BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Specială 2019 — Științele Naturii (Varianta 8)

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că (1+i)2−2i=0(1 + i)^2 - 2i = 0, unde i2=−1i^2 = -1.

Rezolvare

1
3 puncte
(1+i)2−2i=1+2i+i2−2i(1 + i)^2 - 2i = 1 + 2i + i^2 - 2i.
2
2 puncte
=1+(−1)=0= 1 + (-1) = 0.
Exercițiul 2
Determinați numărul real nenul mm, știind că abscisa vârfului parabolei asociate funcției f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=mx2+8x−7f(x) = mx^2 + 8x - 7 este egală cu 1212.

Rezolvare

1
3 puncte
xV=−b2a⇒−82m=12x_V = -\frac{b}{2a} \Rightarrow -\frac{8}{2m} = 12.
2
2 puncte
m=−13m = -\frac{1}{3}.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡4(x2−10x+40)=2\log_4(x^2 - 10x + 40) = 2.

Rezolvare

1
3 puncte
x2−10x+40=42⇒x2−10x+24=0x^2 - 10x + 40 = 4^2 \Rightarrow x^2 - 10x + 24 = 0.
2
2 puncte
x=4x = 4 sau x=6x = 6, care convin.
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea M={1,2,3,…,100}M = \{1, 2, 3, \ldots, 100\}, acesta să fie număr impar.

Rezolvare

1
2 puncte
Mulțimea MM are 100100 de elemente, deci sunt 100100 de cazuri posibile.
2
2 puncte
În mulțimea MM sunt 5050 de numere impare, deci sunt 5050 de cazuri favorabile.
3
1 punct
p=50100=12p = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}.
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(2,−1)A(2, -1), B(−2,0)B(-2, 0) și C(0,3)C(0, 3). Determinați lungimea vectorului BD→\overrightarrow{BD}, știind că ABCDABCD este paralelogram.

Rezolvare

1
2 puncte
BA→=4i⃗−j⃗\overrightarrow{BA} = 4\vec{i} - \vec{j}, BC→=2i⃗+3j⃗\overrightarrow{BC} = 2\vec{i} + 3\vec{j} ⇒\Rightarrow BD→=BA→+BC→=6i⃗+2j⃗\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} = 6\vec{i} + 2\vec{j}.
2
3 puncte
BD=210BD = 2\sqrt{10}.
Exercițiul 6
Arătați că sin⁡3x+sin⁡2x+sin⁡x=3\sin 3x + \sin 2x + \sin x = \sqrt{3}, știind că x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) și sin⁡x=32\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}.

Rezolvare

1
2 puncte
x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) și sin⁡x=32\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} ⇒\Rightarrow x=π3x = \frac{\pi}{3}.
2
3 puncte
sin⁡π+sin⁡2π3+sin⁡π3=0+32+32=3\sin \pi + \sin \frac{2\pi}{3} + \sin \frac{\pi}{3} = 0 + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, A=(1133)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} și M(a)=I2+aAM(a) = I_2 + aA, unde aa este număr real. a) Arătați că det⁡(M(1))=5\det(M(1)) = 5. b) Demonstrați că M(a)⋅M(b)=M(a+b+4ab)M(a) \cdot M(b) = M(a + b + 4ab), pentru orice numere reale aa și bb. c) Determinați numerele reale aa pentru care M(a)⋅M(a)=M(2)M(a) \cdot M(a) = M(2).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) M(1)=(2134)M(1) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} ⇒\Rightarrow det⁡(M(1))=2⋅4−3⋅1\det(M(1)) = 2 \cdot 4 - 3 \cdot 1.
2
2 puncte
=8−3=5= 8 - 3 = 5.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) M(a)⋅M(b)=(I2+aA)(I2+bA)=I2+aA+bA+abA⋅AM(a) \cdot M(b) = (I_2 + aA)(I_2 + bA) = I_2 + aA + bA + abA \cdot A.
4
3 puncte
Cum A⋅A=(441212)=4AA \cdot A = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 12 & 12 \end{pmatrix} = 4A, obținem M(a)⋅M(b)=I2+(a+b+4ab)A=M(a+b+4ab)M(a) \cdot M(b) = I_2 + (a + b + 4ab)A = M(a + b + 4ab), pentru orice numere reale aa și bb.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) M(a+a+4a2)=M(2)⇔4a2+2a−2=0M(a + a + 4a^2) = M(2) \Leftrightarrow 4a^2 + 2a - 2 = 0.
6
2 puncte
a=−1a = -1 sau a=12a = \frac{1}{2}.
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=5x+5y−xy−20x * y = 5x + 5y - xy - 20. a) Arătați că x∗y=−(x−5)(y−5)+5x * y = -(x - 5)(y - 5) + 5, pentru orice numere reale xx și yy. b) Determinați valorile reale ale lui xx pentru care x∗x≥xx * x \geq x. c) Calculați 1∗(−2)∗3∗(−4)∗5∗…∗(−2018)∗20191 * (-2) * 3 * (-4) * 5 * \ldots * (-2018) * 2019.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) x∗y=−xy+5x+5y−25+5x * y = -xy + 5x + 5y - 25 + 5.
2
2 puncte
=−x(y−5)+5(y−5)+5=−(x−5)(y−5)+5= -x(y - 5) + 5(y - 5) + 5 = -(x - 5)(y - 5) + 5, pentru orice numere reale xx și yy.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) −(x−5)2+5≥x⇔(x−5)(x−4)≤0-(x - 5)^2 + 5 \geq x \Leftrightarrow (x - 5)(x - 4) \leq 0.
4
2 puncte
x∈[4,5]x \in [4, 5].
c)5 puncte
5
2 puncte
c) x∗5=5x * 5 = 5 și 5∗x=x5 * x = x, pentru orice număr real xx.
6
3 puncte
1∗(−2)∗3∗(−4)∗5∗…∗(−2018)∗2019=((1∗(−2))∗3∗(−4))∗5∗(−6)∗…∗(−2018)∗2019=5∗((−6)∗…∗(−2018))∗2019=51 * (-2) * 3 * (-4) * 5 * \ldots * (-2018) * 2019 = ((1 * (-2)) * 3 * (-4)) * 5 * (-6) * \ldots * (-2018) * 2019 = 5 * ((-6) * \ldots * (-2018)) * 2019 = 5.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+6x+9exf(x) = \frac{x^2 + 6x + 9}{e^x}. a) Arătați că f′(x)=−(x+1)(x+3)exf'(x) = \frac{-(x + 1)(x + 3)}{e^x}, x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞+\infty la graficul funcției ff. c) Demonstrați că 0≤(x+3)(y+3)≤4ex+y+220 \leq (x + 3)(y + 3) \leq 4e^{\frac{x + y + 2}{2}}, pentru orice x,y∈[−3,+∞)x, y \in [-3, +\infty).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=(2x+6)ex−(x2+6x+9)ex(ex)2f'(x) = \frac{(2x + 6)e^x - (x^2 + 6x + 9)e^x}{(e^x)^2}.
2
2 puncte
=−x2−4x−3ex=−(x+1)(x+3)ex= \frac{-x^2 - 4x - 3}{e^x} = \frac{-(x + 1)(x + 3)}{e^x}, x∈Rx \in \mathbb{R}.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞x2+6x+9ex=lim⁡x→+∞2x+6ex=lim⁡x→+∞2ex=0\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 6x + 9}{e^x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x + 6}{e^x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{e^x} = 0.
4
2 puncte
Dreapta de ecuație y=0y = 0 este asimptotă orizontală spre +∞+\infty la graficul funcției ff.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) f′(x)≥0f'(x) \geq 0, pentru orice x∈[−3,−1]x \in [-3, -1] ⇒\Rightarrow ff este crescătoare pe [−3,−1][-3, -1] și f′(x)≤0f'(x) \leq 0, pentru orice x∈[−1,+∞)x \in [-1, +\infty) ⇒\Rightarrow ff este descrescătoare pe [−1,+∞)[-1, +\infty) și, cum f(−1)=4ef(-1) = \frac{4}{e}, obținem f(x)≤4ef(x) \leq \frac{4}{e}, pentru orice x∈[−3,+∞)x \in [-3, +\infty).
6
2 puncte
0≤x+3≤2ex+120 \leq x + 3 \leq 2e^{\frac{x+1}{2}}, pentru orice x∈[−3,+∞)x \in [-3, +\infty) și 0≤y+3≤2ey+120 \leq y + 3 \leq 2e^{\frac{y+1}{2}}, pentru orice y∈[−3,+∞)y \in [-3, +\infty), deci 0≤(x+3)(y+3)≤4ex+y+220 \leq (x + 3)(y + 3) \leq 4e^{\frac{x + y + 2}{2}}, pentru orice x,y∈[−3,+∞)x, y \in [-3, +\infty).
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→Rf : (-1, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x3x+1f(x) = \frac{x^3}{x + 1}. a) Arătați că ∫02(x+1)f(x) dx=4\displaystyle\int_0^2 (x + 1) f(x)\,dx = 4. b) Arătați că funcția F:(−1,+∞)→RF : (-1, +\infty) \to \mathbb{R}, F(x)=x33−x22+x−ln⁡(x+1)F(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + x - \ln(x + 1) este o primitivă a funcției ff. c) Determinați numărul real aa, a>1a > 1, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției g:(0,+∞)→Rg : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, g(x)=1x3f(x)g(x) = \frac{1}{x^3} f(x), axa OxOx, dreptele de ecuații x=1x = 1 și x=a2x = a^2 are aria egală cu ln⁡5\ln 5.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫02(x+1)f(x) dx=∫02x3 dx=x44∣02\int_0^2 (x + 1) f(x)\,dx = \int_0^2 x^3\,dx = \frac{x^4}{4}\Big|_0^2.
2
2 puncte
=164−0=4= \frac{16}{4} - 0 = 4.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) F′(x)=(x33−x22+x−ln⁡(x+1))′=3x23−2x2+1−1x+1F'(x) = \left(\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + x - \ln(x + 1)\right)' = \frac{3x^2}{3} - \frac{2x}{2} + 1 - \frac{1}{x + 1}.
4
2 puncte
=x3+x2−x2−x+x+1−1x+1=x3x+1=f(x)= \frac{x^3 + x^2 - x^2 - x + x + 1 - 1}{x + 1} = \frac{x^3}{x + 1} = f(x), x∈(−1,+∞)x \in (-1, +\infty).
c)5 puncte
5
3 puncte
c) g(x)=1x+1g(x) = \frac{1}{x + 1} ⇒\Rightarrow A=∫1a2∣g(x)∣ dx=∫1a21x+1 dx=ln⁡(x+1)∣1a2=ln⁡(a2+1)−ln⁡2\mathcal{A} = \int_1^{a^2} |g(x)|\,dx = \int_1^{a^2} \frac{1}{x + 1}\,dx = \ln(x + 1)\Big|_1^{a^2} = \ln(a^2 + 1) - \ln 2.
6
2 puncte
ln⁡(a2+1)=ln⁡10⇔a2−9=0\ln(a^2 + 1) = \ln 10 \Leftrightarrow a^2 - 9 = 0 și, cum a>1a > 1, obținem a=3a = 3.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Specială 2019 — Matematică-Informatică (Varianta 8)

Următor →

Bac Specială 2019 — Tehnologic (Varianta 8)

← Înapoi la arhiva completă Bac