BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Specială 2019 — Tehnologic (Varianta 8)

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că (1−13+14):(1−112)=1\left(1 - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4}\right) : \left(1 - \dfrac{1}{12}\right) = 1.

Rezolvare

1
3 puncte
(1−13+14):(1−112)=12−4+312:1112=\left(1 - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4}\right) : \left(1 - \dfrac{1}{12}\right) = \dfrac{12 - 4 + 3}{12} : \dfrac{11}{12} =
2
2 puncte
=1112⋅1211=1= \dfrac{11}{12} \cdot \dfrac{12}{11} = 1
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+4f(x) = x^2 + 4. Arătați că f(−2)+f(2)=4f(0)f(-2) + f(2) = 4f(0).

Rezolvare

1
2 puncte
f(−2)+f(2)=8+8=f(-2) + f(2) = 8 + 8 =
2
3 puncte
=16=4⋅4=4f(0)= 16 = 4 \cdot 4 = 4f(0)
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡8(x2−27)=log⁡8(x−3)2\log_8\left(x^2 - 27\right) = \log_8(x - 3)^2.

Rezolvare

1
3 puncte
x2−27=(x−3)2⇒6x−36=0x^2 - 27 = (x - 3)^2 \Rightarrow 6x - 36 = 0
2
2 puncte
x=6x = 6, care convine
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea M={10,11,12,13,14,15,16,17,18,19}M = \{10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19\}, acesta să fie număr par.

Rezolvare

1
2 puncte
Mulțimea MM are 1010 elemente, deci sunt 1010 cazuri posibile
2
2 puncte
În mulțimea MM sunt 55 numere pare, deci sunt 55 cazuri favorabile
3
1 punct
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=510=12p = \dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(4,3)A(4, 3) și B(8,3)B(8, 3). Determinați coordonatele punctului CC, știind că punctul BB este mijlocul segmentului ACAC.

Rezolvare

1
3 puncte
8=4+xC2⇒xC=128 = \dfrac{4 + x_C}{2} \Rightarrow x_C = 12
2
2 puncte
3=3+yC2⇒yC=33 = \dfrac{3 + y_C}{2} \Rightarrow y_C = 3
Exercițiul 6
Arătați că cos⁡230∘+sin⁡260∘−2cos⁡30∘⋅sin⁡60∘=0\cos^2 30^\circ + \sin^2 60^\circ - 2\cos 30^\circ \cdot \sin 60^\circ = 0.

Rezolvare

1
2 puncte
cos⁡30∘=32\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, sin⁡60∘=32\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}
2
3 puncte
cos⁡230∘+sin⁡260∘−2cos⁡30∘⋅sin⁡60∘=(cos⁡30∘−sin⁡60∘)2=(32−32)2=0\cos^2 30^\circ + \sin^2 60^\circ - 2\cos 30^\circ \cdot \sin 60^\circ = \left(\cos 30^\circ - \sin 60^\circ\right)^2 = \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 0

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele M=(2112)M = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}, I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} și A(a)=(a132)A(a) = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}, unde aa este număr real. a) Arătați că det⁡M=3\det M = 3. b) Determinați numărul real aa pentru care A(a)⋅A(a)=4A(a)−I2A(a) \cdot A(a) = 4A(a) - I_2. c) Determinați numărul real aa pentru care det⁡(aA(a)+M)=0\det(aA(a) + M) = 0.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) det⁡M=∣2112∣=2⋅2−1⋅1=\det M = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot 2 - 1 \cdot 1 =
2
2 puncte
=4−1=3= 4 - 1 = 3
b)5 puncte
3
2 puncte
b) A(a)⋅A(a)=(a2+3a+23a+67)A(a) \cdot A(a) = \begin{pmatrix} a^2 + 3 & a + 2 \\ 3a + 6 & 7 \end{pmatrix}
4
3 puncte
4A(a)−I2=(4a−14127)4A(a) - I_2 = \begin{pmatrix} 4a - 1 & 4 \\ 12 & 7 \end{pmatrix}, deci (a2+3a+23a+67)=(4a−14127)\begin{pmatrix} a^2 + 3 & a + 2 \\ 3a + 6 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4a - 1 & 4 \\ 12 & 7 \end{pmatrix}, de unde obținem a=2a = 2
c)5 puncte
5
3 puncte
c) aA(a)+M=(a2+2a+13a+12a+2)⇒det⁡(aA(a)+M)=(a+1)(2a2−3a+3)aA(a) + M = \begin{pmatrix} a^2 + 2 & a + 1 \\ 3a + 1 & 2a + 2 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(aA(a) + M) = (a + 1)(2a^2 - 3a + 3)
6
2 puncte
Cum 2a2−3a+3≠02a^2 - 3a + 3 \neq 0, pentru orice număr real aa, obținem a=−1a = -1
Exercițiul 2
Se consideră polinomul f=X3−4X2+mX+2f = X^3 - 4X^2 + mX + 2, unde mm este număr real. a) Arătați că f(2)=2m−6f(2) = 2m - 6, pentru orice număr real mm. b) Demonstrați că, pentru orice număr real mm, numărul E=x12x2x3+x1x22x3+x1x2x32E = x_1^2 x_2 x_3 + x_1 x_2^2 x_3 + x_1 x_2 x_3^2 este întreg, unde x1x_1, x2x_2 și x3x_3 sunt rădăcinile polinomului ff. c) Pentru m=3m = 3, determinați rădăcinile polinomului ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f(2)=23−4⋅22+m⋅2+2=f(2) = 2^3 - 4 \cdot 2^2 + m \cdot 2 + 2 =
2
2 puncte
=8−16+2m+2=2m−6= 8 - 16 + 2m + 2 = 2m - 6, pentru orice număr real mm
b)5 puncte
3
2 puncte
b) x1+x2+x3=4x_1 + x_2 + x_3 = 4, x1x2x3=−2x_1 x_2 x_3 = -2
4
3 puncte
Pentru orice număr real mm, E=x1x2x3(x1+x2+x3)=−8E = x_1 x_2 x_3(x_1 + x_2 + x_3) = -8, care este număr întreg
c)5 puncte
5
2 puncte
c) f=X3−4X2+3X+2=(X−2)(X2−2X−1)f = X^3 - 4X^2 + 3X + 2 = (X - 2)(X^2 - 2X - 1)
6
3 puncte
x1=1−2x_1 = 1 - \sqrt{2}, x2=2x_2 = 2, x3=1+2x_3 = 1 + \sqrt{2}

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=7x3−5x2+x+1f(x) = 7x^3 - 5x^2 + x + 1. a) Arătați că f′(x)=(3x−1)(7x−1)f'(x) = (3x - 1)(7x - 1), x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Calculați lim⁡x→+∞x⋅f′(x)f(x)\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x \cdot f'(x)}{f(x)}. c) Demonstrați că f(x)≤5249f(x) \leq \dfrac{52}{49}, pentru orice x∈(−∞,13]x \in \left(-\infty, \dfrac{1}{3}\right].

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) f′(x)=7⋅3x2−5⋅2x+1=f'(x) = 7 \cdot 3x^2 - 5 \cdot 2x + 1 =
2
3 puncte
=21x2−10x+1=(3x−1)(7x−1)= 21x^2 - 10x + 1 = (3x - 1)(7x - 1), x∈Rx \in \mathbb{R}
b)5 puncte
3
2 puncte
b) lim⁡x→+∞x⋅f′(x)f(x)=lim⁡x→+∞x(3x−1)(7x−1)7x3−5x2+x+1=\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x \cdot f'(x)}{f(x)} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x(3x - 1)(7x - 1)}{7x^3 - 5x^2 + x + 1} =
4
3 puncte
=lim⁡x→+∞(3−1x) ⁣(7−1x)7−5x+1x2+1x3=3= \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\left(3 - \dfrac{1}{x}\right)\!\left(7 - \dfrac{1}{x}\right)}{7 - \dfrac{5}{x} + \dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{x^3}} = 3
c)5 puncte
5
2 puncte
c) f′(x)≥0f'(x) \geq 0 pentru orice x∈(−∞,17]⇒fx \in \left(-\infty, \dfrac{1}{7}\right] \Rightarrow f este crescătoare pe (−∞,17]\left(-\infty, \dfrac{1}{7}\right] și f′(x)≤0f'(x) \leq 0 pentru orice x∈[17,13]⇒fx \in \left[\dfrac{1}{7}, \dfrac{1}{3}\right] \Rightarrow f este descrescătoare pe [17,13]\left[\dfrac{1}{7}, \dfrac{1}{3}\right]
6
3 puncte
Cum f(x)≤f ⁣(17)f(x) \leq f\!\left(\dfrac{1}{7}\right), pentru orice x∈(−∞,13]x \in \left(-\infty, \dfrac{1}{3}\right] și f ⁣(17)=5249f\!\left(\dfrac{1}{7}\right) = \dfrac{52}{49}, obținem f(x)≤5249f(x) \leq \dfrac{52}{49}, pentru orice x∈(−∞,13]x \in \left(-\infty, \dfrac{1}{3}\right]
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)={x2+8x−2,x∈(−∞,0]x−2,x∈(0,+∞)f(x) = \begin{cases} x^2 + 8x - 2, & x \in (-\infty, 0] \\ x - 2, & x \in (0, +\infty) \end{cases}. a) Arătați că ∫12f(x) dx=−12\displaystyle\int_1^2 f(x)\, dx = -\dfrac{1}{2}. b) Demonstrați că funcția ff admite primitive pe R\mathbb{R}. c) Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției ff, axa OxOx și dreptele de ecuații x=−1x = -1 și x=0x = 0 are aria egală cu 173\dfrac{17}{3}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫12f(x) dx=∫12(x−2) dx=(x22−2x)∣12=\displaystyle\int_1^2 f(x)\, dx = \int_1^2 (x - 2)\, dx = \left. \left(\dfrac{x^2}{2} - 2x\right) \right|_1^2 =
2
2 puncte
=(2−4)−(12−2)=−12= (2 - 4) - \left(\dfrac{1}{2} - 2\right) = -\dfrac{1}{2}
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Cum lim⁡x→0x<0f(x)=lim⁡x→0x<0(x2+8x−2)=−2\displaystyle\lim_{\substack{x \to 0 \\ x < 0}} f(x) = \lim_{\substack{x \to 0 \\ x < 0}} (x^2 + 8x - 2) = -2, lim⁡x→0x>0f(x)=lim⁡x→0x>0(x−2)=−2\displaystyle\lim_{\substack{x \to 0 \\ x > 0}} f(x) = \lim_{\substack{x \to 0 \\ x > 0}} (x - 2) = -2 și f(0)=−2f(0) = -2, obținem lim⁡x→0f(x)=f(0)\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = f(0), deci funcția ff este continuă în x=0x = 0
4
2 puncte
Cum funcția ff este continuă pe (−∞,0)(-\infty, 0) și pe (0,+∞)(0, +\infty), obținem că ff este continuă pe R\mathbb{R}, deci funcția ff admite primitive pe R\mathbb{R}
c)5 puncte
5
2 puncte
c) A=∫−10∣f(x)∣ dx=∫−10∣x2+8x−2∣ dx=∫−10(−x2−8x+2) dx=\mathcal{A} = \displaystyle\int_{-1}^0 |f(x)|\, dx = \int_{-1}^0 |x^2 + 8x - 2|\, dx = \int_{-1}^0 (-x^2 - 8x + 2)\, dx =
6
3 puncte
=(−x33−8x22+2x)∣−10=173= \left. \left(-\dfrac{x^3}{3} - \dfrac{8x^2}{2} + 2x\right) \right|_{-1}^0 = \dfrac{17}{3}

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Specială 2019 — Științele Naturii (Varianta 8)

Următor →

Bac Vară Rezervă 2019 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac