BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Specială 2014 — Științele Naturii (Varianta 9)

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră numărul complex z=2+3iz = 2 + 3i. Calculați z2z^2.

Rezolvare

1
3 puncte
z2=22+2⋅2⋅3i+(3i)2z^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot 3i + (3i)^2
2
2 puncte
=−5+12i= -5 + 12i
Exercițiul 2
Determinați coordonatele punctului de intersecție cu axa OxOx a graficului funcției f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−6x+9f(x) = x^2 - 6x + 9.

Rezolvare

1
3 puncte
f(x)=0⇒(x−3)2=0f(x) = 0 \Rightarrow (x - 3)^2 = 0
2
2 puncte
x=3x = 3 și y=0y = 0
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡9(x2+5)=1\log_9(x^2 + 5) = 1.

Rezolvare

1
3 puncte
x2+5=9⇒x2−4=0x^2 + 5 = 9 \Rightarrow x^2 - 4 = 0
2
2 puncte
x1=−2x_1 = -2 și x2=2x_2 = 2, care verifică ecuația
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu 1313.

Rezolvare

1
2 puncte
Sunt 77 numere de două cifre divizibile cu 1313, deci sunt 77 cazuri favorabile
2
1 punct
Sunt 9090 de numere de două cifre, deci sunt 9090 de cazuri posibile
3
2 puncte
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=790p = \dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \dfrac{7}{90}
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(−2,0)A(-2, 0), B(2,0)B(2, 0) și C(0,3)C(0, 3). Calculați aria triunghiului ABCABC.

Rezolvare

1
3 puncte
AB=4AB = 4, CO=3CO = 3 și COCO este înălțime
2
2 puncte
A△ABC=4⋅32=6\mathcal{A}_{\triangle ABC} = \dfrac{4 \cdot 3}{2} = 6
Exercițiul 6
Se consideră E(x)=cos⁡x+sin⁡x2E(x) = \cos x + \sin \dfrac{x}{2}, unde xx este număr real. Calculați E ⁣(π2)E\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right).

Rezolvare

1
3 puncte
E ⁣(π2)=cos⁡π2+sin⁡π4E\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \cos \dfrac{\pi}{2} + \sin \dfrac{\pi}{4}
2
2 puncte
=0+22=22= 0 + \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(a)=(2a+111−a2)A(a) = \begin{pmatrix} 2a + 1 & 1 \\ 1 - a & 2 \end{pmatrix}, unde aa este număr real. a) Calculați det⁡(A(1))\det(A(1)). b) Determinați numărul real aa știind că det⁡(A(a))=1\det(A(a)) = 1. c) Determinați inversa matricei A(0)A(0).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) det⁡(A(1))=∣3102∣=3⋅2−1⋅0\det(A(1)) = \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 3 \cdot 2 - 1 \cdot 0
2
2 puncte
=6= 6
b)5 puncte
3
3 puncte
b) det⁡(A(a))=∣2a+111−a2∣=5a+1\det(A(a)) = \begin{vmatrix} 2a + 1 & 1 \\ 1 - a & 2 \end{vmatrix} = 5a + 1
4
2 puncte
5a+1=1⇒a=05a + 1 = 1 \Rightarrow a = 0
c)5 puncte
5
2 puncte
c) A(0)=(1112)A(0) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}; det⁡(A(0))=1\det(A(0)) = 1
6
3 puncte
(A(0))−1=(2−1−11)(A(0))^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=2xy−3x−3y+6x \circ y = 2xy - 3x - 3y + 6. a) Calculați 1∘21 \circ 2. b) Arătați că x∘y=2 ⁣(x−32) ⁣(y−32)+32x \circ y = 2\!\left(x - \dfrac{3}{2}\right)\!\left(y - \dfrac{3}{2}\right) + \dfrac{3}{2} pentru orice numere reale xx și yy. c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x∘x=2x \circ x = 2.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) 1∘2=2⋅1⋅2−3⋅1−3⋅2+61 \circ 2 = 2 \cdot 1 \cdot 2 - 3 \cdot 1 - 3 \cdot 2 + 6
2
2 puncte
=1= 1
b)5 puncte
3
2 puncte
b) x∘y=2 ⁣(xy−32x−32y+94+34)x \circ y = 2\!\left(xy - \dfrac{3}{2}x - \dfrac{3}{2}y + \dfrac{9}{4} + \dfrac{3}{4}\right)
4
3 puncte
=2 ⁣(x ⁣(y−32)−32 ⁣(y−32))+32=2 ⁣(x−32) ⁣(y−32)+32= 2\!\left(x\!\left(y - \dfrac{3}{2}\right) - \dfrac{3}{2}\!\left(y - \dfrac{3}{2}\right)\right) + \dfrac{3}{2} = 2\!\left(x - \dfrac{3}{2}\right)\!\left(y - \dfrac{3}{2}\right) + \dfrac{3}{2} pentru orice numere reale xx și yy
c)5 puncte
5
3 puncte
c) 2 ⁣(x−32)2+32=2⇒(x−32)2=142\!\left(x - \dfrac{3}{2}\right)^2 + \dfrac{3}{2} = 2 \Rightarrow \left(x - \dfrac{3}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4}
6
2 puncte
x1=1x_1 = 1 și x2=2x_2 = 2

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(−∞,2)→Rf : (-\infty, 2) \to \mathbb{R}, f(x)=e−xx−2f(x) = \dfrac{e^{-x}}{x - 2}. a) Calculați lim⁡x→1f(x)\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x). b) Arătați că f′(x)=(1−x)e−x(x−2)2f'(x) = \dfrac{(1 - x)e^{-x}}{(x - 2)^2}, x∈(−∞,2)x \in (-\infty, 2). c) Arătați că f(x)≤−1ef(x) \leq -\dfrac{1}{e} pentru orice x∈(−∞,2)x \in (-\infty, 2).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) lim⁡x→1f(x)=lim⁡x→1e−xx−2=e−11−2\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \dfrac{e^{-x}}{x - 2} = \dfrac{e^{-1}}{1 - 2}
2
2 puncte
=−1e= -\dfrac{1}{e}
b)5 puncte
3
3 puncte
b) f′(x)=(e−x)′⋅(x−2)−e−x⋅(x−2)′(x−2)2=−e−x(x−2)−e−x(x−2)2f'(x) = \dfrac{(e^{-x})' \cdot (x - 2) - e^{-x} \cdot (x - 2)'}{(x - 2)^2} = \dfrac{-e^{-x}(x - 2) - e^{-x}}{(x - 2)^2}
4
2 puncte
=−e−x(x−1)(x−2)2=(1−x)e−x(x−2)2= \dfrac{-e^{-x}(x - 1)}{(x - 2)^2} = \dfrac{(1 - x)e^{-x}}{(x - 2)^2}, x∈(−∞,2)x \in (-\infty, 2)
c)5 puncte
5
3 puncte
c) f′(1)=0f'(1) = 0, f′(x)>0f'(x) > 0 pentru orice x∈(−∞,1)x \in (-\infty, 1) și f′(x)<0f'(x) < 0 pentru orice x∈(1,2)x \in (1, 2)
6
2 puncte
f(x)≤f(1)⇒f(x)≤−1ef(x) \leq f(1) \Rightarrow f(x) \leq -\dfrac{1}{e} pentru orice x∈(−∞,2)x \in (-\infty, 2)
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡xx+1f(x) = \dfrac{\ln x}{x + 1}. a) Arătați că ∫12(x+1)f(x) dx=2ln⁡2−1\displaystyle\int_1^2 (x + 1) f(x)\, dx = 2\ln 2 - 1. b) Arătați că ∫1e(f(x)+(x+1)⋅f′(x)) dx=1\displaystyle\int_1^e \big(f(x) + (x + 1) \cdot f'(x)\big)\, dx = 1. c) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei OxOx a graficului funcției g:[2,3]→Rg : [2, 3] \to \mathbb{R}, g(x)=ln⁡xf(x)g(x) = \dfrac{\ln x}{f(x)}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫12(x+1)f(x) dx=∫12ln⁡x dx=xln⁡x∣12−∫121 dx\displaystyle\int_1^2 (x + 1) f(x)\, dx = \int_1^2 \ln x\, dx = \left. x \ln x \right|_1^2 - \int_1^2 1\, dx
2
2 puncte
=2ln⁡2−x∣12=2ln⁡2−1= 2\ln 2 - \left. x \right|_1^2 = 2\ln 2 - 1
b)5 puncte
3
3 puncte
b) ∫1e(f(x)+(x+1)⋅f′(x)) dx=∫1e((x+1)⋅f(x))′ dx\displaystyle\int_1^e \big(f(x) + (x + 1) \cdot f'(x)\big)\, dx = \int_1^e \big((x + 1) \cdot f(x)\big)'\, dx
4
2 puncte
=(x+1)f(x)∣1e=ln⁡e=1= \left. (x + 1) f(x) \right|_1^e = \ln e = 1
c)5 puncte
5
2 puncte
c) V=π∫23g2(x) dx=π∫23(x+1)2 dxV = \pi \displaystyle\int_2^3 g^2(x)\, dx = \pi \int_2^3 (x + 1)^2\, dx
6
3 puncte
=π⋅(x+1)33∣23=37π3= \pi \cdot \left. \dfrac{(x + 1)^3}{3} \right|_2^3 = \dfrac{37\pi}{3}

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Specială 2014 — Matematică-Informatică (Varianta 9)

Următor →

Bac Specială 2014 — Tehnologic (Varianta 9)

← Înapoi la arhiva completă Bac