BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Specială 2018 — Tehnologic (Varianta 3)

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că 3(2−2)+2(3−6)=0\sqrt{3}\left(2 - \sqrt{2}\right) + \sqrt{2}\left(\sqrt{3} - \sqrt{6}\right) = 0.

Rezolvare

1
3 puncte
3(2−2)+2(3−6)=23−6+6−12=\sqrt{3}\left(2 - \sqrt{2}\right) + \sqrt{2}\left(\sqrt{3} - \sqrt{6}\right) = 2\sqrt{3} - \sqrt{6} + \sqrt{6} - \sqrt{12} =
2
2 puncte
=23−23=0= 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 0
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−2f(x) = x^2 - 2. Determinați numerele reale aa, știind că f(a)=af(a) = a.

Rezolvare

1
2 puncte
f(a)=a2−2f(a) = a^2 - 2
2
3 puncte
a2−2=aa^2 - 2 = a, deci a=−1a = -1 sau a=2a = 2
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 27x−5=4x2^{7x-5} = 4^x.

Rezolvare

1
3 puncte
27x−5=22x⇔7x−5=2x2^{7x-5} = 2^{2x} \Leftrightarrow 7x - 5 = 2x
2
2 puncte
x=1x = 1
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr nn din mulțimea A={1,2,3,4,5}A = \{1, 2, 3, 4, 5\}, acesta să verifice relația 2n≤162^n \leq 16.

Rezolvare

1
1 punct
Mulțimea AA are 55 elemente, deci sunt 55 cazuri posibile
2
2 puncte
În mulțimea AA sunt 44 numere care verifică relația dată, deci sunt 44 cazuri favorabile
3
2 puncte
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=45p = \dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \dfrac{4}{5}
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele M(1,2)M(1, 2), N(4,3)N(4, 3) și P(6,1)P(6, 1). Determinați lungimea segmentului MQMQ, unde QQ este mijlocul segmentului NPNP.

Rezolvare

1
2 puncte
Q(5,2)Q(5, 2)
2
3 puncte
MQ=(5−1)2+(2−2)2=4MQ = \sqrt{(5 - 1)^2 + (2 - 2)^2} = 4
Exercițiul 6
Arătați că sin⁡30∘+sin⁡45∘−cos⁡60∘−cos⁡45∘=0\sin 30^\circ + \sin 45^\circ - \cos 60^\circ - \cos 45^\circ = 0.

Rezolvare

1
2 puncte
sin⁡30∘=cos⁡60∘\sin 30^\circ = \cos 60^\circ, sin⁡45∘=cos⁡45∘\sin 45^\circ = \cos 45^\circ
2
3 puncte
sin⁡30∘+sin⁡45∘−cos⁡60∘−cos⁡45∘=sin⁡30∘+sin⁡45∘−sin⁡30∘−sin⁡45∘=0\sin 30^\circ + \sin 45^\circ - \cos 60^\circ - \cos 45^\circ = \sin 30^\circ + \sin 45^\circ - \sin 30^\circ - \sin 45^\circ = 0

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} și A(x)=(x1−12)A(x) = \begin{pmatrix} x & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡(A(2))=5\det(A(2)) = 5. b) Determinați numerele reale xx și yy pentru care A(x)⋅A(y)=3I2A(x) \cdot A(y) = 3I_2. c) Determinați numărul întreg pp pentru care det⁡(A(p)⋅A(p)+I2)=5\det(A(p) \cdot A(p) + I_2) = 5.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) A(2)=(21−12)⇒det⁡(A(2))=∣21−12∣=2⋅2−(−1)⋅1=A(2) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(2)) = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot 2 - (-1) \cdot 1 =
2
2 puncte
=4+1=5= 4 + 1 = 5
b)5 puncte
3
3 puncte
b) (x1−12)(y1−12)=3(1001)⇔(xy−1x+2−y−23)=(3003)\begin{pmatrix} x & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = 3 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \Leftrightarrow \begin{pmatrix} xy - 1 & x + 2 \\ -y - 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}
4
2 puncte
x=−2x = -2, y=−2y = -2
c)5 puncte
5
2 puncte
c) A(p)⋅A(p)+I2=(p2+2p+2−p−24)⇒det⁡(A(p)⋅A(p)+I2)=5p2+4p+4A(p) \cdot A(p) + I_2 = \begin{pmatrix} p^2 + 2 & p + 2 \\ -p - 2 & 4 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(p) \cdot A(p) + I_2) = 5p^2 + 4p + 4
6
3 puncte
5p2+4p+4=5⇔5p2+4p−1=05p^2 + 4p + 4 = 5 \Leftrightarrow 5p^2 + 4p - 1 = 0 și, cum pp este număr întreg, obținem p=−1p = -1
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−(x+y)+2x * y = xy - (x + y) + 2. a) Arătați că 2∗2=22 * 2 = 2. b) Demonstrați că x∗y=(x−1)(y−1)+1x * y = (x - 1)(y - 1) + 1, pentru orice numere reale xx și yy. c) Calculați 1∗2∗3∗…∗20181 * 2 * 3 * \ldots * 2018.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) 2∗2=2⋅2−(2+2)+2=2 * 2 = 2 \cdot 2 - (2 + 2) + 2 =
2
2 puncte
=4−4+2=2= 4 - 4 + 2 = 2
b)5 puncte
3
2 puncte
b) x∗y=xy−x−y+1+1=x * y = xy - x - y + 1 + 1 =
4
3 puncte
=x(y−1)−(y−1)+1=(x−1)(y−1)+1= x(y - 1) - (y - 1) + 1 = (x - 1)(y - 1) + 1, pentru orice numere reale xx și yy
c)5 puncte
5
3 puncte
c) 1∗x=x1 * x = x, pentru orice număr real xx
6
2 puncte
1∗2∗3∗…∗2018=1∗(2∗3∗…∗2018)=11 * 2 * 3 * \ldots * 2018 = 1 * (2 * 3 * \ldots * 2018) = 1

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+x+1x2+2x+2f(x) = \dfrac{x^2 + x + 1}{x^2 + 2x + 2}. a) Arătați că f′(x)=x(x+2)(x2+2x+2)2f'(x) = \dfrac{x(x + 2)}{\left(x^2 + 2x + 2\right)^2}, x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x=−1x = -1, situat pe graficul funcției ff. c) Demonstrați că 1≤f(x)+f(y)≤31 \leq f(x) + f(y) \leq 3, pentru orice numere reale xx și yy.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=(2x+1)(x2+2x+2)−(x2+x+1)(2x+2)(x2+2x+2)2=f'(x) = \dfrac{(2x + 1)(x^2 + 2x + 2) - (x^2 + x + 1)(2x + 2)}{\left(x^2 + 2x + 2\right)^2} =
2
2 puncte
=x2+2x(x2+2x+2)2=x(x+2)(x2+2x+2)2= \dfrac{x^2 + 2x}{\left(x^2 + 2x + 2\right)^2} = \dfrac{x(x + 2)}{\left(x^2 + 2x + 2\right)^2}, x∈Rx \in \mathbb{R}
b)5 puncte
3
2 puncte
b) f(−1)=1f(-1) = 1, f′(−1)=−1f'(-1) = -1
4
3 puncte
Ecuația tangentei este y−f(−1)=f′(−1)(x+1)y - f(-1) = f'(-1)(x + 1), adică y=−xy = -x
c)5 puncte
5
2 puncte
c) f′(x)≥0f'(x) \geq 0 pentru orice x∈(−∞,−2]⇒fx \in (-\infty, -2] \Rightarrow f este crescătoare pe (−∞,−2](-\infty, -2], f′(x)≤0f'(x) \leq 0 pentru orice x∈[−2,0]⇒fx \in [-2, 0] \Rightarrow f este descrescătoare pe [−2,0][-2, 0] și f′(x)≥0f'(x) \geq 0 pentru orice x∈[0,+∞)⇒fx \in [0, +\infty) \Rightarrow f este crescătoare pe [0,+∞)[0, +\infty)
6
3 puncte
lim⁡x→−∞f(x)=1\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = 1, f(−2)=32f(-2) = \dfrac{3}{2}, f(0)=12f(0) = \dfrac{1}{2} și lim⁡x→+∞f(x)=1\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1, deci 12≤f(x)≤32\dfrac{1}{2} \leq f(x) \leq \dfrac{3}{2} și 12≤f(y)≤32\dfrac{1}{2} \leq f(y) \leq \dfrac{3}{2}, de unde obținem 1≤f(x)+f(y)≤31 \leq f(x) + f(y) \leq 3, pentru orice numere reale xx și yy
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−6x2+12x+5f(x) = x^3 - 6x^2 + 12x + 5. a) Arătați că ∫01(f(x)−x3)dx=9\displaystyle\int_0^1 \left(f(x) - x^3\right) dx = 9. b) Demonstrați că orice primitivă a funcției ff este o funcție convexă pe R\mathbb{R}. c) Arătați că ∫243f′(x)+12 dx=π8\displaystyle\int_2^4 \dfrac{3}{f'(x) + 12}\, dx = \dfrac{\pi}{8}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫01(f(x)−x3)dx=∫01(−6x2+12x+5)dx=(−2x3+6x2+5x)∣01=\displaystyle\int_0^1 \left(f(x) - x^3\right) dx = \int_0^1 \left(-6x^2 + 12x + 5\right) dx = \left. \left(-2x^3 + 6x^2 + 5x\right) \right|_0^1 =
2
2 puncte
=−2+6+5−0=9= -2 + 6 + 5 - 0 = 9
b)5 puncte
3
3 puncte
b) F:R→RF : \mathbb{R} \to \mathbb{R} este o primitivă a lui f⇒F′(x)=f(x)f \Rightarrow F'(x) = f(x), F′′(x)=3x2−12x+12F''(x) = 3x^2 - 12x + 12, x∈Rx \in \mathbb{R}
4
2 puncte
F′′(x)=3(x−2)2≥0F''(x) = 3(x - 2)^2 \geq 0, pentru orice număr real xx, deci funcția FF este convexă pe R\mathbb{R}
c)5 puncte
5
3 puncte
c) f′(x)=3(x−2)2⇒∫243f′(x)+12 dx=∫241(x−2)2+4 dx=12arctan⁡x−22∣24=f'(x) = 3(x - 2)^2 \Rightarrow \displaystyle\int_2^4 \dfrac{3}{f'(x) + 12}\, dx = \int_2^4 \dfrac{1}{(x - 2)^2 + 4}\, dx = \dfrac{1}{2} \arctan \dfrac{x - 2}{2} \Bigg|_2^4 =
6
2 puncte
=12(arctan⁡1−arctan⁡0)=π8= \dfrac{1}{2}(\arctan 1 - \arctan 0) = \dfrac{\pi}{8}

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Specială 2018 — Științele Naturii (Varianta 3)

Următor →

Bac Vară Rezervă 2018 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac