BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Specială 2015 — Tehnologic

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că (2−12):310=5\left(2 - \dfrac{1}{2}\right) : \dfrac{3}{10} = 5.

Rezolvare

1
3 puncte
2−12=322 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}.
2
2 puncte
32⋅103=5\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{10}{3} = 5.
Exercițiul 2
Calculați f(−2)+f(2)f(-2) + f(2), unde f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−4f(x) = x^2 - 4.

Rezolvare

1
2 puncte
f(−2)=0f(-2) = 0, f(2)=0f(2) = 0.
2
3 puncte
f(−2)+f(2)=0f(-2) + f(2) = 0.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2x−1=3\sqrt{2x - 1} = 3.

Rezolvare

1
3 puncte
2x−1=92x - 1 = 9.
2
2 puncte
x=5x = 5, care verifică ecuația.
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}, acesta să fie multiplu de 55.

Rezolvare

1
1 punct
Mulțimea AA are 1010 elemente, deci sunt 1010 cazuri posibile.
2
2 puncte
În mulțimea AA sunt 22 multipli de 55, deci sunt 22 cazuri favorabile.
3
2 puncte
p=210=15p = \dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5}.
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele O(0,0)O(0, 0), M(0,4)M(0, 4) și N(4,0)N(4, 0). Arătați că triunghiul MONMON este isoscel.

Rezolvare

1
2 puncte
MO=4MO = 4.
2
3 puncte
ON=4ON = 4, deci △MON\triangle MON este isoscel.
Exercițiul 6
Calculați aria triunghiului ABCABC dreptunghic în AA, știind că AB=10AB = 10 și AC=12AC = 12.

Rezolvare

1
3 puncte
A△ABC=AB⋅AC2=10⋅122\mathcal{A}_{\triangle ABC} = \dfrac{AB \cdot AC}{2} = \dfrac{10 \cdot 12}{2}.
2
2 puncte
=60= 60.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele A=(3−25−3)A = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 5 & -3 \end{pmatrix} și I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. a) Arătați că det⁡A=1\det A = 1. b) Arătați că A⋅A+I2=O2A \cdot A + I_2 = O_2, unde O2=(0000)O_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}. c) Demonstrați că det⁡(A−aI2)≥1\det(A - aI_2) \geq 1, pentru orice număr real aa.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) det⁡A=3⋅(−3)−(−2)⋅5\det A = 3 \cdot (-3) - (-2) \cdot 5.
2
2 puncte
=−9+10=1= -9 + 10 = 1.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) A⋅A=(−100−1)A \cdot A = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}.
4
2 puncte
A⋅A+I2=(−1+100−1+1)=(0000)=O2A \cdot A + I_2 = \begin{pmatrix} -1 + 1 & 0 \\ 0 & -1 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = O_2.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) A−aI2=(3−a−25−3−a)A - aI_2 = \begin{pmatrix} 3 - a & -2 \\ 5 & -3 - a \end{pmatrix}, deci det⁡(A−aI2)=−9+a2+10=a2+1\det(A - aI_2) = -9 + a^2 + 10 = a^2 + 1.
6
2 puncte
=a2+1≥1= a^2 + 1 \geq 1, pentru orice număr real aa.
Exercițiul 2
Se consideră polinomul f=X3+5X2+X+5f = X^3 + 5X^2 + X + 5. a) Arătați că f(−5)=0f(-5) = 0. b) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului ff la polinomul X2+6X+5X^2 + 6X + 5. c) Demonstrați că x3x1x2+x2x1x3+x1x2x3=−235\dfrac{x_3}{x_1 x_2} + \dfrac{x_2}{x_1 x_3} + \dfrac{x_1}{x_2 x_3} = -\dfrac{23}{5}, unde x1x_1, x2x_2 și x3x_3 sunt rădăcinile polinomului ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f(−5)=(−5)3+5⋅(−5)2+(−5)+5f(-5) = (-5)^3 + 5 \cdot (-5)^2 + (-5) + 5.
2
2 puncte
=−125+125−5+5=0= -125 + 125 - 5 + 5 = 0.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Câtul este X−1X - 1.
4
2 puncte
Restul este 2X+102X + 10.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) x1+x2+x3=−5x_1 + x_2 + x_3 = -5, x1x2+x1x3+x2x3=1x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = 1, x1x2x3=−5x_1 x_2 x_3 = -5.
6
2 puncte
x3x1x2+x2x1x3+x1x2x3=(x1+x2+x3)2−2(x1x2+x1x3+x2x3)x1x2x3=(−5)2−2⋅1−5=−235\dfrac{x_3}{x_1 x_2} + \dfrac{x_2}{x_1 x_3} + \dfrac{x_1}{x_2 x_3} = \dfrac{(x_1 + x_2 + x_3)^2 - 2(x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3)}{x_1 x_2 x_3} = \dfrac{(-5)^2 - 2 \cdot 1}{-5} = -\dfrac{23}{5}.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x4−2x2+1f(x) = x^4 - 2x^2 + 1. a) Arătați că f′(x)=4x(x−1)(x+1)f'(x) = 4x(x - 1)(x + 1), x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x=1x = 1, situat pe graficul funcției ff. c) Demonstrați că 0≤f(x)≤10 \leq f(x) \leq 1, pentru orice x∈[−1,1]x \in [-1, 1].

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=4x3−4xf'(x) = 4x^3 - 4x.
2
2 puncte
=4x(x2−1)=4x(x−1)(x+1)= 4x(x^2 - 1) = 4x(x - 1)(x + 1), x∈Rx \in \mathbb{R}.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) f(1)=0f(1) = 0, f′(1)=0f'(1) = 0.
4
3 puncte
Ecuația tangentei este y−f(1)=f′(1)(x−1)y - f(1) = f'(1)(x - 1), deci y=0y = 0.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) f′(−1)=f′(0)=f′(1)=0f'(-1) = f'(0) = f'(1) = 0, f′(x)≥0f'(x) \geq 0 pentru x∈[−1,0]x \in [-1, 0] și f′(x)≤0f'(x) \leq 0 pentru x∈[0,1]x \in [0, 1].
6
3 puncte
f(−1)=f(1)=0f(-1) = f(1) = 0 și f(0)=1f(0) = 1, deci 0≤f(x)≤10 \leq f(x) \leq 1, pentru orice x∈[−1,1]x \in [-1, 1].
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x2+xf(x) = x^2 + \sqrt{x}. a) Arătați că ∫13(f(x)−x)dx=263\displaystyle\int_1^3 \left(f(x) - \sqrt{x}\right) dx = \dfrac{26}{3}. b) Demonstrați că funcția F:(0,+∞)→RF : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, F(x)=x33+2xx3+2015F(x) = \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{2x\sqrt{x}}{3} + 2015 este o primitivă a funcției ff. c) Arătați că suprafața delimitată de graficul funcției g:(0,+∞)→Rg : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, g(x)=(f(x)−x)exg(x) = \left(f(x) - \sqrt{x}\right) e^x, axa OxOx și dreptele de ecuații x=1x = 1 și x=2x = 2 are aria egală cu e(2e−1)e(2e - 1).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫13(f(x)−x)dx=∫13x2 dx=x33∣13\displaystyle\int_1^3 \left(f(x) - \sqrt{x}\right) dx = \int_1^3 x^2\, dx = \left.\dfrac{x^3}{3}\right|_1^3.
2
2 puncte
=273−13=263= \dfrac{27}{3} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{26}{3}.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) F′(x)=3x23+23(x+x⋅12x)F'(x) = \dfrac{3x^2}{3} + \dfrac{2}{3} \left(\sqrt{x} + x \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\right).
4
2 puncte
=x2+x=f(x)= x^2 + \sqrt{x} = f(x), pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty), deci FF este o primitivă a funcției ff.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) A=∫12x2ex dx=x2ex∣12−2(xex∣12−∫12ex dx)\mathcal{A} = \displaystyle\int_1^2 x^2 e^x\, dx = \left.x^2 e^x\right|_1^2 - 2\left(\left.xe^x\right|_1^2 - \int_1^2 e^x\, dx\right).
6
2 puncte
=4e2−e−2(2e2−e)+2ex∣12=2e2−e=e(2e−1)= 4e^2 - e - 2(2e^2 - e) + 2e^x\Big|_1^2 = 2e^2 - e = e(2e - 1).

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Specială 2015 — Științele Naturii (Varianta 9)

Următor →

Bac Vară Rezervă 2015 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac