BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Vară 2014 — Tehnologic

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că 5(2+3)−53=105(2 + \sqrt{3}) - 5\sqrt{3} = 10.

Rezolvare

1
3 puncte
5(2+3)=10+535(2 + \sqrt{3}) = 10 + 5\sqrt{3}
2
2 puncte
5(2+3)−53=10+53−53=105(2 + \sqrt{3}) - 5\sqrt{3} = 10 + 5\sqrt{3} - 5\sqrt{3} = 10
Exercițiul 2
Determinați numărul real aa știind că f(1)=af(1) = a, unde f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x+3f(x) = x + 3.

Rezolvare

1
3 puncte
f(1)=a⇒1+3=af(1) = a \Rightarrow 1 + 3 = a
2
2 puncte
a=4a = 4
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡2(2x+1)=log⁡25\log_2(2x + 1) = \log_2 5.

Rezolvare

1
3 puncte
2x+1=52x + 1 = 5
2
2 puncte
x=2x = 2 care verifică ecuația
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu 1010.

Rezolvare

1
2 puncte
Sunt 99 numere de două cifre care sunt divizibile cu 1010, deci sunt 99 cazuri favorabile
2
1 punct
Sunt 9090 de numere de două cifre, deci sunt 9090 de cazuri posibile
3
2 puncte
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=990=110p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{9}{90} = \frac{1}{10}
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(2,5)A(2, 5) și B(3,5)B(3, 5). Calculați distanța de la punctul AA la punctul BB.

Rezolvare

1
3 puncte
AB=(2−3)2+(5−5)2AB = \sqrt{(2-3)^2 + (5-5)^2}
2
2 puncte
AB=1AB = 1
Exercițiul 6
Arătați că sin⁡230°+cos⁡245°=34\sin^2 30° + \cos^2 45° = \frac{3}{4}.

Rezolvare

1
2 puncte
sin⁡30°=12\sin 30° = \frac{1}{2}, cos⁡45°=22\cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}
2
3 puncte
sin⁡230°+cos⁡245°=14+24=34\sin^2 30° + \cos^2 45° = \frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{4}

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele A=(4812)A = \begin{pmatrix} 4 & 8 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}, B=(12−1−2)B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} și C=(3x24)C = \begin{pmatrix} 3 & x \\ 2 & 4 \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡A=0\det A = 0. b) Determinați numărul real xx știind că B+C=AB + C = A. c) Arătați că B⋅B+B=O2B \cdot B + B = O_2, unde O2=(0000)O_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
det⁡A=∣4812∣=\det A = \begin{vmatrix} 4 & 8 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} =
2
3 puncte
=4⋅2−1⋅8=0= 4 \cdot 2 - 1 \cdot 8 = 0
b)5 puncte
3
3 puncte
B+C=(42+x12)B + C = \begin{pmatrix} 4 & 2 + x \\ 1 & 2 \end{pmatrix}
4
2 puncte
(42+x12)=(4812)⇒x=6\begin{pmatrix} 4 & 2 + x \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 8 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \Rightarrow x = 6
c)5 puncte
5
3 puncte
B⋅B=(12−1−2)⋅(12−1−2)=(−1−212)B \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}
6
2 puncte
B⋅B+B=(−1−212)+(12−1−2)=(0000)=O2B \cdot B + B = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = O_2
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy+4x+4y+12x \circ y = xy + 4x + 4y + 12. a) Arătați că 0∘(−4)=−40 \circ (-4) = -4. b) Arătați că x∘y=(x+4)(y+4)−4x \circ y = (x + 4)(y + 4) - 4 pentru orice numere reale xx și yy. c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x∘x=12x \circ x = 12.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
0∘(−4)=0⋅(−4)+4⋅0+4⋅(−4)+12=0 \circ (-4) = 0 \cdot (-4) + 4 \cdot 0 + 4 \cdot (-4) + 12 =
2
2 puncte
=−16+12=−4= -16 + 12 = -4
b)5 puncte
3
2 puncte
x∘y=xy+4x+4y+16−4=x \circ y = xy + 4x + 4y + 16 - 4 =
4
3 puncte
=x(y+4)+4(y+4)−4=(x+4)(y+4)−4= x(y + 4) + 4(y + 4) - 4 = (x + 4)(y + 4) - 4 pentru orice numere reale xx și yy
c)5 puncte
5
2 puncte
(x+4)2−4=12(x + 4)^2 - 4 = 12
6
3 puncte
x2+8x=0⇒x1=−8x^2 + 8x = 0 \Rightarrow x_1 = -8 și x2=0x_2 = 0

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡x−1xf(x) = \ln x - \frac{1}{x}. a) Arătați că f′(x)=x+1x2f'(x) = \frac{x + 1}{x^2}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty). b) Arătați că lim⁡x→2f(x)−f(2)x−2=34\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = \frac{3}{4}. c) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x0=1x_0 = 1, situat pe graficul funcției ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
f′(x)=1x−(−1x2)=f'(x) = \frac{1}{x} - \left(-\frac{1}{x^2}\right) =
2
2 puncte
=1x+1x2=x+1x2= \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = \frac{x + 1}{x^2}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
b)5 puncte
3
3 puncte
lim⁡x→2f(x)−f(2)x−2=f′(2)=\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = f'(2) =
4
2 puncte
=2+122=34= \frac{2 + 1}{2^2} = \frac{3}{4}
c)5 puncte
5
2 puncte
y−f(1)=f′(1)(x−1)y - f(1) = f'(1)(x - 1)
6
3 puncte
f(1)=−1f(1) = -1, f′(1)=2f'(1) = 2, deci ecuația tangentei este y=2x−3y = 2x - 3
Exercițiul 2
Se consideră funcțiile f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ex−xf(x) = e^x - x și F:R→RF : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, F(x)=ex−x22−1F(x) = e^x - \frac{x^2}{2} - 1. a) Arătați că ∫01ex dx=e−1\displaystyle\int_0^1 e^x \, dx = e - 1. b) Arătați că funcția FF este o primitivă a funcției ff. c) Calculați ∫01F(x) dx\displaystyle\int_0^1 F(x) \, dx.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
∫01ex dx=ex∣01=\displaystyle\int_0^1 e^x \, dx = e^x\bigg|_0^1 =
2
2 puncte
=e1−e0=e−1= e^1 - e^0 = e - 1
b)5 puncte
3
3 puncte
F′(x)=(ex−x22−1)′=ex−x=F'(x) = \left(e^x - \frac{x^2}{2} - 1\right)' = e^x - x =
4
2 puncte
=f(x)= f(x) pentru orice număr real xx, deci FF este o primitivă a funcției ff
c)5 puncte
5
2 puncte
∫01F(x) dx=∫01(ex−x22−1)dx=∫01ex dx−∫01x22 dx−∫01dx=\displaystyle\int_0^1 F(x) \, dx = \int_0^1 \left(e^x - \frac{x^2}{2} - 1\right) dx = \int_0^1 e^x \, dx - \int_0^1 \frac{x^2}{2} \, dx - \int_0^1 dx =
6
3 puncte
=ex∣01−x36∣01−x∣01=e−1−16−1=e−136= e^x\bigg|_0^1 - \frac{x^3}{6}\bigg|_0^1 - x\bigg|_0^1 = e - 1 - \frac{1}{6} - 1 = e - \frac{13}{6}

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Vară 2014 — Științele Naturii

Următor →

Bac Specială 2014 — Matematică-Informatică (Varianta 9)

← Înapoi la arhiva completă Bac