BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Specială 2013 — Tehnologic (Varianta 3)

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că 3(2+2)−32=63(2 + \sqrt{2}) - 3\sqrt{2} = 6.

Rezolvare

1
2 puncte
3(2+2)=6+323(2 + \sqrt{2}) = 6 + 3\sqrt{2}
2
3 puncte
6+32−32=66 + 3\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = 6
Exercițiul 2
Calculați f(−2)⋅f(0)f(-2) \cdot f(0) pentru funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x+1f(x) = x + 1.

Rezolvare

1
2 puncte
f(−2)=−1f(-2) = -1
2
2 puncte
f(0)=1f(0) = 1
3
1 punct
f(−2)⋅f(0)=−1f(-2) \cdot f(0) = -1
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡3(x2+1)=log⁡31\log_3(x^2 + 1) = \log_3 1.

Rezolvare

1
2 puncte
x2+1=1x^2 + 1 = 1
2
3 puncte
x=0x = 0
Exercițiul 4
Prețul unui obiect este 10001000 de lei. Determinați prețul obiectului după o ieftinire cu 10%10\%.

Rezolvare

1
2 puncte
10%⋅1000=10010\% \cdot 1000 = 100
2
3 puncte
Prețul după ieftinire este 900900 de lei
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele P(2,1)P(2, 1) și R(2,3)R(2, 3). Determinați coordonatele mijlocului segmentului PRPR.

Rezolvare

1
1 punct
MM mijlocul lui (PR)⇒xM=xP+xR2(PR) \Rightarrow x_M = \dfrac{x_P + x_R}{2} și yM=yP+yR2y_M = \dfrac{y_P + y_R}{2}
2
2 puncte
xM=2x_M = 2
3
2 puncte
yM=2y_M = 2
Exercițiul 6
Calculați cos⁡B\cos B, știind că sin⁡B=513\sin B = \dfrac{5}{13} și unghiul BB este ascuțit.

Rezolvare

1
3 puncte
sin⁡2B+cos⁡2B=1⇒cos⁡B=1−sin⁡2B\sin^2 B + \cos^2 B = 1 \Rightarrow \cos B = \sqrt{1 - \sin^2 B}
2
2 puncte
cos⁡B=1213\cos B = \dfrac{12}{13}

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A=(1110)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}. a) Calculați det⁡A\det A. b) Determinați numărul real xx pentru care A⋅A−xI2=AA \cdot A - xI_2 = A, unde I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. c) Determinați matricele M=(mmm1)M = \begin{pmatrix} m & m \\ m & 1 \end{pmatrix}, știind că det⁡(M+A)=0\det(M + A) = 0, unde mm este număr real.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) det⁡A=∣1110∣=0−1\det A = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 - 1
2
2 puncte
=−1= -1
b)5 puncte
3
3 puncte
b) A⋅A=(2111)⇒A⋅A−xI2=(2−x111−x)A \cdot A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow A \cdot A - xI_2 = \begin{pmatrix} 2 - x & 1 \\ 1 & 1 - x \end{pmatrix}
4
2 puncte
A⋅A−xI2=A⇔x=1A \cdot A - xI_2 = A \Leftrightarrow x = 1
c)5 puncte
5
3 puncte
c) det⁡(M+A)=∣m+1m+1m+11∣=−m2−m\det(M + A) = \begin{vmatrix} m + 1 & m + 1 \\ m + 1 & 1 \end{vmatrix} = -m^2 - m
6
2 puncte
m=−1m = -1 sau m=0m = 0, deci M=(0001)M = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} sau M=(−1−1−11)M = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă dată de x∗y=x+y−2x * y = x + y - 2. a) Calculați 5∗(−5)5 * (-5). b) Arătați că legea de compoziție ,,∗{*}" este comutativă. c) Calculați (−3)∗(−2)∗(−1)∗0∗1∗2∗3(-3) * (-2) * (-1) * 0 * 1 * 2 * 3.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) 5∗(−5)=5+(−5)−25 * (-5) = 5 + (-5) - 2
2
2 puncte
=−2= -2
b)5 puncte
3
3 puncte
b) x∗y=x+y−2x * y = x + y - 2 și y∗x=y+x−2y * x = y + x - 2, pentru orice numere reale xx și yy
4
2 puncte
x∗y=y∗xx * y = y * x, pentru orice numere reale xx și yy
c)5 puncte
5
2 puncte
c) (−3)∗(−2)∗(−1)∗0∗1∗2∗3=((−3)∗3)∗((−2)∗2)∗((−1)∗1)∗0(-3) * (-2) * (-1) * 0 * 1 * 2 * 3 = ((-3) * 3) * ((-2) * 2) * ((-1) * 1) * 0
6
3 puncte
=(−2)∗(−2)∗(−2)∗0=−12= (-2) * (-2) * (-2) * 0 = -12

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=xexf(x) = xe^x. a) Arătați că f′(x)=(x+1)exf'(x) = (x + 1)e^x, pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Verificați dacă f′′(x)+f(x)=2f′(x)f''(x) + f(x) = 2f'(x), pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}. c) Arătați că funcția ff are un punct de extrem.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=x′⋅ex+x⋅(ex)′=ex+xexf'(x) = x' \cdot e^x + x \cdot (e^x)' = e^x + xe^x
2
2 puncte
=(x+1)ex= (x + 1)e^x, pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}
b)5 puncte
3
2 puncte
b) f′′(x)=(x+2)exf''(x) = (x + 2)e^x, pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}
4
3 puncte
f′′(x)+f(x)=(x+2)ex+xex=2(x+1)ex=2f′(x)f''(x) + f(x) = (x + 2)e^x + xe^x = 2(x + 1)e^x = 2f'(x), pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}
c)5 puncte
5
2 puncte
c) f′(x)=0⇒x=−1f'(x) = 0 \Rightarrow x = -1
6
3 puncte
f′(−1)=0f'(-1) = 0, f′(x)<0f'(x) < 0 pentru x∈(−∞,−1)x \in (-\infty, -1) și f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x∈(−1,+∞)x \in (-1, +\infty), deci funcția ff are un punct de extrem, x=−1x = -1
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=1xf(x) = \dfrac{1}{x}. a) Calculați ∫45x⋅f(x) dx\displaystyle\int_4^5 x \cdot f(x)\, dx. b) Arătați că funcția F:(0,+∞)→RF : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, F(x)=4+ln⁡xF(x) = 4 + \ln x este o primitivă a funcției ff. c) Determinați numărul real aa, a>5a > 5, pentru care aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției ff, axa OxOx și dreptele de ecuație x=5x = 5 și x=ax = a, este egală cu ln⁡3\ln 3.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) ∫45x⋅f(x) dx=∫451⋅dx\displaystyle\int_4^5 x \cdot f(x)\, dx = \int_4^5 1 \cdot dx
2
3 puncte
=x∣45=1= x \Big|_4^5 = 1
b)5 puncte
3
3 puncte
b) F′(x)=(4+ln⁡x)′=1xF'(x) = (4 + \ln x)' = \dfrac{1}{x}, pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
4
2 puncte
F′(x)=f(x)F'(x) = f(x), pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty), deci FF este o primitivă a funcției ff
c)5 puncte
5
2 puncte
c) A=∫5a∣f(x)∣ dx=∫5a1x dx\mathcal{A} = \displaystyle\int_5^a |f(x)|\, dx = \int_5^a \dfrac{1}{x}\, dx
6
3 puncte
=ln⁡a−ln⁡5=ln⁡3⇒a=15= \ln a - \ln 5 = \ln 3 \Rightarrow a = 15

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Specială 2013 — Științele Naturii (Varianta 3)

Următor →

Bac Vară Rezervă 2013 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac