BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Specială 2012 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Într-o progresie aritmetică (an)n≥1(a_n)_{n\geq 1} se cunosc a4=7a_4=7 și a9=22a_9=22. Calculați a14a_{14}.

Rezolvare

1
2 puncte
a9=a4+5r⇒r=3a_9=a_4+5r \Rightarrow r=3.
2
3 puncte
a14=a9+5r=37a_{14}=a_9+5r=37.
Exercițiul 2
Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x−3f(x)=x-3 și g:R→Rg:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=5−xg(x)=5-x.

Rezolvare

1
1 punct
AA este punctul de intersecție a graficelor funcțiilor ff și gg; f(x)=g(x)⇒x−3=5−xf(x)=g(x) \Rightarrow x-3=5-x.
2
2 puncte
xA=4x_A=4.
3
2 puncte
yA=1y_A=1.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 23−x=142^{3-x}=\dfrac{1}{4}.

Rezolvare

1
2 puncte
23−x=2−22^{3-x}=2^{-2}.
2
3 puncte
3−x=−2⇒x=53-x=-2 \Rightarrow x=5.
Exercițiul 4
Determinați câte numere naturale de 33 cifre distincte se pot forma cu elementele mulțimii M={0,1,2,3}M=\{0,1,2,3\}.

Rezolvare

1
2 puncte
Numărul tripletelor (a,b,c)(a,b,c), cu aa, bb, cc distincte din MM este A43A_4^3.
2
2 puncte
Numărul tripletelor (0,b,c)(0,b,c), cu bb, cc distincte nenule din MM este A32A_3^2.
3
1 punct
A43−A32=18A_4^3-A_3^2=18 numere.
Exercițiul 5
Într-un reper cartezian xOyxOy se consideră punctele A(1,2)A(1,2) și B(3,0)B(3,0). Determinați coordonatele simetricului punctului AA față de punctul BB.

Rezolvare

1
1 punct
Fie CC simetricul lui AA față de B⇒BB \Rightarrow B este mijlocul segmentului (AC)(AC).
2
2 puncte
xB=xA+xC2⇒xC=5x_B=\dfrac{x_A+x_C}{2} \Rightarrow x_C=5.
3
2 puncte
yB=yA+yC2⇒yC=−2y_B=\dfrac{y_A+y_C}{2} \Rightarrow y_C=-2.
Exercițiul 6
Calculați lungimea laturii BCBC a triunghiului ABCABC, știind că AB=6AB=6, AC=5AC=5 și m(∡BAC)=60∘m(\measuredangle BAC)=60^\circ.

Rezolvare

1
2 puncte
BC2=AB2+AC2−2⋅AB⋅AC⋅cos⁡ABC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos A.
2
3 puncte
BC=31BC=\sqrt{31}.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră sistemul de ecuații {x+y−2z=0x−y+z=1x+y+az=2\begin{cases}x+y-2z=0\\x-y+z=1\\x+y+az=2\end{cases}, unde a∈Ra\in\mathbb{R}. a) Calculați determinantul matricei asociate sistemului. b) Determinați valorile reale ale lui aa pentru care matricea asociată sistemului este inversabilă. c) Pentru a=0a=0, rezolvați sistemul de ecuații.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) Δ=∣11−21−1111a∣=\Delta=\begin{vmatrix}1&1&-2\\1&-1&1\\1&1&a\end{vmatrix}=
2
3 puncte
=−2a−4=-2a-4.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Matricea asociată sistemului este inversabilă ⇔Δ≠0\Leftrightarrow \Delta\neq 0.
4
2 puncte
a∈R∖{−2}a\in\mathbb{R}\setminus\{-2\}.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) {x+y−2z=0x−y+z=1x+y=2\begin{cases}x+y-2z=0\\x-y+z=1\\x+y=2\end{cases}
6
3 puncte
x=1x=1, y=1y=1, z=1z=1.
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=x+y−1x*y=x+y-1. a) Arătați că x∗1=xx*1=x, pentru orice x∈Rx\in\mathbb{R}. b) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x∗x∗x=4x*x*x=4. c) Determinați numărul natural nn, n≥2n\geq 2, pentru care Cn1∗Cn2=14C_n^1*C_n^2=14.

Rezolvare

a)5 puncte
1
4 puncte
a) x∗1=x+1−1=x*1=x+1-1=
2
1 punct
=x=x, pentru orice x∈Rx\in\mathbb{R}.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) x∗x=2x−1x*x=2x-1.
4
2 puncte
(x∗x)∗x=3x−2(x*x)*x=3x-2.
5
1 punct
x=2x=2.
c)5 puncte
6
2 puncte
c) Cn1=nC_n^1=n, Cn2=n(n−1)2C_n^2=\dfrac{n(n-1)}{2}.
7
2 puncte
n2+n−30=0n^2+n-30=0.
8
1 punct
n=5n=5.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+1exf(x)=\dfrac{x+1}{e^x}. a) Arătați că f′(x)f(x)=−xx+1\dfrac{f'(x)}{f(x)}=-\dfrac{x}{x+1} pentru orice x∈(0,+∞)x\in(0,+\infty). b) Arătați că funcția ff este descrescătoare pe (0,+∞)(0,+\infty). c) Determinați ecuația asimptotei oblice la graficul funcției g:(0,+∞)→Rg:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, g(x)=e2x⋅f2(x)xg(x)=\dfrac{e^{2x}\cdot f^2(x)}{x}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=(x+1)′⋅ex−(x+1)⋅(ex)′e2x=−xexf'(x)=\dfrac{(x+1)'\cdot e^x-(x+1)\cdot(e^x)'}{e^{2x}}=-\dfrac{x}{e^x}, ∀x∈(0,+∞)\forall x\in(0,+\infty).
2
2 puncte
f′(x)f(x)=−xexx+1ex=−xx+1\dfrac{f'(x)}{f(x)}=\dfrac{-\frac{x}{e^x}}{\frac{x+1}{e^x}}=-\dfrac{x}{x+1}.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) f′(x)=−xex⇒f′(x)<0f'(x)=-\dfrac{x}{e^x} \Rightarrow f'(x)<0, oricare ar fi x>0x>0.
4
2 puncte
Deci ff este descrescătoare pe (0,+∞)(0,+\infty).
c)5 puncte
5
1 punct
c) g(x)=x2+2x+1xg(x)=\dfrac{x^2+2x+1}{x}.
6
1 punct
m=lim⁡x→+∞g(x)x=1m=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{g(x)}{x}=1.
7
1 punct
n=lim⁡x→+∞(g(x)−mx)=2n=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(g(x)-mx)=2.
8
2 puncte
y=x+2y=x+2 este ecuația asimptotei oblice la graficul funcției gg.
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2012+x2011+x2+xf(x)=x^{2012}+x^{2011}+x^2+x. a) Determinați primitiva F:R→RF:\mathbb{R}\to\mathbb{R} a funcției ff, care verifică relația F(0)=1F(0)=1. b) Calculați ∫01f(x)x+1 dx\displaystyle\int_0^1\frac{f(x)}{x+1}\,dx. c) Calculați volumul corpului obținut prin rotația, în jurul axei OxOx, a graficului funcției g:[1,2]→Rg:[1,2]\to\mathbb{R}, g(x)=f(x)−x2012−x2011g(x)=f(x)-x^{2012}-x^{2011}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) ∫f(x) dx=x20132013+x20122012+x33+x22+C\displaystyle\int f(x)\,dx=\frac{x^{2013}}{2013}+\frac{x^{2012}}{2012}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+C.
2
2 puncte
F(x)=x20132013+x20122012+x33+x22+cF(x)=\dfrac{x^{2013}}{2013}+\dfrac{x^{2012}}{2012}+\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}+c și F(0)=1⇒c=1F(0)=1 \Rightarrow c=1.
3
1 punct
F:R→RF:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, F(x)=x20132013+x20122012+x33+x22+1F(x)=\dfrac{x^{2013}}{2013}+\dfrac{x^{2012}}{2012}+\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}+1.
b)5 puncte
4
2 puncte
b) ∫01f(x)x+1 dx=∫01(x2011+x) dx=\displaystyle\int_0^1\frac{f(x)}{x+1}\,dx=\int_0^1(x^{2011}+x)\,dx=
5
3 puncte
=(x20122012+x22)∣01=12012+12=10072012=\left(\dfrac{x^{2012}}{2012}+\dfrac{x^2}{2}\right)\Bigg|_0^1=\dfrac{1}{2012}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1007}{2012}.
c)5 puncte
6
1 punct
c) g(x)=x2+xg(x)=x^2+x.
7
3 puncte
V=π∫12g2(x) dx=π∫12(x4+2x3+x2) dx=π(x55+2⋅x44+x33)∣12=V=\pi\displaystyle\int_1^2 g^2(x)\,dx=\pi\int_1^2(x^4+2x^3+x^2)\,dx=\pi\left(\frac{x^5}{5}+2\cdot\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_1^2=
8
1 punct
=481π30=\dfrac{481\pi}{30}.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Specială 2012 — Matematică-Informatică

Următor →

Bac Vară Rezervă 2012 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac