BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Specială 2016 — Științele Naturii (Varianta 01)

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că (5+2)2−45=9(\sqrt{5} + 2)^2 - 4\sqrt{5} = 9.

Rezolvare

1
3 puncte
(5+2)2=9+45(\sqrt{5} + 2)^2 = 9 + 4\sqrt{5}
2
2 puncte
9+45−45=99 + 4\sqrt{5} - 4\sqrt{5} = 9
Exercițiul 2
Determinați numărul real mm, știind că punctul M(m,4)M(m, 4) aparține graficului funcției f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x+2f(x) = x + 2.

Rezolvare

1
3 puncte
f(m)=4⇒m+2=4f(m) = 4 \Rightarrow m + 2 = 4
2
2 puncte
m=2m = 2
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡4(x2+9)=log⁡425\log_4(x^2 + 9) = \log_4 25.

Rezolvare

1
2 puncte
x2+9=25⇒x2−16=0x^2 + 9 = 25 \Rightarrow x^2 - 16 = 0
2
3 puncte
x=−4x = -4 sau x=4x = 4, care verifică ecuația
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea M={1,2,3,4,5,6,7,8,9}M = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}, acesta să fie divizibil cu 22.

Rezolvare

1
1 punct
Mulțimea MM are 99 elemente, deci sunt 99 cazuri posibile
2
2 puncte
În mulțimea MM sunt 44 numere divizibile cu 22, deci sunt 44 cazuri favorabile
3
2 puncte
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=49p = \dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \dfrac{4}{9}
Exercițiul 5
Determinați numărul real aa, pentru care vectorii u⃗=(a−1)i⃗−3j⃗\vec{u} = (a - 1)\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=2i⃗−6j⃗\vec{v} = 2\vec{i} - 6\vec{j} sunt coliniari.

Rezolvare

1
3 puncte
a−12=−3−6\dfrac{a - 1}{2} = \dfrac{-3}{-6}
2
2 puncte
a=2a = 2
Exercițiul 6
Dacă x∈(0,π2)x \in \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right) și cos⁡x=12\cos x = \dfrac{1}{2}, arătați că sin⁡2x=32\sin 2x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.

Rezolvare

1
2 puncte
Cum x∈(0,π2)x \in \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right), obținem sin⁡x=32\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}
2
3 puncte
sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x=2⋅32⋅12=32\sin 2x = 2 \sin x \cos x = 2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(x)=(1+3x2x−6x1−4x)A(x) = \begin{pmatrix} 1 + 3x & 2x \\ -6x & 1 - 4x \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡(A(0))=1\det(A(0)) = 1. b) Demonstrați că A(x)⋅A(y)=A(x+y−xy)A(x) \cdot A(y) = A(x + y - xy), pentru orice numere reale xx și yy. c) Determinați numărul real xx, știind că A(2x)⋅A(2x)=A(1)A(2^x) \cdot A(2^x) = A(1).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) A(0)=(1001)⇒det⁡(A(0))=∣1001∣A(0) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(0)) = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}
2
3 puncte
=1⋅1−0⋅0=1= 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0 = 1
b)5 puncte
3
3 puncte
b) A(x)⋅A(y)=(1+3x2x−6x1−4x)(1+3y2y−6y1−4y)=(1+3x+3y−3xy2x+2y−2xy−6x−6y+6xy1−4x−4y+4xy)A(x) \cdot A(y) = \begin{pmatrix} 1 + 3x & 2x \\ -6x & 1 - 4x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 + 3y & 2y \\ -6y & 1 - 4y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 3x + 3y - 3xy & 2x + 2y - 2xy \\ -6x - 6y + 6xy & 1 - 4x - 4y + 4xy \end{pmatrix}
4
2 puncte
=(1+3(x+y−xy)2(x+y−xy)−6(x+y−xy)1−4(x+y−xy))=A(x+y−xy)= \begin{pmatrix} 1 + 3(x + y - xy) & 2(x + y - xy) \\ -6(x + y - xy) & 1 - 4(x + y - xy) \end{pmatrix} = A(x + y - xy), pentru orice numere reale xx și yy
c)5 puncte
5
3 puncte
c) A(2x)⋅A(2x)=A(1)⇔2x+2x−2x⋅2x=1A(2^x) \cdot A(2^x) = A(1) \Leftrightarrow 2^x + 2^x - 2^x \cdot 2^x = 1
6
2 puncte
(2x−1)2=0⇔x=0(2^x - 1)^2 = 0 \Leftrightarrow x = 0
Exercițiul 2
Se consideră polinomul f=X3−X2+aX+2f = X^3 - X^2 + aX + 2, unde aa este număr real. a) Arătați că f(−1)+f(1)=2f(-1) + f(1) = 2, pentru orice număr real aa. b) Determinați numărul real aa, pentru care polinomul ff este divizibil cu polinomul X2−2X+2X^2 - 2X + 2. c) Demonstrați că x13+x23+x33+3x1x2+3x2x3+3x1x3=−5x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 + 3x_1 x_2 + 3x_2 x_3 + 3x_1 x_3 = -5, pentru orice număr real aa, unde x1x_1, x2x_2 și x3x_3 sunt rădăcinile polinomului ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) f(−1)=(−1)3−(−1)2+a⋅(−1)+2=−af(-1) = (-1)^3 - (-1)^2 + a \cdot (-1) + 2 = -a
2
3 puncte
f(1)=13−12+a⋅1+2=a+2⇒f(−1)+f(1)=−a+a+2=2f(1) = 1^3 - 1^2 + a \cdot 1 + 2 = a + 2 \Rightarrow f(-1) + f(1) = -a + a + 2 = 2, pentru orice număr real aa
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Restul împărțirii polinomului ff la polinomul X2−2X+2X^2 - 2X + 2 este aXaX
4
2 puncte
Polinomul ff este divizibil cu polinomul X2−2X+2⇔a=0X^2 - 2X + 2 \Leftrightarrow a = 0
c)5 puncte
5
3 puncte
c) x1+x2+x3=1x_1 + x_2 + x_3 = 1, x1x2+x2x3+x1x3=a⇒x12+x22+x32=1−2ax_1 x_2 + x_2 x_3 + x_1 x_3 = a \Rightarrow x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 1 - 2a
6
1 punct
x13+x23+x33=(x12+x22+x32)−a(x1+x2+x3)−6=1−2a−a−6=−3a−5x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = (x_1^2 + x_2^2 + x_3^2) - a(x_1 + x_2 + x_3) - 6 = 1 - 2a - a - 6 = -3a - 5
7
1 punct
x13+x23+x33+3(x1x2+x2x3+x1x3)=−3a−5+3a=−5x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 + 3(x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_1 x_3) = -3a - 5 + 3a = -5, pentru orice număr real aa

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(3,+∞)→Rf : (3, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x2+2x−11x−3f(x) = \dfrac{x^2 + 2x - 11}{x - 3}. a) Arătați că f′(x)=(x−1)(x−5)(x−3)2f'(x) = \dfrac{(x - 1)(x - 5)}{(x - 3)^2}, x∈(3,+∞)x \in (3, +\infty). b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre +∞+\infty la graficul funcției ff. c) Demonstrați că f(π)>13f(\pi) > 13.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=(2x+2)(x−3)−(x2+2x−11)(x−3)2f'(x) = \dfrac{(2x + 2)(x - 3) - (x^2 + 2x - 11)}{(x - 3)^2}
2
2 puncte
=x2−6x+5(x−3)2=(x−1)(x−5)(x−3)2= \dfrac{x^2 - 6x + 5}{(x - 3)^2} = \dfrac{(x - 1)(x - 5)}{(x - 3)^2}, x∈(3,+∞)x \in (3, +\infty)
b)5 puncte
3
2 puncte
b) lim⁡x→+∞f(x)x=lim⁡x→+∞x2+2x−11x(x−3)=1\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^2 + 2x - 11}{x(x - 3)} = 1
4
3 puncte
lim⁡x→+∞(f(x)−x)=lim⁡x→+∞x2+2x−11−x2+3xx−3=lim⁡x→+∞5x−11x−3=5\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (f(x) - x) = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^2 + 2x - 11 - x^2 + 3x}{x - 3} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{5x - 11}{x - 3} = 5, deci dreapta de ecuație y=x+5y = x + 5 este asimptotă oblică spre +∞+\infty la graficul funcției ff
c)5 puncte
5
3 puncte
c) f′(x)<0f'(x) < 0, pentru orice x∈(3,5)⇒fx \in (3, 5) \Rightarrow f este strict descrescătoare pe (3,5)(3, 5)
6
2 puncte
Cum 3<π<43 < \pi < 4 și f(4)=13f(4) = 13, obținem f(π)>13f(\pi) > 13
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=(3x+1)exf(x) = (3x + 1)e^x. a) Arătați că ∫011exf(x) dx=52\displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{e^x} f(x)\, dx = \dfrac{5}{2}. b) Determinați numărul real mm, pentru care funcția F:R→RF : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, F(x)=(3x+m)exF(x) = (3x + m)e^x este o primitivă a funcției ff. c) Determinați numărul real nenul aa, știind că ∫0af(x) dx=3a\displaystyle\int_0^a f(x)\, dx = 3a.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) ∫011exf(x) dx=∫01(3x+1) dx\displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{e^x} f(x)\, dx = \int_0^1 (3x + 1)\, dx
2
3 puncte
=(3x22+x)∣01=32+1=52= \left.\left(\dfrac{3x^2}{2} + x\right)\right|_0^1 = \dfrac{3}{2} + 1 = \dfrac{5}{2}
b)5 puncte
3
3 puncte
b) F′(x)=(3x+m)′ex+(3x+m)(ex)′=3ex+(3x+m)ex=(3x+m+3)exF'(x) = (3x + m)' e^x + (3x + m)(e^x)' = 3e^x + (3x + m)e^x = (3x + m + 3)e^x
4
2 puncte
F′(x)=f(x)⇔(3x+m+3)ex=(3x+1)exF'(x) = f(x) \Leftrightarrow (3x + m + 3)e^x = (3x + 1)e^x, pentru orice număr real xx, deci m=−2m = -2
c)5 puncte
5
2 puncte
c) ∫0a(3x+1)ex dx=(3x−2)ex∣0a=(3a−2)ea+2\displaystyle\int_0^a (3x + 1)e^x\, dx = \left.(3x - 2)e^x\right|_0^a = (3a - 2)e^a + 2
6
3 puncte
(3a−2)ea+2=3a⇔(3a−2)(ea−1)=0(3a - 2)e^a + 2 = 3a \Leftrightarrow (3a - 2)(e^a - 1) = 0 și, cum aa este număr real nenul, obținem a=23a = \dfrac{2}{3}

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Specială 2016 — Matematică-Informatică (Varianta 01)

Următor →

Bac Specială 2016 — Tehnologic (Varianta 01)

← Înapoi la arhiva completă Bac