrix}1&-1&1\\-1&2&-1\\1&-1&1\end{pmatrix} \Rightarrow \det\big(A(x)\cdot A(y)-A(2xy)\big)=0, pentru orice numere reale xx și yy.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) A(x)⋅A ⁣(12x)=(200020002)=2I3A(x)\cdot A\!\left(\dfrac{1}{2x}\right)=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{pmatrix}=2I_3, pentru orice număr real nenul xx.
6
2 puncte
2I3+2I3+…+2I3⏟de 2019 ori=4038I3\underbrace{2I_3+2I_3+\ldots+2I_3}_{\text{de 2019 ori}}=4038I_3, deci m=4038m=4038.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(−2,+∞)→Rf:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+1x+2f(x)=\dfrac{x+1}{x+2}. a) Calculați lim⁡x→+∞f(x)\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x). b) Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n\geq 1} cu an=f(n)a_n=f(n). Demonstrați că șirul (an)n≥1(a_n)_{n\geq 1} este mărginit. c) Calculați lim⁡n→+∞n(f(n)−1)\displaystyle\lim_{n\to+\infty}n\Big(\sqrt{f(n)}-1\Big).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞x+1x+2=lim⁡x→+∞x(1+1x)x(1+2x)=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{x+1}{x+2}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x\left(1+\frac{1}{x}\right)}{x\left(1+\frac{2}{x}\right)}=
2
2 puncte
=lim⁡x→+∞1+1x1+2x=1=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{1+\frac{1}{x}}{1+\frac{2}{x}}=1.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) an=n+1n+2a_n=\dfrac{n+1}{n+2}, deci an>0a_n>0, pentru orice număr natural nn, n≥1n\geq 1.
4
3 puncte
Cum an=1−1n+2<1a_n=1-\dfrac{1}{n+2}<1, pentru orice n≥1n\geq 1, șirul (an)n≥1(a_n)_{n\geq 1} este mărginit.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) lim⁡n→+∞n(f(n)−1)=lim⁡n→+∞n(f(n)−1)f(n)+1=lim⁡n→+∞n(n+1n+2−1)f(n)+1=\displaystyle\lim_{n\to+\infty}n\Big(\sqrt{f(n)}-1\Big)=\lim_{n\to+\infty}\frac{n\big(f(n)-1\big)}{\sqrt{f(n)}+1}=\lim_{n\to+\infty}\frac{n\left(\frac{n+1}{n+2}-1\right)}{\sqrt{f(n)}+1}=
6
3 puncte
=lim⁡n→+∞−n(n+2)(f(n)+1)=−12=\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{-n}{(n+2)\big(\sqrt{f(n)}+1\big)}=-\frac{1}{2}.
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)={a+sin⁡xx,x∈(−∞,0)x2+2x,x∈[0,+∞)f(x)=\begin{cases}a+\dfrac{\sin x}{x},&x\in(-\infty,0)\\\sqrt{x^2+2x},&x\in[0,+\infty)\end{cases}, unde aa este număr real. a) Determinați numărul real aa pentru care funcția ff este continuă pe R\mathbb{R}. b) Pentru a=1a=1, determinați ecuația asimptotei orizontale spre −∞-\infty la graficul funcției ff. c) Demonstrați că, pentru orice număr real aa, ecuația f(x)=∣a∣f(x)=|a| are cel puțin o soluție.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) Pentru orice număr real aa, funcția ff este continuă pe (−∞,0)(-\infty,0) și pe (0,+∞)(0,+\infty).
2
3 puncte
lim⁡x→0x<0f(x)=lim⁡x→0(a+sin⁡xx)=a+1\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0\\x<0}}f(x)=\lim_{x\to 0}\left(a+\frac{\sin x}{x}\right)=a+1, lim⁡x→0x>0f(x)=lim⁡x→0x2+2x=0\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0\\x>0}}f(x)=\lim_{x\to 0}\sqrt{x^2+2x}=0 și f(0)=0f(0)=0, deci ff este continuă pe R⇔a=−1\mathbb{R} \Leftrightarrow a=-1.
b)5 puncte
3
1 punct
b) a=1⇒f(x)=1+sin⁡xxa=1 \Rightarrow f(x)=1+\dfrac{\sin x}{x}, x∈(−∞,0)x\in(-\infty,0).
4
2 puncte
∣sin⁡xx∣≤1∣x∣\left|\dfrac{\sin x}{x}\right|\leq\dfrac{1}{|x|} și lim⁡x→−∞1∣x∣=0\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{|x|}=0.
5
2 puncte
Obținem lim⁡x→−∞f(x)=1\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=1, deci dreapta de ecuație y=1y=1 este asimptotă orizontală spre −∞-\infty la graficul funcției ff.
c)5 puncte
6
3 puncte
c) f(0)=0f(0)=0, lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty și ff este continuă pe [0,+∞)[0,+\infty), deci mulțimea valorilor funcției ff conține intervalul [0,+∞)[0,+\infty).
7
2 puncte
Cum pentru orice număr real aa, ∣a∣∈[0,+∞)|a|\in[0,+\infty), ecuația f(x)=∣a∣f(x)=|a| are cel puțin o soluție.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Model 2019 — Matematică-Informatică

Următor →

Model 2019 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac