BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Specială 2014 — Matematică-Informatică (Varianta 9)

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că 3(2+4i)+2(1−6i)=83(2 + 4i) + 2(1 - 6i) = 8.

Rezolvare

1
3 puncte
6+12i+2−12i6 + 12i + 2 - 12i
2
2 puncte
=6+2=8= 6 + 2 = 8
Exercițiul 2
Arătați că parabola asociată funcției f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+2x+1f(x) = x^2 + 2x + 1 este tangentă la axa OxOx.

Rezolvare

1
3 puncte
Δ=4−4\Delta = 4 - 4
2
2 puncte
=0= 0, deci parabola asociată funcției ff este tangentă la axa OxOx
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 5x2+4=54x5^{x^2 + 4} = 5^{4x}.

Rezolvare

1
3 puncte
x2+4=4x⇔x2−4x+4=0x^2 + 4 = 4x \Leftrightarrow x^2 - 4x + 4 = 0
2
2 puncte
x=2x = 2
Exercițiul 4
Determinați câte numere naturale de două cifre distincte se pot forma cu cifrele 11, 33, 55 și 77.

Rezolvare

1
3 puncte
Cifra unităților se poate alege în 44 moduri
2
2 puncte
Pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor se poate alege în 33 moduri, deci se pot forma 4⋅3=124 \cdot 3 = 12 numere
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(−2,2)A(-2, 2), B(−4,−2)B(-4, -2) și C(4,2)C(4, 2). Determinați ecuația dreptei dd care trece prin AA și este perpendiculară pe dreapta BCBC.

Rezolvare

1
2 puncte
Panta dreptei BCBC este mBC=12⇒md=−2m_{BC} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow m_d = -2
2
3 puncte
d:y=−2x−2d : y = -2x - 2
Exercițiul 6
Arătați că sin⁡π4+cos⁡3π4=0\sin \dfrac{\pi}{4} + \cos \dfrac{3\pi}{4} = 0.

Rezolvare

1
2 puncte
sin⁡π4=22\sin \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}
2
3 puncte
cos⁡3π4=−22⇒sin⁡π4+cos⁡3π4=0\cos \dfrac{3\pi}{4} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \sin \dfrac{\pi}{4} + \cos \dfrac{3\pi}{4} = 0

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(n)=(10002n002n−11)A(n) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2^n & 0 \\ 0 & 2^n - 1 & 1 \end{pmatrix}, unde nn este număr natural. a) Arătați că det⁡(A(0))=1\det(A(0)) = 1. b) Determinați numărul natural nn știind că A(n)⋅A(1)=A(3)A(n) \cdot A(1) = A(3). c) Determinați numerele naturale pp și qq știind că A(p)⋅A(q)=A(pq)A(p) \cdot A(q) = A(pq).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) det⁡(A(0))=∣100010001∣\det(A(0)) = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}
2
3 puncte
=1+0+0−0−0−0=1= 1 + 0 + 0 - 0 - 0 - 0 = 1
b)5 puncte
3
3 puncte
b) A(1)=(100020011)A(1) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}, A(n)⋅A(1)=(10002n+1002n+1−11)A(n) \cdot A(1) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2^{n+1} & 0 \\ 0 & 2^{n+1} - 1 & 1 \end{pmatrix}
4
2 puncte
A(3)=(1000230023−11)A(3) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2^3 & 0 \\ 0 & 2^3 - 1 & 1 \end{pmatrix} și A(n)⋅A(1)=A(3)⇒n=2A(n) \cdot A(1) = A(3) \Rightarrow n = 2
c)5 puncte
5
2 puncte
c) A(p)⋅A(q)=A(p+q)A(p) \cdot A(q) = A(p + q) pentru orice numere naturale pp și qq
6
3 puncte
A(p+q)=A(pq)⇒p+q=pq⇒(p−1)(q−1)=1⇒p=q=0A(p + q) = A(pq) \Rightarrow p + q = pq \Rightarrow (p - 1)(q - 1) = 1 \Rightarrow p = q = 0 sau p=q=2p = q = 2
Exercițiul 2
Se consideră polinomul f=X3+X2−3X+2f = X^3 + X^2 - 3X + 2. a) Calculați f(0)f(0). b) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului ff la X2−4X^2 - 4. c) Arătați că (x1−x2)2+(x2−x3)2+(x3−x1)2=20(x_1 - x_2)^2 + (x_2 - x_3)^2 + (x_3 - x_1)^2 = 20 știind că x1x_1, x2x_2 și x3x_3 sunt rădăcinile lui ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f(0)=03+02−3⋅0+2f(0) = 0^3 + 0^2 - 3 \cdot 0 + 2
2
2 puncte
=2= 2
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Câtul este X+1X + 1
4
2 puncte
Restul este X+6X + 6
c)5 puncte
5
2 puncte
c) x1+x2+x3=−1x_1 + x_2 + x_3 = -1, x1x2+x2x3+x1x3=−3x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_1 x_3 = -3
6
3 puncte
(x1−x2)2+(x2−x3)2+(x3−x1)2=2(x1+x2+x3)2−6(x1x2+x2x3+x3x1)=2+18=20(x_1 - x_2)^2 + (x_2 - x_3)^2 + (x_3 - x_1)^2 = 2(x_1 + x_2 + x_3)^2 - 6(x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1) = 2 + 18 = 20

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=3x+exf(x) = 3x + e^x. a) Calculați f′(x)f'(x), x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre −∞-\infty la graficul funcției ff. c) Arătați că f(x)≥4x+1f(x) \geq 4x + 1 pentru orice număr real xx.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) f′(x)=(3x)′+(ex)′f'(x) = (3x)' + (e^x)'
2
3 puncte
=3+ex= 3 + e^x, x∈Rx \in \mathbb{R}
b)5 puncte
3
2 puncte
b) lim⁡x→−∞f(x)x=lim⁡x→−∞3x+exx=3\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{f(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{3x + e^x}{x} = 3
4
3 puncte
lim⁡x→−∞(f(x)−3x)=lim⁡x→−∞ex=0\displaystyle\lim_{x \to -\infty} (f(x) - 3x) = \lim_{x \to -\infty} e^x = 0, deci dreapta de ecuație y=3xy = 3x este asimptotă oblică spre −∞-\infty la graficul funcției ff
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Fie g:R→Rg : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x)=f(x)−4x−1=ex−x−1g(x) = f(x) - 4x - 1 = e^x - x - 1; g′(0)=0g'(0) = 0, g′(x)<0g'(x) < 0 pentru orice x∈(−∞,0)x \in (-\infty, 0) și g′(x)>0g'(x) > 0 pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
6
2 puncte
g(x)≥g(0)=0⇒f(x)≥4x+1g(x) \geq g(0) = 0 \Rightarrow f(x) \geq 4x + 1 pentru orice număr real xx
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3x2+x+1f(x) = \dfrac{x^3}{x^2 + x + 1}. a) Arătați că ∫01(x2+x+1)⋅f(x) dx=14\displaystyle\int_0^1 (x^2 + x + 1) \cdot f(x)\, dx = \dfrac{1}{4}. b) Arătați că ∫01(f(x)−x+1) dx=π33\displaystyle\int_0^1 (f(x) - x + 1)\, dx = \dfrac{\pi}{3\sqrt{3}}. c) Arătați că lim⁡t→0(1t4⋅∫0tf(x) dx)=14\displaystyle\lim_{t \to 0} \left(\dfrac{1}{t^4} \cdot \int_0^t f(x)\, dx\right) = \dfrac{1}{4}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) ∫01(x2+x+1)⋅f(x) dx=∫01x3 dx\displaystyle\int_0^1 (x^2 + x + 1) \cdot f(x)\, dx = \int_0^1 x^3\, dx
2
3 puncte
=x44∣01=14= \dfrac{x^4}{4} \Big|_0^1 = \dfrac{1}{4}
b)5 puncte
3
3 puncte
b) ∫01(f(x)−x+1) dx=∫011x2+x+1 dx=∫011(x+12)2+34 dx=23arctan⁡2x+13∣01\displaystyle\int_0^1 (f(x) - x + 1)\, dx = \int_0^1 \dfrac{1}{x^2 + x + 1}\, dx = \int_0^1 \dfrac{1}{\left(x + \dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{3}{4}}\, dx = \dfrac{2}{\sqrt{3}} \arctan \dfrac{2x + 1}{\sqrt{3}} \Big|_0^1
4
2 puncte
=23(arctan⁡3−arctan⁡13)=23⋅π6=π33= \dfrac{2}{\sqrt{3}} \left(\arctan \sqrt{3} - \arctan \dfrac{1}{\sqrt{3}}\right) = \dfrac{2}{\sqrt{3}} \cdot \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{3\sqrt{3}}
c)5 puncte
5
3 puncte
c) lim⁡t→0(1t4⋅∫0tf(x) dx)=lim⁡t→0f(t)4t3\displaystyle\lim_{t \to 0} \left(\dfrac{1}{t^4} \cdot \int_0^t f(x)\, dx\right) = \lim_{t \to 0} \dfrac{f(t)}{4t^3}
6
2 puncte
=lim⁡t→0t34t3(t2+t+1)=14= \displaystyle\lim_{t \to 0} \dfrac{t^3}{4t^3(t^2 + t + 1)} = \dfrac{1}{4}

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Vară 2014 — Tehnologic

Următor →

Bac Specială 2014 — Științele Naturii (Varianta 9)

← Înapoi la arhiva completă Bac