BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Specială 2016 — Matematică-Informatică (Varianta 01)

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Determinați al patrulea termen al progresiei aritmetice (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1}, știind că a1=1a_1 = 1 și a2=4a_2 = 4.

Rezolvare

1
2 puncte
r=4−1=3r = 4 - 1 = 3
2
3 puncte
a4=1+3⋅3=10a_4 = 1 + 3 \cdot 3 = 10
Exercițiul 2
Determinați numărul real aa, știind că punctul A(1,a)A(1, a) aparține graficului funcției f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+4f(x) = x^2 + 4.

Rezolvare

1
3 puncte
f(1)=a⇒12+4=af(1) = a \Rightarrow 1^2 + 4 = a
2
2 puncte
a=5a = 5
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 9x−2=32−x9^{x - 2} = 3^{2 - x}.

Rezolvare

1
3 puncte
32(x−2)=32−x⇔2x−4=2−x3^{2(x - 2)} = 3^{2 - x} \Leftrightarrow 2x - 4 = 2 - x
2
2 puncte
x=2x = 2
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie mai mic sau egal cu 3030.

Rezolvare

1
1 punct
Sunt 9090 de numere naturale de două cifre, deci sunt 9090 de cazuri posibile
2
2 puncte
Sunt 2121 de numere naturale de două cifre care sunt mai mici sau egale cu 3030, deci sunt 2121 de cazuri favorabile
3
2 puncte
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=2190=730p = \dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \dfrac{21}{90} = \dfrac{7}{30}
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctul A(0,3)A(0, 3). Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul AA și are panta egală cu 11.

Rezolvare

1
3 puncte
y−3=1⋅(x−0)y - 3 = 1 \cdot (x - 0)
2
2 puncte
y=x+3y = x + 3
Exercițiul 6
Se consideră triunghiul ABCABC, cu AB=10AB = 10, AC=10AC = 10 și BC=12BC = 12. Arătați că sin⁡B=45\sin B = \dfrac{4}{5}.

Rezolvare

1
2 puncte
AD=8AD = 8, unde AD⊥BCAD \perp BC, D∈BCD \in BC
2
3 puncte
sin⁡B=ADAB=45\sin B = \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{4}{5}

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(m)=(−m111−m111−m)A(m) = \begin{pmatrix} -m & 1 & 1 \\ 1 & -m & 1 \\ 1 & 1 & -m \end{pmatrix} și sistemul de ecuații {−mx+y+z=−1x−my+z=−1x+y−mz=m\begin{cases} -mx + y + z = -1 \\ x - my + z = -1 \\ x + y - mz = m \end{cases}, unde mm este număr real. a) Arătați că det⁡(A(0))=2\det(A(0)) = 2. b) Demonstrați că matricea A(m)A(m) este inversabilă, pentru orice număr real mm, m≠−1m \neq -1 și m≠2m \neq 2. c) Pentru m=2m = 2, determinați soluția (x0,y0,z0)(x_0, y_0, z_0) a sistemului pentru care x0+2y0+3z0=9x_0 + 2y_0 + 3z_0 = 9.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) A(0)=(011101110)⇒det⁡(A(0))=∣011101110∣A(0) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(0)) = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}
2
3 puncte
=0+1+1−0−0−0=2= 0 + 1 + 1 - 0 - 0 - 0 = 2
b)5 puncte
3
3 puncte
b) det⁡(A(m))=∣−m111−m111−m∣=(2−m)(m+1)2\det(A(m)) = \begin{vmatrix} -m & 1 & 1 \\ 1 & -m & 1 \\ 1 & 1 & -m \end{vmatrix} = (2 - m)(m + 1)^2
4
2 puncte
Pentru orice număr real mm, m≠−1m \neq -1 și m≠2m \neq 2, obținem det⁡(A(m))≠0\det(A(m)) \neq 0, deci matricea A(m)A(m) este inversabilă
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Pentru m=2m = 2, sistemul este compatibil nedeterminat și soluțiile sistemului sunt de forma (1+α,1+α,α)(1 + \alpha, 1 + \alpha, \alpha), unde α∈R\alpha \in \mathbb{R}
6
2 puncte
Cum x0+2y0+3z0=9⇔1+α+2(1+α)+3α=9⇔α=1x_0 + 2y_0 + 3z_0 = 9 \Leftrightarrow 1 + \alpha + 2(1 + \alpha) + 3\alpha = 9 \Leftrightarrow \alpha = 1, soluția sistemului care verifică relația este (2,2,1)(2, 2, 1)
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=−2xy+10x+10y−45x * y = -2xy + 10x + 10y - 45. a) Arătați că x∗y=−2(x−5)(y−5)+5x * y = -2(x - 5)(y - 5) + 5, pentru orice numere reale xx și yy. b) Arătați că 1∗2∗3∗4∗5∗6∗7∗8∗9∗10=51 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * 10 = 5. c) Determinați numerele naturale mm și nn, pentru care m∗n=27m * n = 27.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) x∗y=−2xy+10x+10y−50+5x * y = -2xy + 10x + 10y - 50 + 5
2
3 puncte
=−2x(y−5)+10(y−5)+5=−2(x−5)(y−5)+5= -2x(y - 5) + 10(y - 5) + 5 = -2(x - 5)(y - 5) + 5, pentru orice numere reale xx și yy
b)5 puncte
3
2 puncte
b) x∗5=5∗y=5x * 5 = 5 * y = 5, pentru xx și yy numere reale
4
3 puncte
((1∗2∗3∗4)∗5)∗(6∗7∗8∗9∗10)=5∗(6∗7∗8∗9∗10)=5((1 * 2 * 3 * 4) * 5) * (6 * 7 * 8 * 9 * 10) = 5 * (6 * 7 * 8 * 9 * 10) = 5
c)5 puncte
5
2 puncte
c) −2(m−5)(n−5)+5=27⇔(m−5)(n−5)=−11-2(m - 5)(n - 5) + 5 = 27 \Leftrightarrow (m - 5)(n - 5) = -11
6
3 puncte
Cum mm și nn sunt numere naturale, obținem m=4m = 4, n=16n = 16 sau m=16m = 16, n=4n = 4

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x2−8ln⁡xf(x) = x^2 - 8\ln x. a) Arătați că f′(x)=2(x−2)(x+2)xf'(x) = \dfrac{2(x - 2)(x + 2)}{x}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty). b) Determinați intervalele de monotonie ale funcției ff. c) Demonstrați că ecuația f(x)=0f(x) = 0 are două soluții reale distincte.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) f′(x)=2x−8xf'(x) = 2x - \dfrac{8}{x}
2
3 puncte
=2x2−8x=2(x−2)(x+2)x= \dfrac{2x^2 - 8}{x} = \dfrac{2(x - 2)(x + 2)}{x}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
b)5 puncte
3
1 punct
b) Cum x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty), f′(x)=0⇔x=2f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 2
4
2 puncte
x∈(0,2]⇒f′(x)≤0x \in (0, 2] \Rightarrow f'(x) \leq 0, deci ff este descrescătoare pe (0,2](0, 2]
5
2 puncte
x∈[2,+∞)⇒f′(x)≥0x \in [2, +\infty) \Rightarrow f'(x) \geq 0, deci ff este crescătoare pe [2,+∞)[2, +\infty)
c)5 puncte
6
2 puncte
c) lim⁡x→0x>0f(x)=lim⁡x→0x>0(x2−8ln⁡x)=+∞\displaystyle\lim_{\substack{x \to 0 \\ x > 0}} f(x) = \lim_{\substack{x \to 0 \\ x > 0}} (x^2 - 8\ln x) = +\infty, lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞x2 ⁣(1−8ln⁡xx2)=+∞\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} x^2\!\left(1 - \dfrac{8\ln x}{x^2}\right) = +\infty
7
3 puncte
Cum f(2)<0f(2) < 0, ecuația f(x)=0f(x) = 0 are două soluții reale distincte
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(4,+∞)→Rf : (4, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=1x(x−4)f(x) = \dfrac{1}{x(x - 4)}. a) Arătați că ∫510(x−4)f(x) dx=ln⁡2\displaystyle\int_5^{10} (x - 4) f(x)\, dx = \ln 2. b) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei OxOx a graficului funcției g:[5,6]→Rg : [5, 6] \to \mathbb{R}, g(x)=x⋅f(x)g(x) = x \cdot f(x). c) Demonstrați că lim⁡n→+∞(n2∫nn+1f(x) dx)=1\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left(n^2 \int_n^{n+1} f(x)\, dx\right) = 1.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫510(x−4)f(x) dx=∫5101x dx=ln⁡x∣510\displaystyle\int_5^{10} (x - 4) f(x)\, dx = \int_5^{10} \dfrac{1}{x}\, dx = \left. \ln x \right|_5^{10}
2
2 puncte
=ln⁡10−ln⁡5=ln⁡2= \ln 10 - \ln 5 = \ln 2
b)5 puncte
3
2 puncte
b) g(x)=1x−4g(x) = \dfrac{1}{x - 4}, deci V=π∫56g2(x) dx=π∫561(x−4)2 dxV = \pi \displaystyle\int_5^6 g^2(x)\, dx = \pi \int_5^6 \dfrac{1}{(x - 4)^2}\, dx
4
3 puncte
=π(−1x−4)∣56=π2= \pi \left. \left(-\dfrac{1}{x - 4}\right) \right|_5^6 = \dfrac{\pi}{2}
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Pentru n>4n > 4, ∫nn+1f(x) dx=∫nn+11x(x−4) dx=14∫nn+1(1x−4−1x) dx=14ln⁡n2−3nn2−3n−4\displaystyle\int_n^{n+1} f(x)\, dx = \int_n^{n+1} \dfrac{1}{x(x - 4)}\, dx = \dfrac{1}{4} \int_n^{n+1} \left(\dfrac{1}{x - 4} - \dfrac{1}{x}\right)\, dx = \dfrac{1}{4} \ln \dfrac{n^2 - 3n}{n^2 - 3n - 4}
6
3 puncte
lim⁡n→+∞(n2∫nn+1f(x) dx)=lim⁡n→+∞ln⁡ ⁣(1+4n2−3n−4)4n24(n2−3n−4)=ln⁡e=1\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left(n^2 \int_n^{n+1} f(x)\, dx\right) = \lim_{n \to +\infty} \ln\!\left(1 + \dfrac{4}{n^2 - 3n - 4}\right)^{\dfrac{4n^2}{4(n^2 - 3n - 4)}} = \ln e = 1

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Vară 2016 — Tehnologic

Următor →

Bac Specială 2016 — Științele Naturii (Varianta 01)

← Înapoi la arhiva completă Bac