BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Simulare XI 2019 — Tehnologic

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Rezultatul calculului 12+1+13+2−(3−2)\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}-(\sqrt{3}-2) este: A. 2−1\sqrt{2}-1 B. 11 C. 1+31+\sqrt{3} D. 33

Rezolvare

1
3 puncte
12+1=2−1\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1 și 13+2=3−2\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}.
2
2 puncte
2−1+3−2−3+2=1\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}-\sqrt{3}+2=1. Răspuns corect: B.
Exercițiul 2
Punctul de intersecție a graficelor funcțiilor f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x−1f(x)=2x-1 și g:R→Rg:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=−3x+9g(x)=-3x+9 este: A. P(1,1)P(1,1) B. P(2,1)P(2,1) C. P(2,3)P(2,3) D. P(3,2)P(3,2)

Rezolvare

1
3 puncte
2x−1=−3x+9⇒5x=10⇒x=22x-1=-3x+9 \Rightarrow 5x=10 \Rightarrow x=2.
2
2 puncte
f(2)=2⋅2−1=3f(2)=2\cdot 2-1=3, deci punctul de intersecție este P(2,3)P(2,3). Răspuns corect: C.
Exercițiul 3
Mulțimea soluțiilor ecuației 3⋅2x+2x+3=443\cdot 2^x+2^{x+3}=44 este: A. {0}\{0\} B. {1}\{1\} C. {2}\{2\} D. {4}\{4\}

Rezolvare

1
3 puncte
3⋅2x+8⋅2x=44⇒11⋅2x=44⇒2x=43\cdot 2^x+8\cdot 2^x=44 \Rightarrow 11\cdot 2^x=44 \Rightarrow 2^x=4.
2
2 puncte
2x=22⇒x=22^x=2^2 \Rightarrow x=2. Răspuns corect: C.
Exercițiul 4
Probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă produsul cifrelor egal cu 00 este egală cu: A. 910\dfrac{9}{10} B. 89\dfrac{8}{9} C. 19\dfrac{1}{9} D. 110\dfrac{1}{10}

Rezolvare

1
3 puncte
Numere de două cifre cu produsul cifrelor egal cu 00: a0‾\overline{a0} cu a∈{1,2,…,9}a\in\{1,2,\ldots,9\}, deci 99 numere. Total numere de două cifre: 9090.
2
2 puncte
p=990=110p=\dfrac{9}{90}=\dfrac{1}{10}. Răspuns corect: D.
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(0,a)A(0,a), B(3,4)B(3,4) și C(6,0)C(6,0), unde aa este număr real. Dacă OB→∥AC→\overrightarrow{OB}\parallel\overrightarrow{AC}, atunci numărul real aa este egal cu: A. −8-8 B. −92-\dfrac{9}{2} C. 92\dfrac{9}{2} D. 88

Rezolvare

1
3 puncte
OB→=(3,4)\overrightarrow{OB}=(3,4) și AC→=(6,−a)\overrightarrow{AC}=(6,-a). OB→∥AC→⇒3⋅(−a)−4⋅6=0\overrightarrow{OB}\parallel\overrightarrow{AC} \Rightarrow 3\cdot(-a)-4\cdot 6=0.
2
2 puncte
−3a−24=0⇒a=−8-3a-24=0 \Rightarrow a=-8. Răspuns corect: A.
Exercițiul 6
Se consideră triunghiul ABCABC dreptunghic în AA cu AB=5AB=5 și BC=13BC=13. Tangenta unghiului BB este egală cu: A. 513\dfrac{5}{13} B. 512\dfrac{5}{12} C. 1312\dfrac{13}{12} D. 125\dfrac{12}{5}

Rezolvare

1
3 puncte
AC=BC2−AB2=169−25=12AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{169-25}=12.
2
2 puncte
tan⁡B=ACAB=125\tan B=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{12}{5}. Răspuns corect: D.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră determinantul D(a)=∣a+12a+2a2−1235124∣D(a)=\begin{vmatrix}a+1&2a+2&a^2-1\\2&3&5\\1&2&4\end{vmatrix}, unde aa este număr real. a) Arătați că D(0)=−5D(0)=-5. b) Demonstrați că D(a)=(a−5)(a+1)D(a)=(a-5)(a+1), pentru orice număr real aa. c) Determinați numerele întregi aa pentru care D(a)<−3a−3D(a)<-3a-3.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) D(0)=∣12−1235124∣=D(0)=\begin{vmatrix}1&2&-1\\2&3&5\\1&2&4\end{vmatrix}=
2
3 puncte
=12+(−4)+10−(−3)−10−16=−5=12+(-4)+10-(-3)-10-16=-5.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) D(a)=12(a+1)+4(a2−1)+5(2a+2)−3(a2−1)−10(a+1)−8(2a+2)=D(a)=12(a+1)+4(a^2-1)+5(2a+2)-3(a^2-1)-10(a+1)-8(2a+2)=
4
2 puncte
=a2−4a−5=(a−5)(a+1)=a^2-4a-5=(a-5)(a+1), pentru orice număr real aa.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) (a−5)(a+1)<−3(a+1)⇔(a+1)(a−2)<0(a-5)(a+1)<-3(a+1) \Leftrightarrow (a+1)(a-2)<0.
6
3 puncte
Cum aa este număr întreg, obținem a=0a=0 sau a=1a=1.
Exercițiul 2
Se consideră matricea M(x)=(1−xx−x1+x)M(x)=\begin{pmatrix}1-x&x\\-x&1+x\end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că M(−1)+M(1)=2M(0)M(-1)+M(1)=2M(0). b) Demonstrați că M(x)⋅M(y)=M(x+y)M(x)\cdot M(y)=M(x+y), pentru orice numere reale xx și yy. c) Demonstrați că pentru orice număr real aa, există un număr real xx astfel încât M(x)⋅M(x)=M(a)M(x)\cdot M(x)=M(a).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) M(−1)+M(1)=(2−110)+(01−12)=(2002)=M(-1)+M(1)=\begin{pmatrix}2&-1\\1&0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&1\\-1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}=
2
2 puncte
=2(1001)=2M(0)=2\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=2M(0).
b)5 puncte
3
3 puncte
b) M(x)⋅M(y)=(1−xx−x1+x)(1−yy−y1+y)=(1−x−yx+y−x−y1+x+y)=M(x)\cdot M(y)=\begin{pmatrix}1-x&x\\-x&1+x\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1-y&y\\-y&1+y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1-x-y&x+y\\-x-y&1+x+y\end{pmatrix}=
4
2 puncte
=M(x+y)=M(x+y), pentru orice numere reale xx și yy.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) M(2x)=M(a)⇔2x=aM(2x)=M(a) \Leftrightarrow 2x=a, unde xx și aa sunt numere reale.
6
2 puncte
Pentru orice număr real aa, există un număr real x=a2x=\dfrac{a}{2}, astfel încât M(x)⋅M(x)=M(a)M(x)\cdot M(x)=M(a).

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−5x+4f(x)=x^2-5x+4. a) Arătați că lim⁡x→1f(x)x−1=−3\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{f(x)}{x-1}=-3. b) Calculați lim⁡x→+∞f(x)f(x+1)\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{f(x+1)}. c) Determinați ecuația asimptotei oblice spre +∞+\infty la graficul funcției g:(0,+∞)→Rg:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, g(x)=f(x)xg(x)=\dfrac{f(x)}{x}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) lim⁡x→1f(x)x−1=lim⁡x→1x2−5x+4x−1=lim⁡x→1(x−4)(x−1)x−1=\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{f(x)}{x-1}=\lim_{x\to 1}\frac{x^2-5x+4}{x-1}=\lim_{x\to 1}\frac{(x-4)(x-1)}{x-1}=
2
2 puncte
=lim⁡x→1(x−4)=−3=\displaystyle\lim_{x\to 1}(x-4)=-3.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) lim⁡x→+∞f(x)f(x+1)=lim⁡x→+∞x2−5x+4(x+1)2−5(x+1)+4=lim⁡x→+∞x2(1−5x+4x2)x2(1−3x)=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{f(x+1)}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2-5x+4}{(x+1)^2-5(x+1)+4}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2\left(1-\frac{5}{x}+\frac{4}{x^2}\right)}{x^2\left(1-\frac{3}{x}\right)}=
4
2 puncte
=lim⁡x→+∞1−5x+4x21−3x=1=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{1-\frac{5}{x}+\frac{4}{x^2}}{1-\frac{3}{x}}=1.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) g(x)=x2−5x+4xg(x)=\dfrac{x^2-5x+4}{x}, lim⁡x→+∞g(x)x=lim⁡x→+∞x2−5x+4x2=1\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{g(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2-5x+4}{x^2}=1.
6
3 puncte
lim⁡x→+∞(g(x)−x)=lim⁡x→+∞−5x+4x=−5\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\big(g(x)-x\big)=\lim_{x\to+\infty}\frac{-5x+4}{x}=-5, deci dreapta de ecuație y=x−5y=x-5 este asimptota oblică spre +∞+\infty la graficul funcției gg.
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)={1−x,x∈(−∞,1)2−x−x2x,x∈[1,+∞)f(x)=\begin{cases}\sqrt{1-x},&x\in(-\infty,1)\\\dfrac{2-x-x^2}{x},&x\in[1,+\infty)\end{cases}. a) Demonstrați că funcția ff este continuă în x=1x=1. b) Calculați lim⁡x→−3f(x)−2x+3\displaystyle\lim_{x\to -3}\frac{f(x)-2}{x+3}. c) Demonstrați că, pentru orice număr real aa, ecuația f(x)=af(x)=a are cel puțin o soluție.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) lim⁡x→1x<1f(x)=lim⁡x→11−x=0\displaystyle\lim_{\substack{x\to 1\\x<1}}f(x)=\lim_{x\to 1}\sqrt{1-x}=0, lim⁡x→1x>1f(x)=lim⁡x→12−x−x2x=0\displaystyle\lim_{\substack{x\to 1\\x>1}}f(x)=\lim_{x\to 1}\frac{2-x-x^2}{x}=0.
2
3 puncte
Cum f(1)=0f(1)=0, obținem lim⁡x→1f(x)=f(1)\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)=f(1), deci funcția ff este continuă în x=1x=1.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) lim⁡x→−3f(x)−2x+3=lim⁡x→−31−x−2x+3=lim⁡x→−3−x−3(x+3)(1−x+2)=\displaystyle\lim_{x\to -3}\frac{f(x)-2}{x+3}=\lim_{x\to -3}\frac{\sqrt{1-x}-2}{x+3}=\lim_{x\to -3}\frac{-x-3}{(x+3)(\sqrt{1-x}+2)}=
4
2 puncte
=lim⁡x→−3−11−x+2=−14=\displaystyle\lim_{x\to -3}\frac{-1}{\sqrt{1-x}+2}=-\frac{1}{4}.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞2−x−x2x=−∞\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{2-x-x^2}{x}=-\infty, lim⁡x→−∞f(x)=lim⁡x→−∞1−x=+∞\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\sqrt{1-x}=+\infty.
6
3 puncte
ff continuă pe (−∞,1)(-\infty,1), ff continuă în x=1x=1 și ff continuă pe (1,+∞)(1,+\infty), deci ff este continuă pe R\mathbb{R}, deci mulțimea valorilor funcției ff este R\mathbb{R}, de unde obținem că, pentru orice număr real aa, ecuația f(x)=af(x)=a are cel puțin o soluție.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Model 2019 — Tehnologic

Următor →

Simulare 2018 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac