BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Simulare XI 2019 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră progresia aritmetică (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} cu a3=11a_3 = 11 și a4=13a_4 = 13. Primul termen al acestei progresii este egal cu: A. −1-1 B. 33 C. 77 D. 1111

Rezolvare

1
5 puncte
C
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2x2−8x+mf(x) = 2x^2 - 8x + m, unde mm este număr real. Dacă vârful parabolei asociate funcției ff are coordonatele egale, atunci numărul real mm este egal cu: A. 66 B. 88 C. 1010 D. 1212

Rezolvare

1
5 puncte
C
Exercițiul 3
Mulțimea soluțiilor ecuației x+12=x\sqrt{x + 12} = x este: A. {−3,4}\{-3, 4\} B. {4}\{4\} C. {−3}\{-3\} D. {−4,3}\{-4, 3\}

Rezolvare

1
5 puncte
B
Exercițiul 4
Probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A={n∈N∗∣n≤120}A = \{n \in \mathbb{N}^* \mid n \leq 120\}, acesta să fie multiplu de 2525 este egală cu: A. 130\frac{1}{30} B. 4121\frac{4}{121} C. 124\frac{1}{24} D. 2930\frac{29}{30}

Rezolvare

1
5 puncte
A
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele M(3,5)M(3, 5) și N(4,4)N(4, 4). Punctul PP, situat pe axa OxOx, pentru care punctele MM, NN și PP sunt coliniare este: A. P(−8,0)P(-8, 0) B. P(0,8)P(0, 8) C. P(0,0)P(0, 0) D. P(8,0)P(8, 0)

Rezolvare

1
5 puncte
D
Exercițiul 6
Se consideră expresia E(x)=sin⁡x+sin⁡(x+2π3)+sin⁡(x−2π3)E(x) = \sin x + \sin\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) + \sin\left(x - \frac{2\pi}{3}\right), unde xx este număr real. Pentru orice număr real xx, expresia E(x)E(x) este egală cu: A. 00 B. 3cos⁡x\sqrt{3} \cos x C. sin⁡x\sin x D. 11

Rezolvare

1
5 puncte
A

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră determinantul D(x)=∣1−x2312−x3123−x∣D(x) = \begin{vmatrix} 1 - x & 2 & 3 \\ 1 & 2 - x & 3 \\ 1 & 2 & 3 - x \end{vmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că D(1)=5D(1) = 5. b) Demonstrați că, pentru orice număr întreg pp, p≠6p \neq 6, numărul D(p)D(p) este divizibil cu 6−p6 - p. c) Determinați valoarea maximă pe care o poate lua D(n)D(n), atunci când nn este număr natural.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
D(1)=∣023113122∣D(1) = \begin{vmatrix} 0 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix}
2
3 puncte
=0+6+6−3−0−4=5= 0 + 6 + 6 - 3 - 0 - 4 = 5
b)5 puncte
3
3 puncte
D(p)=p2(6−p)D(p) = p^2(6 - p), pentru orice număr întreg pp
4
2 puncte
Numerele pp și 6−p6 - p sunt întregi, deci numărul întreg D(p)D(p) este divizibil cu 6−p6 - p
c)5 puncte
5
3 puncte
D(n)=n2(6−n)D(n) = n^2(6 - n), deci pentru n=0n = 0 și pentru orice n≥6n \geq 6, obținem D(n)≤0D(n) \leq 0 și, cum nn este număr natural, valoarea maximă pe care o poate lua D(n)D(n) se obține pentru una dintre valorile n=1n = 1, n=2n = 2, n=3n = 3, n=4n = 4 sau n=5n = 5
6
2 puncte
Valoarea maximă este D(4)=32D(4) = 32
Exercițiul 2
Se consideră matricele A=(−11−10)A = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} și B(x)=(0x+1x−11)B(x) = \begin{pmatrix} 0 & x + 1 \\ x - 1 & 1 \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că B(1)+B(3)=2B(2)B(1) + B(3) = 2B(2). b) Determinați numărul real xx pentru care A⋅B(x)=B(x)⋅AA \cdot B(x) = B(x) \cdot A. c) Determinați numerele reale xx pentru care B(x)⋅B(x)=B(x)B(x) \cdot B(x) = B(x).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
B(1)+B(3)=(0201)+(0421)=(0622)B(1) + B(3) = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 6 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}
2
2 puncte
2B(2)=2(0311)=(0622)2B(2) = 2\begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 6 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}
b)5 puncte
3
2 puncte
A⋅B(x)=(x−1−x0−x−1)A \cdot B(x) = \begin{pmatrix} x - 1 & -x \\ 0 & -x - 1 \end{pmatrix}, pentru orice număr real xx
4
2 puncte
B(x)⋅A=(−x−10−xx−1)B(x) \cdot A = \begin{pmatrix} -x - 1 & 0 \\ -x & x - 1 \end{pmatrix}, pentru orice număr real xx
5
1 punct
(x−1−x0−x−1)=(−x−10−xx−1)\begin{pmatrix} x - 1 & -x \\ 0 & -x - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -x - 1 & 0 \\ -x & x - 1 \end{pmatrix}, de unde obținem x=0x = 0
c)5 puncte
6
2 puncte
B(x)⋅B(x)=(x2−1x+1x−1x2)B(x) \cdot B(x) = \begin{pmatrix} x^2 - 1 & x + 1 \\ x - 1 & x^2 \end{pmatrix}, pentru orice număr real xx
7
3 puncte
(x2−1x+1x−1x2)=(0x+1x−11)\begin{pmatrix} x^2 - 1 & x + 1 \\ x - 1 & x^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & x + 1 \\ x - 1 & 1 \end{pmatrix}, de unde obținem x=−1x = -1 sau x=1x = 1

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=(x−4)2xf(x) = \frac{(x - 4)^2}{x}. a) Calculați lim⁡x→+∞f(x)x\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}. b) Calculați lim⁡x→4x3−8x2+16xf(x)\displaystyle\lim_{x \to 4} \frac{x^3 - 8x^2 + 16x}{f(x)}. c) Demonstrați că pentru orice număr real aa, a>0a > 0, lim⁡x→+∞1a(f(x+a)−f(x))\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{a}(f(x + a) - f(x)) nu depinde de aa.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
lim⁡x→+∞f(x)x=lim⁡x→+∞(x−4)2x2=lim⁡x→+∞x2(1−4x)2x2\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{(x - 4)^2}{x^2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2\left(1 - \frac{4}{x}\right)^2}{x^2}
2
2 puncte
=lim⁡x→+∞(1−4x)2=1= \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(1 - \frac{4}{x}\right)^2 = 1
b)5 puncte
3
3 puncte
lim⁡x→4x3−8x2+16xf(x)=lim⁡x→4x(x−4)2⋅x(x−4)2=lim⁡x→4x2\displaystyle\lim_{x \to 4} \frac{x^3 - 8x^2 + 16x}{f(x)} = \lim_{x \to 4} \frac{x(x - 4)^2 \cdot x}{(x - 4)^2} = \lim_{x \to 4} x^2
4
2 puncte
=16= 16
c)5 puncte
5
3 puncte
1a(f(x+a)−f(x))=1a(a+16x+a−16x)=1−16x(x+a)\frac{1}{a}(f(x + a) - f(x)) = \frac{1}{a}\left(a + \frac{16}{x + a} - \frac{16}{x}\right) = 1 - \frac{16}{x(x + a)}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty), unde aa este număr real, a>0a > 0
6
2 puncte
lim⁡x→+∞1a(f(x+a)−f(x))=lim⁡x→+∞(1−16x(x+a))=1\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{a}(f(x + a) - f(x)) = \lim_{x \to +\infty} \left(1 - \frac{16}{x(x + a)}\right) = 1, deci nu depinde de aa
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)={x2x−2,x∈(−∞,1)ln⁡x+m,x∈[1,+∞)f(x) = \begin{cases} \frac{x^2}{x - 2}, & x \in (-\infty, 1) \\ \ln x + m, & x \in [1, +\infty) \end{cases}, unde mm este număr real. a) Determinați numărul real mm, pentru care funcția ff este continuă pe R\mathbb{R}. b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre −∞-\infty la graficul funcției ff. c) Pentru m≤0m \leq 0, demonstrați că funcția ff este surjectivă.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
Pentru orice număr real mm, funcția ff este continuă pe (−∞,1)(-\infty, 1) și pe (1,+∞)(1, +\infty)
2
3 puncte
lim⁡x→1x<1f(x)=lim⁡x→1x<1x2x−2=−1\displaystyle\lim_{\substack{x \to 1 \\ x < 1}} f(x) = \lim_{\substack{x \to 1 \\ x < 1}} \frac{x^2}{x - 2} = -1, lim⁡x→1x>1f(x)=lim⁡x→1x>1(ln⁡x+m)=m\displaystyle\lim_{\substack{x \to 1 \\ x > 1}} f(x) = \lim_{\substack{x \to 1 \\ x > 1}} (\ln x + m) = m și f(1)=mf(1) = m, deci funcția ff este continuă pe R⇔m=−1\mathbb{R} \Leftrightarrow m = -1
b)5 puncte
3
2 puncte
lim⁡x→−∞f(x)x=lim⁡x→−∞x2x(x−2)=1\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2}{x(x - 2)} = 1
4
3 puncte
lim⁡x→−∞(f(x)−x)=lim⁡x→−∞2xx−2=2\displaystyle\lim_{x \to -\infty} (f(x) - x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{2x}{x - 2} = 2, deci dreapta de ecuație y=x+2y = x + 2 este asimptotă oblică spre −∞-\infty la graficul funcției ff
c)5 puncte
5
2 puncte
Cum lim⁡x→−∞f(x)=−∞\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty, f(0)=0f(0) = 0 și ff este continuă pe (−∞,1)(-\infty, 1), mulțimea valorilor funcției ff conține intervalul (−∞,0](-\infty, 0]
6
3 puncte
Cum lim⁡x→1x>1f(x)=m\displaystyle\lim_{\substack{x \to 1 \\ x > 1}} f(x) = m, lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty și, cum ff este continuă pe (1,+∞)(1, +\infty), mulțimea valorilor funcției conține intervalul (m,+∞)(m, +\infty) și, cum m≤0m \leq 0, funcția ff este surjectivă

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Model 2019 — Științele Naturii

Următor →

Model 2019 — Tehnologic

← Înapoi la arhiva completă Bac