BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Specială 2013 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Determinați numărul real xx pentru care numerele 11, 2x+22x+2 și 77 sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Rezolvare

1
3 puncte
2x+2=1+722x+2=\dfrac{1+7}{2}.
2
2 puncte
x=1x=1.
Exercițiul 2
Calculați distanța dintre punctele de intersecție cu axa OxOx a graficului funcției f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−4x+3f(x)=x^2-4x+3.

Rezolvare

1
3 puncte
f(x)=0⇒x=1f(x)=0 \Rightarrow x=1 sau x=3x=3.
2
2 puncte
Distanța este egală cu 22.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x2+4=x+2\sqrt{x^2+4}=x+2.

Rezolvare

1
3 puncte
x2+4=x2+4x+4x^2+4=x^2+4x+4.
2
2 puncte
Rezultă x=0x=0, care verifică ecuația.
Exercițiul 4
Determinați câte numere naturale impare ab‾\overline{ab} se pot forma, știind că a,b∈{2,3,4,5}a,b\in\{2,3,4,5\} și a≠ba\neq b.

Rezolvare

1
2 puncte
bb impar ⇒b∈{3,5}\Rightarrow b\in\{3,5\} ⇒\Rightarrow sunt două variante de alegere a lui bb.
2
2 puncte
Pentru fiecare bb impar sunt trei variante de alegere a lui aa.
3
1 punct
Se pot forma 2⋅3=62\cdot 3=6 numere.
Exercițiul 5
În dreptunghiul ABCDABCD, cu AB=8AB=8 și BC=6BC=6, se consideră vectorul v⃗=AB→+AO→+AD→\vec{v}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{AD}, unde {O}=AC∩BD\{O\}=AC\cap BD. Calculați lungimea vectorului v⃗\vec{v}.

Rezolvare

1
3 puncte
v⃗=AC→+AO→=3AO→\vec{v}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AO}=3\overrightarrow{AO}.
2
2 puncte
∣v⃗∣=15|\vec{v}|=15.
Exercițiul 6
Calculați sinusul unghiului AA al triunghiului ABCABC în care AB=6AB=6, BC=10BC=10 și sin⁡C=35\sin C=\dfrac{3}{5}.

Rezolvare

1
2 puncte
ABsin⁡C=BCsin⁡A\dfrac{AB}{\sin C}=\dfrac{BC}{\sin A}.
2
3 puncte
sin⁡A=1\sin A=1.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Pentru fiecare număr real aa se consideră matricea A(a)=(a111a111a)A(a)=\begin{pmatrix}a&1&1\\1&a&1\\1&1&a\end{pmatrix}. a) Calculați det⁡(A(0))\det\big(A(0)\big). b) Determinați valorile reale ale lui aa pentru care 5A(a)−(A(a))2=4I35A(a)-\big(A(a)\big)^2=4I_3. c) Determinați inversa matricei A(2)A(2).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) A(0)=(011101110)⇒det⁡(A(0))=∣011101110∣=A(0)=\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix} \Rightarrow \det\big(A(0)\big)=\begin{vmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{vmatrix}=
2
3 puncte
=0+1+1−0−0−0=2=0+1+1-0-0-0=2.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) (A(a))2=(a2+22a+12a+12a+1a2+22a+12a+12a+1a2+2)\big(A(a)\big)^2=\begin{pmatrix}a^2+2&2a+1&2a+1\\2a+1&a^2+2&2a+1\\2a+1&2a+1&a^2+2\end{pmatrix}.
4
1 punct
5A(a)−(A(a))2=(5a−a2−24−2a4−2a4−2a5a−a2−24−2a4−2a4−2a5a−a2−2)5A(a)-\big(A(a)\big)^2=\begin{pmatrix}5a-a^2-2&4-2a&4-2a\\4-2a&5a-a^2-2&4-2a\\4-2a&4-2a&5a-a^2-2\end{pmatrix}.
5
2 puncte
5A(a)−(A(a))2=4I3⇒5a−a2−2=45A(a)-\big(A(a)\big)^2=4I_3 \Rightarrow 5a-a^2-2=4 și 4−2a=0⇒a=24-2a=0 \Rightarrow a=2.
c)5 puncte
6
2 puncte
c) A(2)⋅(5I3−A(2))=4I3A(2)\cdot\big(5I_3-A(2)\big)=4I_3 și (5I3−A(2))⋅A(2)=4I3\big(5I_3-A(2)\big)\cdot A(2)=4I_3.
7
3 puncte
Matricea A(2)A(2) este inversabilă și inversa ei este B=14(5I3−A(2))=14(3−1−1−13−1−1−13)B=\dfrac{1}{4}\big(5I_3-A(2)\big)=\dfrac{1}{4}\begin{pmatrix}3&-1&-1\\-1&3&-1\\-1&-1&3\end{pmatrix}.
Exercițiul 2
Se consideră polinomul f=X3−mX2+3X−1f=X^3-mX^2+3X-1, unde mm este număr real. a) Calculați f(2)−f(−2)f(2)-f(-2). b) Determinați restul împărțirii lui ff la X+2X+2, știind că restul împărțirii polinomului ff la X−2X-2 este egal cu 99. c) Determinați numerele reale mm pentru care x13+x23+x33=3x_1^3+x_2^3+x_3^3=3, unde x1x_1, x2x_2, x3x_3 sunt rădăcinile polinomului ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) f(2)=8−4m+6−1=−4m+13f(2)=8-4m+6-1=-4m+13.
2
3 puncte
f(−2)=−8−4m−6−1=−4m−15⇒f(2)−f(−2)=28f(-2)=-8-4m-6-1=-4m-15 \Rightarrow f(2)-f(-2)=28.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) Restul împărțirii lui ff la X−2X-2 este f(2)⇒f(2)=9f(2) \Rightarrow f(2)=9.
4
3 puncte
Restul împărțirii lui ff la X+2X+2 este f(−2)⇒f(−2)=−19f(-2) \Rightarrow f(-2)=-19.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) x1+x2+x3=mx_1+x_2+x_3=m, x1x2+x2x3+x1x3=3⇒x12+x22+x32=m2−6x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=3 \Rightarrow x_1^2+x_2^2+x_3^2=m^2-6.
6
2 puncte
x13+x23+x33=m(x12+x22+x32)−3(x1+x2+x3)+3=m3−9m+3x_1^3+x_2^3+x_3^3=m(x_1^2+x_2^2+x_3^2)-3(x_1+x_2+x_3)+3=m^3-9m+3.
7
1 punct
x13+x23+x33=3⇔m3−9m=0⇔m=−3x_1^3+x_2^3+x_3^3=3 \Leftrightarrow m^3-9m=0 \Leftrightarrow m=-3 sau m=0m=0 sau m=3m=3.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(−1,1)→Rf:(-1,1)\to\mathbb{R}, f(x)=ln⁡1−x1+xf(x)=\ln\dfrac{1-x}{1+x}. a) Calculați f′(x)f'(x), x∈(−1,1)x\in(-1,1). b) Verificați dacă funcția ff este descrescătoare pe intervalul (−1,1)(-1,1). c) Determinați punctele de inflexiune ale funcției ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=1+x1−x⋅(1−x1+x)′=f'(x)=\dfrac{1+x}{1-x}\cdot\left(\dfrac{1-x}{1+x}\right)'=
2
2 puncte
=−21−x2=2x2−1=-\dfrac{2}{1-x^2}=\dfrac{2}{x^2-1}, pentru orice x∈(−1,1)x\in(-1,1).
b)5 puncte
3
2 puncte
b) x2−1<0x^2-1<0, pentru orice x∈(−1,1)x\in(-1,1).
4
3 puncte
f′(x)<0f'(x)<0, pentru orice x∈(−1,1)⇒fx\in(-1,1) \Rightarrow f este descrescătoare pe (−1,1)(-1,1).
c)5 puncte
5
2 puncte
c) f′′(x)=−4x(x2−1)2f''(x)=-\dfrac{4x}{(x^2-1)^2}, pentru orice x∈(−1,1)x\in(-1,1).
6
1 punct
f′′(x)=0⇔x=0f''(x)=0 \Leftrightarrow x=0.
7
2 puncte
f′′(x)≥0f''(x)\geq 0, pentru orice x∈(−1,0]x\in(-1,0], f′′(x)≤0f''(x)\leq 0, pentru orice x∈[0,1)x\in[0,1), deci punctul de inflexiune este x=0x=0.
Exercițiul 2
Pentru fiecare număr natural nn se consideră numărul In=∫12xnex dxI_n=\displaystyle\int_1^2 x^n e^x\,dx. a) Calculați I0I_0. b) Arătați că I1=e2I_1=e^2. c) Demonstrați că In+1+(n+1)In=2n+1e2−eI_{n+1}+(n+1)I_n=2^{n+1}e^2-e, pentru orice număr natural nn.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) I0=∫12ex dx=I_0=\displaystyle\int_1^2 e^x\,dx=
2
3 puncte
=ex∣12=e2−e=e^x\Big|_1^2=e^2-e.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) I1=∫12xex dx=xex∣12−∫12ex dx=I_1=\displaystyle\int_1^2 xe^x\,dx=xe^x\Big|_1^2-\int_1^2 e^x\,dx=
4
2 puncte
=e2=e^2.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) In+1=∫12xn+1ex dx=∫12xn+1(ex)′ dx=I_{n+1}=\displaystyle\int_1^2 x^{n+1}e^x\,dx=\int_1^2 x^{n+1}(e^x)'\,dx=
6
3 puncte
=xn+1ex∣12−(n+1)In⇒In+1+(n+1)In=2n+1e2−e=x^{n+1}e^x\Big|_1^2-(n+1)I_n \Rightarrow I_{n+1}+(n+1)I_n=2^{n+1}e^2-e.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Vară 2013 — Tehnologic

Următor →

Bac Specială 2013 — Științele Naturii (Varianta 3)

← Înapoi la arhiva completă Bac