BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Specială 2017 — Matematică-Informatică (Varianta 4)

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Calculați suma numerelor întregi din intervalul (−5,5)(-5, 5).

Rezolvare

1
3 puncte
(−4)+(−3)+(−2)+(−1)+0+1+2+3+4(-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4
2
2 puncte
=0= 0
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−1f(x) = x^2 - 1. Calculați (f∘f)(1)(f \circ f)(1).

Rezolvare

1
2 puncte
f(1)=0f(1) = 0
2
3 puncte
(f∘f)(1)=f(f(1))=f(0)=−1(f \circ f)(1) = f(f(1)) = f(0) = -1
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x+3=x−3\sqrt{x + 3} = x - 3.

Rezolvare

1
3 puncte
x+3=x2−6x+9⇒x2−7x+6=0x + 3 = x^2 - 6x + 9 \Rightarrow x^2 - 7x + 6 = 0
2
2 puncte
x=1x = 1 care nu convine, x=6x = 6 care convine
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A={1,2,3,…,100}A = \{1, 2, 3, \ldots, 100\}, acesta să fie multiplu de 1111.

Rezolvare

1
2 puncte
În mulțimea AA sunt 100100 de numere, deci sunt 100100 de cazuri posibile
2
2 puncte
În mulțimea AA sunt 99 numere care sunt multipli de 1111, deci sunt 99 cazuri favorabile
3
1 punct
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=9100p = \dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \dfrac{9}{100}
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele M(2,2)M(2, 2) și N(4,2)N(4, 2). Determinați coordonatele punctului PP, situat pe axa OxOx, astfel încât PM=PNPM = PN.

Rezolvare

1
2 puncte
P∈Ox⇒yP=0P \in Ox \Rightarrow y_P = 0
2
3 puncte
PM=PN⇔(2−xP)2+(2−0)2=(4−xP)2+(2−0)2⇔xP=3PM = PN \Leftrightarrow (2 - x_P)^2 + (2 - 0)^2 = (4 - x_P)^2 + (2 - 0)^2 \Leftrightarrow x_P = 3
Exercițiul 6
Calculați lungimea razei cercului circumscris unui triunghi ABCABC, în care AB=62AB = 6\sqrt{2} și C=π4C = \dfrac{\pi}{4}.

Rezolvare

1
3 puncte
ABsin⁡C=2R⇒R=622⋅22\dfrac{AB}{\sin C} = 2R \Rightarrow R = \dfrac{6\sqrt{2}}{2 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}}
2
2 puncte
=6= 6

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(x)=(11112x4x1x2x)A(x) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2^x & 4^x \\ 1 & x & 2x \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡(A(1))=1\det(A(1)) = 1. b) Demonstrați că det⁡(A(x))=(2x−1)(2x+x−x⋅2x)\det(A(x)) = (2^x - 1)(2^x + x - x \cdot 2^x), pentru orice număr real xx. c) Arătați că A(1)+A(2)+A(3)+…+A(2017)=(20172017201720172(22017−1)43(42017−1)20172017⋅10092017⋅2018)A(1) + A(2) + A(3) + \ldots + A(2017) = \begin{pmatrix} 2017 & 2017 & 2017 \\ 2017 & 2(2^{2017} - 1) & \dfrac{4}{3}(4^{2017} - 1) \\ 2017 & 2017 \cdot 1009 & 2017 \cdot 2018 \end{pmatrix}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) A(1)=(111124112)⇒det⁡(A(1))=∣111124112∣A(1) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(1)) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix}
2
3 puncte
=4+1+4−2−4−2=1= 4 + 1 + 4 - 2 - 4 - 2 = 1
b)5 puncte
3
3 puncte
b) det⁡(A(x))=∣11112x4x1x2x∣=∣11102x−14x−10x−12x−1∣=(2x−1)∣12x+1x−12x−1∣\det(A(x)) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2^x & 4^x \\ 1 & x & 2x \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2^x - 1 & 4^x - 1 \\ 0 & x - 1 & 2x - 1 \end{vmatrix} = (2^x - 1) \begin{vmatrix} 1 & 2^x + 1 \\ x - 1 & 2x - 1 \end{vmatrix}
4
2 puncte
=(2x−1)(2x−1−x⋅2x+2x−x+1)=(2x−1)(2x+x−x⋅2x)= (2^x - 1)(2x - 1 - x \cdot 2^x + 2^x - x + 1) = (2^x - 1)(2^x + x - x \cdot 2^x), pentru orice număr real xx
c)5 puncte
5
3 puncte
c) A(1)+A(2)+…+A(2017)=(201720172017201721+22+…+2201741+42+…+4201720172017⋅10092017⋅2018)A(1) + A(2) + \ldots + A(2017) = \begin{pmatrix} 2017 & 2017 & 2017 \\ 2017 & 2^1 + 2^2 + \ldots + 2^{2017} & 4^1 + 4^2 + \ldots + 4^{2017} \\ 2017 & 2017 \cdot 1009 & 2017 \cdot 2018 \end{pmatrix}
6
2 puncte
=(20172017201720172(22017−1)43(42017−1)20172017⋅10092017⋅2018)= \begin{pmatrix} 2017 & 2017 & 2017 \\ 2017 & 2(2^{2017} - 1) & \dfrac{4}{3}(4^{2017} - 1) \\ 2017 & 2017 \cdot 1009 & 2017 \cdot 2018 \end{pmatrix}
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=7xy+7x+7y+6x * y = 7xy + 7x + 7y + 6. a) Arătați că x∗y=7(x+1)(y+1)−1x * y = 7(x + 1)(y + 1) - 1, pentru orice numere reale xx și yy. b) Determinați numerele reale xx pentru care x∗x∗x=xx * x * x = x. c) Demonstrați că, dacă aa, bb și cc sunt numere naturale astfel încât a∗b∗c=48a * b * c = 48, atunci numerele aa, bb și cc sunt egale.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) x∗y=7xy+7x+7y+7−1x * y = 7xy + 7x + 7y + 7 - 1
2
3 puncte
=7x(y+1)+7(y+1)−1=7(x+1)(y+1)−1= 7x(y + 1) + 7(y + 1) - 1 = 7(x + 1)(y + 1) - 1, pentru orice numere reale xx și yy
b)5 puncte
3
2 puncte
b) x∗x∗x=72(x+1)3−1x * x * x = 7^2(x + 1)^3 - 1, deci 72(x+1)3−1=x7^2(x + 1)^3 - 1 = x
4
3 puncte
(x+1)(72(x+1)2−1)=0⇔x=−87(x + 1)(7^2(x + 1)^2 - 1) = 0 \Leftrightarrow x = -\dfrac{8}{7} sau x=−1x = -1 sau x=−67x = -\dfrac{6}{7}
c)5 puncte
5
2 puncte
c) 49(a+1)(b+1)(c+1)−1=48⇔(a+1)(b+1)(c+1)=149(a + 1)(b + 1)(c + 1) - 1 = 48 \Leftrightarrow (a + 1)(b + 1)(c + 1) = 1
6
3 puncte
Cum aa, bb și cc sunt numere naturale, obținem a+1=b+1=c+1=1a + 1 = b + 1 = c + 1 = 1, deci a=b=ca = b = c

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−3exf(x) = \dfrac{x^2 - 3}{e^x}. a) Arătați că f′(x)=−x2+2x+3exf'(x) = \dfrac{-x^2 + 2x + 3}{e^x}, x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x=−1x = -1, situat pe graficul funcției ff. c) Demonstrați că −2e≤f(x)≤6e3-2e \leq f(x) \leq \dfrac{6}{e^3}, pentru orice x∈[−1,+∞)x \in [-1, +\infty).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=(x2−3)′⋅ex−(x2−3)⋅(ex)′(ex)2=2xex−(x2−3)ex(ex)2f'(x) = \dfrac{(x^2 - 3)' \cdot e^x - (x^2 - 3) \cdot (e^x)'}{(e^x)^2} = \dfrac{2xe^x - (x^2 - 3)e^x}{(e^x)^2}
2
2 puncte
=ex(2x−x2+3)(ex)2=−x2+2x+3ex= \dfrac{e^x(2x - x^2 + 3)}{(e^x)^2} = \dfrac{-x^2 + 2x + 3}{e^x}, x∈Rx \in \mathbb{R}
b)5 puncte
3
2 puncte
b) f(−1)=−2ef(-1) = -2e, f′(−1)=0f'(-1) = 0
4
3 puncte
Ecuația tangentei este y−f(−1)=f′(−1)(x+1)y - f(-1) = f'(-1)(x + 1), adică y=−2ey = -2e
c)5 puncte
5
1 punct
c) f′(x)=0⇔x=−1f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = -1 sau x=3x = 3
6
2 puncte
x∈[−1,3]⇒f′(x)≥0x \in [-1, 3] \Rightarrow f'(x) \geq 0, deci ff este crescătoare pe [−1,3][-1, 3] și x∈[3,+∞)⇒f′(x)≤0x \in [3, +\infty) \Rightarrow f'(x) \leq 0, deci ff este descrescătoare pe [3,+∞)[3, +\infty)
7
2 puncte
Cum f(−1)=−2ef(-1) = -2e, f(3)=6e3f(3) = \dfrac{6}{e^3}, lim⁡x→+∞f(x)=0\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0, obținem −2e≤f(x)≤6e3-2e \leq f(x) \leq \dfrac{6}{e^3}, pentru orice x∈[−1,+∞)x \in [-1, +\infty)
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x(x+1)2f(x) = \dfrac{\sqrt{x}}{(x + 1)^2}. a) Arătați că ∫12x+1xf(x) dx=ln⁡32\displaystyle\int_1^2 \dfrac{x + 1}{\sqrt{x}} f(x)\, dx = \ln \dfrac{3}{2}. b) Demonstrați că orice primitivă a funcției ff este strict crescătoare pe intervalul (0,+∞)(0, +\infty). c) Determinați numărul real mm, m>0m > 0, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției g:(0,+∞)→Rg : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, g(x)=x(x+1)f(x)g(x) = \sqrt{x}(x + 1) f(x), axa OxOx și dreptele de ecuații x=1x = 1 și x=2x = 2 are aria egală cu 1−ln⁡m+1m1 - \ln \dfrac{m + 1}{m}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) ∫12x+1xf(x) dx=∫12x+1x⋅x(x+1)2 dx=∫121x+1 dx\displaystyle\int_1^2 \dfrac{x + 1}{\sqrt{x}} f(x)\, dx = \int_1^2 \dfrac{x + 1}{\sqrt{x}} \cdot \dfrac{\sqrt{x}}{(x + 1)^2}\, dx = \int_1^2 \dfrac{1}{x + 1}\, dx
2
3 puncte
=ln⁡(x+1)∣12=ln⁡3−ln⁡2=ln⁡32= \left. \ln(x + 1) \right|_1^2 = \ln 3 - \ln 2 = \ln \dfrac{3}{2}
b)5 puncte
3
2 puncte
b) FF este o primitivă a funcției f⇒F′(x)=f(x)f \Rightarrow F'(x) = f(x), x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
4
3 puncte
F′(x)=x(x+1)2>0F'(x) = \dfrac{\sqrt{x}}{(x + 1)^2} > 0, pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty), deci FF este strict crescătoare pe (0,+∞)(0, +\infty)
c)5 puncte
5
3 puncte
c) g(x)=xx+1⇒A=∫12∣g(x)∣ dx=∫12xx+1 dx=x∣12−ln⁡(x+1)∣12=1−ln⁡32g(x) = \dfrac{x}{x + 1} \Rightarrow \mathcal{A} = \displaystyle\int_1^2 |g(x)|\, dx = \int_1^2 \dfrac{x}{x + 1}\, dx = \left. x \right|_1^2 - \left. \ln(x + 1) \right|_1^2 = 1 - \ln \dfrac{3}{2}
6
2 puncte
1−ln⁡m+1m=1−ln⁡32⇒m=21 - \ln \dfrac{m + 1}{m} = 1 - \ln \dfrac{3}{2} \Rightarrow m = 2

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Vară 2017 — Tehnologic

Următor →

Bac Specială 2017 — Științele Naturii (Varianta 4)

← Înapoi la arhiva completă Bac