BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Specială 2020 — Științele Naturii (Varianta 1)

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că log⁡27+log⁡26−log⁡221=1\log_2 7 + \log_2 6 - \log_2 21 = 1.

Rezolvare

1
3 puncte
log⁡27+log⁡26−log⁡221=log⁡27⋅621=\log_2 7 + \log_2 6 - \log_2 21 = \log_2 \dfrac{7 \cdot 6}{21} =
2
2 puncte
=log⁡22=1= \log_2 2 = 1
Exercițiul 2
Se consideră funcțiile f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2f(x) = x^2 și g:R→Rg : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x)=2x−1g(x) = 2x - 1. Demonstrați că f(x)≥g(x)f(x) \geq g(x), pentru orice număr real xx.

Rezolvare

1
3 puncte
f(x)−g(x)=x2−2x+1=(x−1)2f(x) - g(x) = x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2, pentru orice număr real xx
2
2 puncte
(x−1)2≥0(x - 1)^2 \geq 0, pentru orice număr real xx, deci f(x)≥g(x)f(x) \geq g(x), pentru orice număr real xx
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x2+12=2x\sqrt{x^2 + 12} = 2x.

Rezolvare

1
3 puncte
x2+12=4x2⇒3x2=12⇔x2=4x^2 + 12 = 4x^2 \Rightarrow 3x^2 = 12 \Leftrightarrow x^2 = 4
2
2 puncte
x=−2x = -2, care nu convine, x=2x = 2, care convine
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr xx din mulțimea A={−2,−1,0,1,2}A = \{-2, -1, 0, 1, 2\}, acesta să fie soluție a ecuației x2−3x+2=0x^2 - 3x + 2 = 0.

Rezolvare

1
2 puncte
Mulțimea AA are 55 elemente, deci sunt 55 cazuri posibile
2
2 puncte
x2−3x+2=0⇔x=1x^2 - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1 sau x=2x = 2, care sunt elemente ale mulțimii AA, deci avem 22 cazuri favorabile
3
1 punct
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=25p = \dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \dfrac{2}{5}
Exercițiul 5
Determinați numerele reale aa și bb, pentru care u⃗=3v⃗\vec{u} = 3\vec{v}, unde u⃗=ai⃗+6j⃗\vec{u} = a\vec{i} + 6\vec{j} și v⃗=2i⃗+bj⃗\vec{v} = 2\vec{i} + b\vec{j}.

Rezolvare

1
3 puncte
u⃗=3v⃗⇔ai⃗+6j⃗=6i⃗+3bj⃗\vec{u} = 3\vec{v} \Leftrightarrow a\vec{i} + 6\vec{j} = 6\vec{i} + 3b\vec{j}
2
2 puncte
a=6a = 6, b=2b = 2
Exercițiul 6
Se consideră expresia E(x)=sin⁡2x−cos⁡2x+2(sin⁡x+cos⁡x)−2E(x) = \sin^2 x - \cos^2 x + \sqrt{2}(\sin x + \cos x) - 2, unde xx este număr real. Arătați că E ⁣(π4)=0E\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 0.

Rezolvare

1
3 puncte
E ⁣(π4)=sin⁡2π4−cos⁡2π4+2 ⁣(sin⁡π4+cos⁡π4)−2=12−12+2 ⁣(22+22)−2=E\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \sin^2 \dfrac{\pi}{4} - \cos^2 \dfrac{\pi}{4} + \sqrt{2}\!\left(\sin \dfrac{\pi}{4} + \cos \dfrac{\pi}{4}\right) - 2 = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} + \sqrt{2}\!\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) - 2 =
2
2 puncte
=2⋅222−2=0= \sqrt{2} \cdot \dfrac{2\sqrt{2}}{2} - 2 = 0

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(x)=(x+2x+3x−3x−2)A(x) = \begin{pmatrix} x + 2 & x + 3 \\ x - 3 & x - 2 \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡(A(x))=5\det(A(x)) = 5, pentru orice număr real xx. b) Determinați numărul natural nn astfel încât A(−3)+A(−2)+A(−1)+A(1)+A(2)+A(3)=nA(0)A(-3) + A(-2) + A(-1) + A(1) + A(2) + A(3) = nA(0). c) Determinați numărul real xx pentru care A(x)⋅A(1)=(18−4−7)A(x) \cdot A(1) = \begin{pmatrix} 1 & 8 \\ -4 & -7 \end{pmatrix}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) det⁡(A(x))=∣x+2x+3x−3x−2∣=x2−4−(x2−9)=\det(A(x)) = \begin{vmatrix} x + 2 & x + 3 \\ x - 3 & x - 2 \end{vmatrix} = x^2 - 4 - (x^2 - 9) =
2
2 puncte
=x2−4−x2+9=5= x^2 - 4 - x^2 + 9 = 5, pentru orice număr real xx
b)5 puncte
3
3 puncte
b) A(−3)+A(3)=A(−2)+A(2)=A(−1)+A(1)=2A(0)A(-3) + A(3) = A(-2) + A(2) = A(-1) + A(1) = 2A(0)
4
2 puncte
2A(0)+2A(0)+2A(0)=nA(0)2A(0) + 2A(0) + 2A(0) = nA(0), de unde obținem n=6n = 6
c)5 puncte
5
3 puncte
c) A(1)=(34−2−1)⇒A(x)⋅A(1)=(x3x+5x−53x−10)A(1) = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} \Rightarrow A(x) \cdot A(1) = \begin{pmatrix} x & 3x + 5 \\ x - 5 & 3x - 10 \end{pmatrix}, pentru orice număr real xx
6
2 puncte
(x3x+5x−53x−10)=(18−4−7)\begin{pmatrix} x & 3x + 5 \\ x - 5 & 3x - 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 8 \\ -4 & -7 \end{pmatrix}, de unde obținem x=1x = 1
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y+1x2+y2+1x * y = \dfrac{x + y + 1}{x^2 + y^2 + 1}. a) Arătați că 0∗1=10 * 1 = 1. b) Determinați numerele reale xx pentru care x∗x=1x * x = 1. c) Demonstrați că x∗(−x)≤1x * (-x) \leq 1, pentru orice număr real xx.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) 0∗1=0+1+102+12+1=0 * 1 = \dfrac{0 + 1 + 1}{0^2 + 1^2 + 1} =
2
2 puncte
=22=1= \dfrac{2}{2} = 1
b)5 puncte
3
2 puncte
b) x∗x=2x+12x2+1x * x = \dfrac{2x + 1}{2x^2 + 1}, pentru orice număr real xx
4
3 puncte
2x+12x2+1=1⇔2x(x−1)=0⇒x=0\dfrac{2x + 1}{2x^2 + 1} = 1 \Leftrightarrow 2x(x - 1) = 0 \Rightarrow x = 0 sau x=1x = 1
c)5 puncte
5
2 puncte
c) x∗(−x)=x+(−x)+1x2+(−x)2+1=12x2+1x * (-x) = \dfrac{x + (-x) + 1}{x^2 + (-x)^2 + 1} = \dfrac{1}{2x^2 + 1}, pentru orice număr real xx
6
3 puncte
x∗(−x)≤1⇔12x2+1≤1⇔−2x22x2+1≤0x * (-x) \leq 1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2x^2 + 1} \leq 1 \Leftrightarrow \dfrac{-2x^2}{2x^2 + 1} \leq 0 inegalitate adevărată pentru orice număr real xx

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=xx2+2x+2f(x) = x\sqrt{x^2 + 2x + 2}. a) Arătați că f′(x)=2x2+3x+2x2+2x+2f'(x) = \dfrac{2x^2 + 3x + 2}{\sqrt{x^2 + 2x + 2}}, x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Calculați lim⁡x→+∞f′(x)f(x)\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f'(x)}{f(x)}. c) Demonstrați că, pentru orice număr real aa, ecuația f(x)=af(x) = a are cel puțin o soluție.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=x2+2x+2+x⋅2x+22x2+2x+2=f'(x) = \sqrt{x^2 + 2x + 2} + x \cdot \dfrac{2x + 2}{2\sqrt{x^2 + 2x + 2}} =
2
2 puncte
=x2+2x+2+x2+xx2+2x+2=2x2+3x+2x2+2x+2= \dfrac{x^2 + 2x + 2 + x^2 + x}{\sqrt{x^2 + 2x + 2}} = \dfrac{2x^2 + 3x + 2}{\sqrt{x^2 + 2x + 2}}, x∈Rx \in \mathbb{R}
b)5 puncte
3
3 puncte
b) lim⁡x→+∞f′(x)f(x)=lim⁡x→+∞(2x2+3x+2x2+2x+2⋅1xx2+2x+2)=lim⁡x→+∞2x2+3x+2x3+2x2+2x=\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f'(x)}{f(x)} = \lim_{x \to +\infty} \left(\dfrac{2x^2 + 3x + 2}{\sqrt{x^2 + 2x + 2}} \cdot \dfrac{1}{x\sqrt{x^2 + 2x + 2}}\right) = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x^2 + 3x + 2}{x^3 + 2x^2 + 2x} =
4
2 puncte
=0= 0
c)5 puncte
5
2 puncte
c) lim⁡x→−∞f(x)=lim⁡x→−∞xx2+2x+2=−∞\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} x\sqrt{x^2 + 2x + 2} = -\infty
6
3 puncte
lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞xx2+2x+2=+∞\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} x\sqrt{x^2 + 2x + 2} = +\infty și, cum ff este funcție continuă, obținem că, pentru orice număr real aa, ecuația f(x)=af(x) = a are cel puțin o soluție
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=xex+xf(x) = xe^x + x. a) Arătați că ∫01(f(x)−xex)dx=12\displaystyle\int_0^1 \left(f(x) - xe^x\right) dx = \dfrac{1}{2}. b) Arătați că ∫121x⋅f ⁣(x2)dx=e4−e+32\displaystyle\int_1^2 \dfrac{1}{x} \cdot f\!\left(x^2\right) dx = \dfrac{e^4 - e + 3}{2}. c) Se consideră F:R→RF : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, primitiva funcției ff pentru care F(1)=0F(1) = 0. Arătați că ∫01F(x) dx=5−3e3\displaystyle\int_0^1 F(x)\, dx = \dfrac{5 - 3e}{3}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) ∫01(f(x)−xex)dx=∫01(xex+x−xex) dx=∫01x dx=\displaystyle\int_0^1 \left(f(x) - xe^x\right) dx = \int_0^1 (xe^x + x - xe^x)\, dx = \int_0^1 x\, dx =
2
3 puncte
=x22∣01=12= \left. \dfrac{x^2}{2} \right|_0^1 = \dfrac{1}{2}
b)5 puncte
3
3 puncte
b) ∫121x⋅f(x2) dx=∫12x2ex2+x2x dx=∫12xex2 dx+∫12x dx=12ex2∣12+x22∣12=\displaystyle\int_1^2 \dfrac{1}{x} \cdot f(x^2)\, dx = \int_1^2 \dfrac{x^2 e^{x^2} + x^2}{x}\, dx = \int_1^2 xe^{x^2}\, dx + \int_1^2 x\, dx = \left. \dfrac{1}{2} e^{x^2} \right|_1^2 + \left. \dfrac{x^2}{2} \right|_1^2 =
4
2 puncte
=12e4−12e+42−12=e4−e+32= \dfrac{1}{2} e^4 - \dfrac{1}{2} e + \dfrac{4}{2} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{e^4 - e + 3}{2}
c)5 puncte
5
3 puncte
c) ∫01F(x) dx=∫01x′F(x) dx=xF(x)∣01−∫01xf(x) dx=F(1)−∫01(x2ex+x2) dx=\displaystyle\int_0^1 F(x)\, dx = \int_0^1 x' F(x)\, dx = \left. xF(x) \right|_0^1 - \int_0^1 xf(x)\, dx = F(1) - \int_0^1 (x^2 e^x + x^2)\, dx =
6
2 puncte
=−((x2−2x+2)ex+x33)∣01=−(e+13−2)=5−3e3= -\left. \left((x^2 - 2x + 2)e^x + \dfrac{x^3}{3}\right) \right|_0^1 = -\left(e + \dfrac{1}{3} - 2\right) = \dfrac{5 - 3e}{3}

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Specială 2020 — Matematică-Informatică (Varianta 1)

Următor →

Bac Specială 2020 — Tehnologic

← Înapoi la arhiva completă Bac