BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Specială 2018 — Matematică-Informatică (Varianta 3)

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră numărul complex z=1−2iz = 1 - 2i. Arătați că z2−2z+5=0z^2 - 2z + 5 = 0.

Rezolvare

1
2 puncte
z2−2z+5=(1−2i)2−2(1−2i)+5z^2 - 2z + 5 = (1 - 2i)^2 - 2(1 - 2i) + 5
2
3 puncte
=1−4i+4i2−2+4i+5=1−4−2+5=0= 1 - 4i + 4i^2 - 2 + 4i + 5 = 1 - 4 - 2 + 5 = 0
Exercițiul 2
Determinați numerele reale aa și bb, pentru care graficele funcțiilor f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2x+af(x) = 2x + a și g:R→Rg : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x)=bx+2g(x) = bx + 2 se intersectează în punctul M(2,8)M(2, 8).

Rezolvare

1
3 puncte
M∈Gf⇒f(2)=8⇒4+a=8⇒a=4M \in G_f \Rightarrow f(2) = 8 \Rightarrow 4 + a = 8 \Rightarrow a = 4
2
2 puncte
M∈Gg⇒g(2)=8⇒2b+2=8⇒b=3M \in G_g \Rightarrow g(2) = 8 \Rightarrow 2b + 2 = 8 \Rightarrow b = 3
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡3(4x+5)=1+log⁡3(x+3)\log_3(4x + 5) = 1 + \log_3(x + 3).

Rezolvare

1
3 puncte
log⁡3(4x+5)=log⁡33(x+3)⇒4x+5=3x+9\log_3(4x + 5) = \log_3 3(x + 3) \Rightarrow 4x + 5 = 3x + 9
2
2 puncte
x=4x = 4, care convine
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifrele pare.

Rezolvare

1
1 punct
Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 9090 de elemente, deci sunt 9090 de cazuri posibile
2
2 puncte
Numărul numerelor naturale de două cifre, care au cifrele pare este egal cu 2020, deci sunt 2020 de cazuri favorabile
3
2 puncte
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=2090=29p = \dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \dfrac{20}{90} = \dfrac{2}{9}
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(2,2)A(2, 2), B(4,1)B(4, 1) și C(0,8)C(0, 8). Determinați lungimea segmentului CMCM, știind că MM este simetricul punctului AA față de punctul BB.

Rezolvare

1
3 puncte
Punctul BB este mijlocul segmentului AMAM, deci M(6,0)M(6, 0)
2
2 puncte
CM=10CM = 10
Exercițiul 6
Calculați aria paralelogramului ABCDABCD, știind că AB=6AB = 6, AC=10AC = 10 și m(∢BAC)=π6m(\sphericalangle BAC) = \dfrac{\pi}{6}.

Rezolvare

1
3 puncte
AABCD=2A△ABC=AB⋅AC⋅sin⁡π6=6⋅10⋅12\mathcal{A}_{ABCD} = 2\mathcal{A}_{\triangle ABC} = AB \cdot AC \cdot \sin \dfrac{\pi}{6} = 6 \cdot 10 \cdot \dfrac{1}{2}
2
2 puncte
=30= 30

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea M(a)=(111a+1−1111−a)M(a) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a + 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -a \end{pmatrix} și sistemul de ecuații {x+y+z=2(a+1)x−y+z=0x+y−az=1\begin{cases} x + y + z = 2 \\ (a + 1)x - y + z = 0 \\ x + y - az = 1 \end{cases}, unde aa este număr real. a) Arătați că det⁡(M(−1))=0\det(M(-1)) = 0. b) Determinați numerele reale aa pentru care det⁡(M(a))=0\det(M(a)) = 0. c) Determinați numerele reale aa, știind că sistemul are soluție unică (x0,y0,z0)(x_0, y_0, z_0) și 2x0+y0z0=02x_0 + y_0 z_0 = 0.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) M(−1)=(1110−11111)⇒det⁡(M(−1))=∣1110−11111∣M(-1) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(M(-1)) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}
2
3 puncte
=(−1)+0+1−(−1)−0−1=0= (-1) + 0 + 1 - (-1) - 0 - 1 = 0
b)5 puncte
3
3 puncte
b) det⁡(M(a))=∣111a+1−1111−a∣=(a+1)(a+2)\det(M(a)) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a + 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -a \end{vmatrix} = (a + 1)(a + 2), pentru orice număr real aa
4
2 puncte
a=−2a = -2 sau a=−1a = -1
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Sistemul are soluție unică (x0,y0,z0)(x_0, y_0, z_0), deci a∈R∖{−2,−1}a \in \mathbb{R} \setminus \{-2, -1\} și soluția sistemului este (2a(a+1)(a+2), 2a2+3a+2(a+1)(a+2), 1a+1)\left(\dfrac{2a}{(a+1)(a+2)},\, \dfrac{2a^2 + 3a + 2}{(a+1)(a+2)},\, \dfrac{1}{a+1}\right)
6
3 puncte
4a(a+1)(a+2)+2a2+3a+2(a+1)2(a+2)=0⇔6a2+7a+2=0\dfrac{4a}{(a+1)(a+2)} + \dfrac{2a^2 + 3a + 2}{(a+1)^2(a+2)} = 0 \Leftrightarrow 6a^2 + 7a + 2 = 0, deci a=−23a = -\dfrac{2}{3} sau a=−12a = -\dfrac{1}{2}, care convin
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=110xy−(x+y)+20x * y = \dfrac{1}{10}xy - (x + y) + 20. a) Demonstrați că x∗y=110(x−10)(y−10)+10x * y = \dfrac{1}{10}(x - 10)(y - 10) + 10, pentru orice numere reale xx și yy. b) Determinați valorile reale ale lui xx pentru care x∗x≤10110x * x \leq \dfrac{101}{10}. c) Calculați log⁡21∗log⁡22∗log⁡23∗…∗log⁡22018\log_2 1 * \log_2 2 * \log_2 3 * \ldots * \log_2 2018.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) x∗y=110xy−x−y+10+10x * y = \dfrac{1}{10}xy - x - y + 10 + 10
2
3 puncte
=110x(y−10)−(y−10)+10=110(x−10)(y−10)+10= \dfrac{1}{10}x(y - 10) - (y - 10) + 10 = \dfrac{1}{10}(x - 10)(y - 10) + 10, pentru orice numere reale xx și yy
b)5 puncte
3
3 puncte
b) 110(x−10)2+10≤10110⇔(x−10)2≤1\dfrac{1}{10}(x - 10)^2 + 10 \leq \dfrac{101}{10} \Leftrightarrow (x - 10)^2 \leq 1
4
2 puncte
x∈[9,11]x \in [9, 11]
c)5 puncte
5
2 puncte
c) x∗10=10x * 10 = 10 și 10∗x=1010 * x = 10, pentru orice număr real xx
6
3 puncte
log⁡21∗log⁡22∗…∗log⁡22018=((log⁡21∗…∗log⁡21023)∗10)∗log⁡21025∗…∗log⁡22018=10∗(log⁡21025∗…∗log⁡22018)=10\log_2 1 * \log_2 2 * \ldots * \log_2 2018 = ((\log_2 1 * \ldots * \log_2 1023) * 10) * \log_2 1025 * \ldots * \log_2 2018 = 10 * (\log_2 1025 * \ldots * \log_2 2018) = 10

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→Rf : (-1, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=2x3−3x2+6x−6ln⁡(x+1)f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 6x - 6\ln(x + 1). a) Arătați că f′(x)=6x3x+1f'(x) = \dfrac{6x^3}{x + 1}, x∈(−1,+∞)x \in (-1, +\infty). b) Demonstrați că valoarea minimă a funcției ff este 00. c) Calculați lim⁡x→0f(x)x\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{f(x)}}{x}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=6x2−6x+6−6x+1f'(x) = 6x^2 - 6x + 6 - \dfrac{6}{x + 1}
2
2 puncte
=6x3+6x2−6x2−6x+6x+6−6x+1=6x3x+1= \dfrac{6x^3 + 6x^2 - 6x^2 - 6x + 6x + 6 - 6}{x + 1} = \dfrac{6x^3}{x + 1}, x∈(−1,+∞)x \in (-1, +\infty)
b)5 puncte
3
1 punct
b) f′(x)=0⇔x=0f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0
4
2 puncte
f′(x)≤0f'(x) \leq 0 pentru orice x∈(−1,0]x \in (-1, 0], deci ff este descrescătoare pe (−1,0](-1, 0] și f′(x)≥0f'(x) \geq 0 pentru orice x∈[0,+∞)x \in [0, +\infty), deci ff este crescătoare pe [0,+∞)[0, +\infty)
5
2 puncte
f(x)≥f(0)f(x) \geq f(0) pentru orice x∈(−1,+∞)x \in (-1, +\infty) și, cum f(0)=0f(0) = 0, valoarea minimă a funcției ff este 00
c)5 puncte
6
5 puncte
c) lim⁡x→0f(x)x2=lim⁡x→0f′(x)2x=lim⁡x→03x2x+1=0\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \dfrac{f'(x)}{2x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{3x^2}{x + 1} = 0, deci lim⁡x→0f(x)x2=0⇒lim⁡x→0f(x)x=0\displaystyle\lim_{x \to 0} \sqrt{\dfrac{f(x)}{x^2}} = 0 \Rightarrow \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{f(x)}}{x} = 0
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=(x2+x+1)exf(x) = (x^2 + x + 1)e^x. a) Arătați că ∫01f(x)⋅e−x dx=116\displaystyle\int_0^1 f(x) \cdot e^{-x}\, dx = \dfrac{11}{6}. b) Demonstrați că orice primitivă a funcției ff are exact două puncte de inflexiune. c) Arătați că lim⁡t→01t∫0tf(x) dx=1\displaystyle\lim_{t \to 0} \dfrac{1}{t} \int_0^t f(x)\, dx = 1.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫01f(x)⋅e−x dx=∫01(x2+x+1) dx=(x33+x22+x)∣01\displaystyle\int_0^1 f(x) \cdot e^{-x}\, dx = \int_0^1 (x^2 + x + 1)\, dx = \left(\dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^2}{2} + x\right) \Big|_0^1
2
2 puncte
=13+12+1−0=116= \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} + 1 - 0 = \dfrac{11}{6}
b)5 puncte
3
2 puncte
b) F:R→RF : \mathbb{R} \to \mathbb{R} este o primitivă a funcției f⇒F′(x)=f(x)⇒F′′(x)=(x2+3x+2)exf \Rightarrow F'(x) = f(x) \Rightarrow F''(x) = (x^2 + 3x + 2)e^x, x∈Rx \in \mathbb{R}
4
3 puncte
F′′(−2)=0F''(-2) = 0, F′′(−1)=0F''(-1) = 0, F′′(x)>0F''(x) > 0 pentru orice x∈(−∞,−2)x \in (-\infty, -2), F′′(x)<0F''(x) < 0 pentru orice x∈(−2,−1)x \in (-2, -1) și F′′(x)>0F''(x) > 0 pentru orice x∈(−1,+∞)x \in (-1, +\infty), deci FF are exact două puncte de inflexiune
c)5 puncte
5
3 puncte
c) lim⁡t→01t∫0tf(x) dx=lim⁡t→0F(t)−F(0)t=lim⁡t→0F′(t)1\displaystyle\lim_{t \to 0} \dfrac{1}{t} \int_0^t f(x)\, dx = \lim_{t \to 0} \dfrac{F(t) - F(0)}{t} = \lim_{t \to 0} \dfrac{F'(t)}{1}
6
2 puncte
=lim⁡t→0f(t)=1= \displaystyle\lim_{t \to 0} f(t) = 1

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Vară 2018 — Tehnologic

Următor →

Bac Specială 2018 — Științele Naturii (Varianta 3)

← Înapoi la arhiva completă Bac